Esnek Çarpışma Sorularını Zor Yoldan Çözme

Bu bir tenis topunun kütlesinin ne kadar olduğuna baktım yaklaşık olarak 58 gram düş bunu 0,0 58 kilogram olarak ekranda görüyorsunuz burada bir de golf topu olduğunu gördünüz değil mi Golf topunun kütlesi ise 45 gram mış bunu da kilograma çevirip 0,0 45 olarak yazdım bu toplara belirli bir hızda vurduğumuz ve topların düz bir şekilde birbirlerine doğru ilerlediğini düşünelim golf topu saniyede 50 metre ilerliyoruz Oldukça hızlı Hızı saatte 160 kilometrenin üzerinde tenis topuyla saniyede 40 metre ilerliyoruz bir süre sonra [ __ ] çarpışacaklar Öyle değil mi Bu arada çarpışmanın tek bir Eksen üzerinde gerçekleştiğini varsayalım Golf topunun bu şekilde Tenis topu üzerinden atlamasını istemiyoruz Evet böyle olmasın her bir tek bir eksende Yani tek bir boyutta gerçekleşsin Peki bu topların ağırlıkları ve başlangıç hızlarından yola çıkarak topların son hızlarını bulabilir miyiz hadi birlikte denir Bu bir çarpışma sorusu olduğu için işe momentumun korunumu ndan başlayabiliriz bu çok hızlı bir çarpışma olacak ve çarpışma öncesinde kim omentumun çarpışma sonrasındaki Momentum eşit olacağını da biliyoruz başka bir değişle toplam değerlerinin aynı olacağını söyleyebiliriz Neden mi Golf topunun tenis topuyla temas içerisinde olduğu süre o kadar kısa olacak ki dış kuvvetlerin Örneğin yerçekiminin sistemi etki etmesi için çok ama çok kısa bir zaman olacak ve bu yüzden de dış kuvvetlerin sistem üzerinde çok büyük bir etki yaratma şansları olmayacak dış etki olmadığında golf ve tenis topunun toplanma montumun sabit kalacağını biliyoruz Evet çarpışmalar çok kısa sürelerde gerçekleşecek leri için o kapışma öncesindeki ve sonrasındaki toplam omentumun eşit olacağını söyleyebiliriz bunun serbest hareket eden herhangi iki cisim arasındaki herhangi bir çarpışma için geçerli olduğunu da bilmelisiniz başka bir değişle bu montumun korunduğunu kabul edeceğiz Peki tüm bunların matematiksel anlamı ne olabilir başlangıçtaki toplam Momentum Bu arada Momentum u p harfi ile gösterdiğimizde biliyorsunuz toplam içinde Sigma harfini kullanacağım bu işaretleri cisimlerin ikisindende Momentum unu toplamamız gerektiğini anlatmaya çalışıyor hatta bunun üzerine bir de ok işareti koyayım ve bir rektör olarak ifade edelim Ne de olsa Momentum bir vektör dür Öyle değil mi Momentum un negatif olabileceğini de bildiğimize göre eğer varsa eksi işaretlerinde unutmamamız gerekecek Momentum korunuyorsa başlangıçtaki toplam omentumun sondaki toplam momentuma eşit olması lazım momentumun O varken de zaten bunu Anlatmaya çalışıyoruz Bu mentopın formülü kütle çarpı hız bunu kullanarak tenis topunun başlangıçtaki momentumunu şu şekilde yazabiliriz 0,0 58 kilogram çarpı tenis topunun başlangıçtaki hızı olan 40 metre bölü saniye topun sağ tarafa doğru gittiğini belirtmesi için pozitif yönlü belirten artı işaretine ekliyoruz benzer şekilde topun başlangıçtaki moment Umuda kütle çarpı hız olacak artık Golf topunun kütlesi yani 0,0 45 kilogram çarpı başlangıçtaki hız yani -50 metre bölü saniye hızın önüne eksi işareti koymamız sebebi kol topunun sola doğru hareket ediyor olması sağ pozitif solu negatif yön