Konumla zamanı ilişkilendiren grafiklerden neler öğrenebileceğimizi görün.

Konum ve zaman grafikleri neden faydalıdır?

Çoğu kişi, grafikler hakkında diş doktoruna gitmeye benzer hisler içindedir: belli belirsiz bir endişe ve işin çabucak bitmesi için kuvvetli bir istek. Ancak konum grafikleri çok güzel olabilir ve bunlar bir nesnenin nispeten küçük bir alandaki hareketine ilişkin oldukça fazla bilginin görsel olarak temsil edilmesi için etkin bir yol sunar.

Konum grafiğinde düşey eksen neyi gösterir?

Düşey eksen nesnenin konumunu temsil eder. Örneğin, eğer aşağıdaki grafiğin belirli bir zamandaki değerini okursanız, nesnenin metre cinsinden konumunu elde edeceksiniz.
Farklı zamanları seçmek ve konumun nasıl değiştiğini görmek için, aşağıdaki grafikte noktayı yatay yönde kaydırmayı deneyin.
Kavram kontrolü: Yukarıdaki grafiğe göre, t=5 saniyedet=5\text{ saniyede} nesnenin konumu nedir?

Konum grafiğinde eğim neyi temsil eder?

Bir konum grafiğinin eğimi, nesnenin hızını temsil eder. Buna göre, belirli bir zamandaki eğim değeri, bu nesnenin o andaki hızını temsil eder.
Bunun nedenini görmek için, aşağıda gösterilen konum ve zaman grafiğinin eğimini düşünün.
Bu konum grafiğinin eğimi şu formülle verilir: eimg˘=dşey eksendeki deişimu¨g˘yatay eksendeki deişimg˘=x2x1t2t1\text{eğim}=\dfrac{\text{düşey eksendeki değişim}}{\text{yatay eksendeki değişim}}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}.
Bu eğim ifadesi, hızın tanımı v=ΔxΔt=x2x1t2t1v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} ile aynıdır. Dolayısıyla, bir konum grafiğinin eğimi hıza eşit olmalıdır.
Bu, eğimin değiştiği bir konum grafiği için de doğrudur. Aşağıdaki örnek konum-süre grafiğinde, kırmızı doğru size belirli bir andaki eğimi gösterir. Grafiğin eğiminin belirli anlarda nasıl gözüktüğünü görmek için, aşağıdaki noktayı yatay olarak kaydırmayı deneyin.
Eğrinin eğimi, t=0 st=0\text{ s} ile t=3 st=3 \text{ s} zamanları arasında pozitiftir çünkü eğim yukarı yönlüdür. Bunun anlamı, hızın pozitif olduğu ve nesnenin pozitif yönde hareket ettiğidir.
Eğrinin eğimi t=3 st=3 \text{ s} ile t=9 st=9 \text{ s} arasında negatiftir çünkü eğim aşağı yönlüdür. Bunun anlamı, hızın negatif olduğu ve nesnenin negatif yönde hareket ettiğidir.
t=3 st=3\text{ s}'de eğim sıfırdır çünkü eğimi temsil eden doğru yataydır. Bunun anlamı, hızın sıfır olmasıdır ve nesne anlık durmuştur.
Kavram kontrolü: Yukarıdaki grafiğe göre, t=9 st=9 \text{ s}'de nesnenin hızı nedir?
Akılda tutulması gereken şeylerden birisi, bir konum grafiğinin verilen bir andaki eğiminin o andaki anlık hızı vermesidir. Zamandaki iki nokta arasındaki ortalama eğim size zamandaki o iki an arasındaki ortalama hızı verecektir. Anlık hızın ortalama hıza eşit olması gerekmez. Ancak belirli bir süre için eğim sabitse (yani grafik düz bir doğru parçasıysa), bu durumda o doğru parçasındaki herhangi iki nokta arasında anlık hız ortalama hıza eşit olacaktır.

Bir konum grafiğindeki eğri ne anlama gelmektedir?

Aşağıdaki grafiği inceleyin. Sadece düz doğru parçalarından oluşmadığı için, eğrili gözükmektedir. Eğer bir konum grafiği eğrili ise eğim değişiyor olacaktır, bu aynı zamanda hızın da değişiyor olacağı anlamına gelir. Hızın değişmesi ivmeyi gösterir. Dolayısıyla, bir grafikte eğrilik olması, nesnenin hız/eğim değiştirdiği yani ivme kazandığı anlamına gelir.
Aşağıdaki grafikte eğimin değişmesini izlemek için, noktayı yatay yönde kaydırmayı deneyin. 1 s1\text{ s} ile 5 s5\text{ s} arasındaki ilk tümsek negatif ivmeyi temsil eder, çünkü eğim pozitiften negatife gider. 7s7\text{s} ile 11 s11\text{ s} arasındaki ikinci tümsek için ivme pozitiftir, çünkü eğim negatiften pozitife gider.
Kavram kontrolü: Yukarıdaki grafiğe göre, t=6 st=6 \text{ s}'de nesnenin ivmesi nedir?
Özetlersek, eğer konum grafiğinin eğriliği bir ters çevrilmiş çanak gibi gözüküyorsa, ivme negatif olacaktır. Eğer eğrilik yukarı bakan çanak gibi gözüküyorsa, ivme pozitif olacaktır. Bunu hatırlamanın bir yolu şöyledir: eğer çanak ters çevrilmişse, tüm yiyeceğiniz dökülecektir ve bu negatiftir. Eğer çanağınız düz duruyorsa, yiyeceğiniz çanağın içinde durmaya devam eder ve bu pozitiftir.

Konum ile süre grafiğine ilişkin çözülmüş örnekler neye benziyor?

Örnek 1: Aç mors

Yiyecek ararken yatay olarak ileri geri yürüyen bir morsun hareketi aşağıdaki grafikte verilmiştir. Bu grafikte yatay konum (xx) sürenin(tt) bir fonksiyonu olarak gösterilmiştir.
Morsun aşağıdaki zamanlarındaki anlık hızı nedir: 2 s2\text{ s}, 5 s5\text{ s}, ve 8 s8\text{ s}?

2 s2\text{ s}'de hızı bulma:

Morsun t=2 st=2\text{ s}'deki hızını bulmak için, grafiğin t=2 st=2\text{ s}'deki eğimini buluruz:
eimg˘=x2x1t2t1(eim formln kullanın)g˘u¨u¨u¨\text{eğim}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(eğim formülünü kullanın)}
Şimdi belirleyici olacağını düşündüğümüz doğrudaki iki noktayı seçeceğiz ve grafiğin o noktalardaki değerini belirleyeceğiz. Biz (0 s,1 m)(0 \text{ s}, 1\text{ m}) ve (4 s,3 m)(4 \text{ s}, 3\text{ m}) noktalarını seçiyoruz, ancak 0 s0\text{ s} ve 4 s4\text{ s} arasındaki herhangi iki noktayı seçebilirdik. Sonraki zamandaki noktayı 2. nokta ve daha önceki zamandaki noktayı 1. nokta olarak yerine koymalıyız.
eimg˘=3 m1 m4 s0 s(ki nokta seçin ve x deerlerini paya, t deerlerini paydaya koyun.)I˙g˘g˘\text{eğim}=\dfrac{3\text{ m}-1\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(İki nokta seçin ve x değerlerini paya, t değerlerini paydaya koyun.)}
eimg˘=2 m4 s=12 m/s(Hesaplayın ve kutlayın.)\text{eğim}=\dfrac{2\text{ m}}{4\text{ s}}=\dfrac{1}{2} \text{ m/s}\qquad \text{(Hesaplayın ve kutlayın.)}
Böylece, morsun 2 s2\text{ s}'deki hızı 0,5 m/s0,5 \text{ m/s} idi.

5 s5\text{ s}'de hızı bulma:

5 s5\text{ s}'deki hızı bulmak için, grafiğin orada yatay olduğuna dikkat etmeliyiz. Grafik yatay olduğundan eğim sıfıra eşittir, bu morsun 5 s5\text{ s}'deki hızı0 m/s0 \text{ m/s} idi anlamını taşır.