olarak belirlemiş tik hatırlıyorsunuz değil mi eğer Momentum korunuyorsa bu başlangıçtaki toplanma montumun en sondaki Momentum a eşit olması gerekiyor ve bu durumda tenis topunun son montumu 0,58 çarpı tenis topunun son hızlı olacaktır tenis topunun son hızı için ve T kısaltmasını kullanacağım buna bir de Golf topunun son momentumunu eklememiz lazım hemen yazıyor 0,0 45 kilogram çarpık Golf topunun son zonada yani çarpışmadan sonra ki hızına da VG diyelim tenis topunun tesisi Golf topunun Gesi Peki şu anda topların son hızlanın ne olduğunu bulabilir miyiz pair Neden Çünkü elimde iki bilinmeyenli bir denklem var Evet ne yazık ki iki bilinmeyen aynı denklemde olduğu sürece yapabileceğim çok fazla bir şey yok sol tarafın sonucunu hemen bulabiliriz Hatta önceden hesapla Mıştım bu kısmın sonucu 0 500 07 kilogram metre bölü saniyedir Bu da bize başlangıçtaki Momentum verir Evet bunu bulduk ama denklemin sağ tarafında iki bilin ne olduğu için ve TV ve giden bahsediyorum bu renkle mi çözemeyiz çözebilmek için bir denkleme daha ihtiyacım var Örneğin toplardan birinin son hızını bilseydim işimiz çok ama çok kolaylaşır soruda tenis topunun sonrası verilmiş olsaydı bunu buradaki denkleme koyar ve Golf topunun son hızının ne olduğunu basit bir şekilde bulabilirdim ya da soruda bize Bunun ne tip bir çarpışma olduğu verilmiş olabilir Örneğin [ __ ] çarpışma sonrası birlikte hareket ediyorlarsa hızları aynı olur öyle değil mi Bu mükemmel bir esnek olmayan yani iğne lastik çarpışma olur evet bu Eğer mükemmel bir esnek olmayan çarpışma olsaydı elimizde tek bir kütle olurdu sıfır ve 30 58 kilogram yani tenis topunun kütlesi artı Golf topunun kütlesi yani 0,0 45 kilogram mükemmel bir çarpışmanın tanımına göre böyle bir çarpışma gerçekleştiğinde birlikte hareket etmeye başlayacaklar için mı böyle bu şekilde toplayabiliriz hızlı da aynı olacağından başka bir deyişle topların ikisi de aynı yöne aynı hızlı hareket edecekleri için buraya tekbir ve yazabilir 0,0 7 toplam kütle bölersem topların son hızını bulabilir Ama bu pek de olası bir durum değil yani topların bu şekilde birlikte hareket etmesi pek de mümkün değil topları birbirlerine yapıştırma adımız sürece böyle birşey gözlemleme olasılığımız Gerçekten de çok düşük Bunun olmadığını varsa almamız gerekecek ama az önce de söylediğim gibi soruda böyle bir bilgi verilmiş olsaydı son hızla bu şekilde bulabilir dik söz konusu olan bir tenis Bir de golf topu olduğunda bu çarpışmanın esnek yani elastik olması çok daha yüksek bir olasılıktır esnek çarpışmalar da Toplam Kinetik enerjinin korunduğunu hatırlıyorsunuz değil mi kinetik enerji herhangi bir şekilde ısıya da ses enerjisine dönüşmüyor dua Erel bu çarpışmanın esnek olduğu bilgisi olursa topların son hızlarını bulabiliriz Bunun sebebi esnek çarpışmalar da Kinetik enerjinin korunmasıdır işte çözüm için çıkış noktamız bu olacak Momentum korunumu Tamam ama çarpışma esnek dedikleri için artık Kinetik enerjinin korunduğunu da biliyoruz bu daha başlangıçtaki kinetik enerjilerinin toplamının sondaki kinetik enerjilerinin toplamına eşit olması anlamına gelir Kinetik enerjinin formülü 1/2 çarpı kütle çarpı hızın karesi