8 s8\text{ s}'de hızı bulma:

eimg˘=x2x1t2t1(Eim formln kullanın.)g˘u¨u¨u¨\text{eğim}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(Eğim formülünü kullanın.)}
Nihai doğru parçasının başında ve sonunda noktalar seçeceğiz, bunlar (6 s,3 m)(6 \text{ s}, 3\text{ m}) ve (9 s,0 m)(9 \text{ s}, 0\text{ m})'dir.
eimg˘=0 m3 m9 s6 s(ki nokta seçin ve x deerlerini paya, t deerlerini paydaya koyun.)I˙g˘g˘\text{eğim}=\dfrac{0\text{ m}-3\text{ m}}{9\text{ s}-6\text{ s}}\qquad \text{(İki nokta seçin ve x değerlerini paya, t değerlerini paydaya koyun.)}
eimg˘=3 m3 s=1 m/s(Hesaplayın ve kutlayın.)\text{eğim}=\dfrac{-3\text{ m}}{3\text{ s}}=-1 \text{ m/s}\qquad \text{(Hesaplayın ve kutlayın.)}
Böylece, morsun 8 s8\text{ s}'deki hızı 1 m/s-1 \text{ m/s} idi.

Örnek 2: Mutlu kuş

Çok mutlu olan ve alışılmadık şekilde düz yukarı ve aşağı uçan bir kuşun hareketi aşağıdaki grafikte verilmiştir; grafikte düşey konum (yy) sürenin (tt) bir fonksiyonu olarak gösterilmiştir. Kuşun hareketine ilişkin aşağıdaki soruları cevaplayın.
Kuşun t=0 st=0\text{ s} ile t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama hızı nedir?
Kuşun t=0 st=0\text{ s} ile t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama sürati nedir?

Kuşun t=0 st=0\text{ s} ile t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama hızını bulma:

t=0 st=0\text{ s} ve t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama hızı bulmak için, t=0 st=0\text{ s} ve t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama eğimi bulabiliriz. Bu görsel olarak, grafikteki başlangıç noktası ile bitim noktasını birleştiren doğrunun eğimini bulmaya karşılık gelecektir.
eimg˘=x2x1t2t1(Eim formln kullanın.)g˘u¨u¨u¨\text{eğim}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(Eğim formülünü kullanın.)}
Başlangıç noktası (0 s,7 m)(0 \text{ s}, 7\text{ m}) ve bitiş noktası (10 s,6 m)(10 \text{ s}, 6\text{ m}) olacaktır.
eimg˘=6 m7 m10 s0 s(Zaman aralıının son ve ilk noktalarını alın ve deerleri girin.)g˘g˘\text{eğim}=\dfrac{6\text{ m}-7\text{ m}}{10\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(Zaman aralığının son ve ilk noktalarını alın ve değerleri girin.)}
eimg˘=1 m10 s=0.1 m/s(Hesaplayın ve kutlayın.)\text{eğim}=\dfrac{-1\text{ m}}{10\text{ s}}=-0.1 \text{ m/s}\qquad \text{(Hesaplayın ve kutlayın.)}
Böylece, kuşun t=0 st=0\text{ s} ile t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama hızı 0,1 m/s-0,1 \text{ m/s} idi.

Kuşun t=0 st=0\text{ s} ile t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama süratini bulma:

Ortalama süratin tanımı, gidilen uzaklık bölü süredir. Buna göre, gidilen mesafeyi bulmak için gezinin her etabının yol uzunluğunu toplamalıyız. t=0 st=0\text{ s} ile t=2,5 st=2,5\text{ s} arasında, kuş 5 m5\text{ m} aşağı gitti. Sonra, t=2,5 st=2,5\text{ s} ile t=5 st=5\text{ s} arasında kuş hareket etmedi. Son olarak, t=5 st=5\text{ s} ile t=10 st=10\text{ s} arasında kuş 4 m4\text{ m} yukarı uçtu. Tüm yolların uzunluklarını topladığımızda, gidilen toplam mesafenin mesafe=9 m\text{mesafe}=9\text{ m} olduğunu buluruz.
Şimdi ortalama sürati sorts_{ort} bulmak için süreye bölebiliriz:
sort=uzaklıkΔt(Ortalama srat formln kullanın.)u¨u¨u¨u¨s_{ort}=\dfrac{\text{uzaklık}}{\Delta t} \quad\text{(Ortalama sürat formülünü kullanın.)}
sort=9 m10 s=0.9 m/s(Deerleri yerine koyun, hesaplayın ve kutlayın!)g˘s_{ort}=\dfrac{9\text{ m}}{10\text{ s}}=0.9\text{ m/s} \quad\text{(Değerleri yerine koyun, hesaplayın ve kutlayın!)}
Böylece, kuşun t=0 st=0\text{ s} ile t=10 st=10\text{ s} arasındaki ortalama sürati 0,9 m/s0,9 \text{ m/s} idi.
Yükleniyor