hemen yazıyor 1/2 çarpı 0 500 0 58 yani tenis topunun kütlesi çarpı başlangıçtaki hızı yani 40 metre bölü saniye nin karesi artı Golf topunun kinetik enerjisi O da 1/2 çarpı 0,0 45 çarpık Golf topunun başlangıçtaki hızının karesi -50 nin karesi eksi elinin tanesini aldığımızda sonu bu hafif olacağı için bunun eksi olmasında çok da büyük bir önemi yok kinetik enerji söz konusu olduğunda bunun sürat olduğunu düşünebilirsiniz ama Momentum da hız olarak düşünmemiz yani Pozitif ya da negatif olması hesaba katmamız gerekiyor karesini aldığımız için ve kinetik enerjisi kala bir değer olduğundan buraya artı ya da eksi yazmanıza gerek yok şimdi ne demiştik başlangıçtaki toplam kinetik enerji sondaki toplam kinetik enerjiye eşit olacaktı buradaki değer sondaki kinetik enerjiye eşit olacak Hemen onu da yazayım 1/2 çarpı 0,0 58 kilogram çarpı tenis topunun son hızının karesi artı Golf topunun son kinetik enerjisi yani 1/2 çarpı 0,45 çarpık Golf topunun son hızının karesi bu noktada bunun bize yardımcı olacağını kestirmem iş Hatta karşımıza daha da karmaşık bir ifade çıktı diye abone olabilirsiniz ama dikkat ederseniz artık elimizde iki bilinmeyenli iki denklemden olduğunu görebilirsiniz ve elimizde iki bilinmeyenli iki denklemden olduğunda bilinmeyenlerden birini diğeri cinsinden ifade ederek denklemi çözebiliriz Öyle değil mi Öncelikle denklemlerden birini bilinmeyenlerden birinin ne eşit olduğunu bularak çözmemiz sonra da bunu diğer denkleme yerleştirmeniz gerekecek nasıl olduğunu göstermemi ister misiniz şimdi şuraya biraz temizleyeyim başlangıçtaki Kinetik enerjinin ne eşit olduğunu önceden hesaplamıştır yüz 2,65 yıl hala iki bilinmeyen var şimdi de bilinmeyenlerden birini diğeri cinsinden ifade edelim ve Ege'nin ve T cinsinden ne eşit olduğunu bulmaya çalışacağım İki taraftan da 0,0 58 ve eteği çıkaralım eşittir 0,0 45 BG iki tarafı birde 0,0 45 bölüm ve bu iş tamam 0,0 7 bölü 0,0 45 1,56 ediyor 0 500 0 58 bölü 0,0 45s 1,29 eşit çarpı ve t ile unutmayan ve gene eşit olduğunu bulduk bile Golf topunun sonucu İşte buna eşit 1,56 eksi 1,29 Mete Şimdi de bu denklemde VG yerine Bunu yazacağım 1/2 çarpı 0,0 45 kilogram çarpı ve G yani 1,56 eksi 1,29 metnin karesi burada ve Ege nin karesi alındığı için yerine kullandığımız ifadenin de karesine almamız gerekti Evet ve gene Bunu yazdım ve buradaki değerlerle de çarptı Burası ise olduğu gibi kalacak yüz 2,65 Şule eşittir 1/2 çarpı 0,0 58 çarpı ve t kare araya Ben de koyalım ifade içinden çıkılmaz gibi görünüyor ama şu anda elimizde tek bilinmeyenli bir denklem var Hemen hesaplayalım yüz 2,65 yıl eşittir 0,0 58/2 den 0,0 29 çarpı ve t kare artı sıfır ve 100-0 45/2 den 0,0 225 Şimdi bir de bunun karesini almamız lazım elimizde aeksi ve nin karesi gibi bir ifade olduğunda sonucuna kare yani 1,50 6'nın karesi -2 çarpı abi yani 1,56 çarpı 1,29 Mete artı b kare yani 1,20 9'un karesi çarpı ve T nin karesi olduğunu biliyoruz Bu yazdığımın tam olarak neyi ifade ettiği Anlaşılmadı ysa şöyle söyleyeyim burada gördüğümüz kısaca şunu eşittir a eksi b kare eşittir a kare eksi bu iki çarpı AB artı b kare bu aa'nın karısını aldım sonra bundan iki ağabey Yani iki çarpı 1,56 çarpı 1,29 vs çıkardım ve karede 1,29 ve etinin karesine eşit elimizde oldukça karmaşık bir ifade var ama işin içinden çıkabiliriz Burası yani sol taraf oldukça netyüz 2,65 yıl 0,0 29 metrekarede elimizde şimdi 0,0 225i bu parantezin içindekilerin her biriyle çarpma mız lazım sıfır ve yüz 0225 L 1,56 nın çarpımı 0,0 548 -0 ve yüz 0906 ve T Yani 0,0 225d bu kısmın çarpımı artı 0,0 374 ve t kare yani sığ 110 225 L burada gördüğümüz kısmı çarpımı ve telleri bir araya toplayalım burada bir metre var burada da ve tekrar Evet e kareleri toplayabilirim 0 500 0 66 ve t kare -0 ve 100-0 96wt artı sıfır ve yüz 0548 sonra çok yaklaştık İki taraftan yüz 2,65 çıkaralım sıfır eşittir burada gördüğümüz kısım artı 0,0 548 -100 2,65 ten eksi 102,5 195 olacak karşımızda ikinci dereceden bir denklem var Ve bunu çözmek için de ikinci dereceden denklemlerin kökleri ne bulmak için kullandığımız formülü kullanmamız lazım bu formülde A 0,0 66 olacak eksi 0,0 906 be ve eksi 102,5 195 Ne olacak bu noktada isterseniz kendiniz hesaplayabilir ya da hesap makinesi veya bilgisayardan yardım alabilirsiniz Ben hesap makinesi kullanmayı tercih ediyorum Bunu yapınca ve tenin 40 metre bölü saniye ya da -39 metre bölü saniye olduğunu buluruz Peki Bunlardan hangisi doğru dersiniz XL mı yoksa -39 mu kırkın aynı zamanda başlangıçtaki hız olduğunu da görüyor musunuz Biz son hızlı bulmak istiyoruz Peki denklem Bize neden yeniden Bu ilk hızı veriyor Görünüşe göre bu topların momentumları ve enerjilerini Korumalar için birbirlerine çarpmaları gerekiyor Evet eğer tenis topuyla golf topu çarpışmaz larsa herkes topta başlangıçtaki hızlarını Koru şöyle değil mi burada gördüğümüz sonuç böyle bir durumda Yani çarpışma olmadığında elde edeceğimiz sonuç bizim aradığımız şey bu değil Öyleyse tenis topunun son hızı bu olmadı Evet Tenis topu çarpışmadan sonra yönde iş bu ve sola doğru -39 metre Saniyelik bir hızla ilerlemeye başlıyor Peki ya golf topu tenis topun hızını bildiğimize göre buraya yerleştirebiliriz Golf topunun sonrası da 1,56 eksi 1,29 çarpı eksi 39 dan 52 metre bölü saniye olur Bu da Golf topunun sağa doğru saniyede 52 metrelik bir hızla ilerleyeceği anlamına gelir eşte bitti Evet şimdi son olarak bu dersimizde neler yaptığımıza bir gözden geçirelim topların kütlelerini ve başlangıçtaki hızlarını zaten biliyorduk bu mentopın korunumunu kullandık ama iki bilinmeyenli bir denklem elde ettik bunu çözmek için bir denkleme daha ihtiyacımız vardı Ve bu renkle mide çarpışmanın esnek olmasından yola çıkıp enerjinin korunumu unu işin içine katarak elde ettik bunun sonucunda ise elimizde iki bilinmeyenli iki denklemden olduk bunları çözmek için de bilinmeyenlerden birini diğerinin cinsinden ifade edip elde ettiğimiz ifadeyi diğer denkleme yer ve böylelikle bir bilinmeyenli bir denklem elde ettik denklem ikinci dereceden bir denklem olduğundan çözümler bulmak için de formülü kullandık elde ettiğiniz sonuçlardan biri cisimlerin birinin başlangıçtaki Hızlı eşitti Ve bu da çarpışmanın gerçekleşmediği durumu temsil eden sonuçtu çarpışmanın gerçekleştiğini bildiğimiz için ikinci sonucu kullandık ve diğer cismin son hızını da bulduk eşte bu kadar o