Ana içerik

Kinematik Formüller Nelerdir?

İvmenin sabit olduğu durumları analiz etmek için kullanabileceğiniz temel denklemler bunlardır:

Kinematik formüller nelerdir?

Kinematik formüller, aşağıda listelenmiş beş kinematik değişkeni ilişkilendiren bir dizi formüldür.

delta, x, start text, Y, e, r, space, d, e, g, with, \u, on top, i, ş, t, i, r, m, e, end text
t, start text, Z, a, m, a, n, space, a, r, a, l, ı, g, with, \u, on top, ı, end text, space
v, start subscript, 0, end subscript, space, space, start text, B, a, ş, l, a, n, g, ı, ç, space, h, ı, z, ı, end text, space
v, space, space, space, start text, S, o, n, space, h, ı, z, end text, space
a, space, space, start text, space, S, a, b, i, t, space, i, v, m, e, end text, space

[Zaman aralığı şimdi neden t olarak yazılıyor?]

Eğer sabit ivme ye sahip bir nesne için bu beş değişkenden left parenthesis, delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a, right parenthesis üç tanesini bilirsek, bilinmeyen değişkenlerden bir tanesini bulmak için aşağıdaki kinematik formülü kullanabiliriz.

Kinematik formüller genelde aşağıdaki dört denklem olarak yazılır.

[Bu formüller nereden geldiler?]

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Kinematik formüller sadece dikkate alınan zaman aralığında ivme sabit ise doğru olduğundan, bunları ivme değişirken kullanmamaya dikkat etmeliyiz. Ayrıca, kinematik formüller tüm değişkenlerin aynı yönü belirttiğini varsayar: yatay x, düşey y, vb.

[Bir saniye, ne?]

Serbest uçan nesne nedir (örneğin eğik atış)?

Kinematik formüllerin sadece ivmenin sabit olduğu zaman aralıkları için geçerli olmasının, bu formüllerin uygulanabilirliğini önemli ölçüde kısıtladığı düşünülebilir. Bununla birlikte, hareketin en sık karşılaşılan formlarından birisi olan serbest düşüşte sabit ivme gözlemlenir.

Kütlelerinden bağımsız olarak, dünyadaki tüm serbest düşen nesneler (fırlatma hareketi veya eğik atış olarak da adlandırılır), g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction büyüklükteki yer çekimine bağlı olarak aşağı yönlü sabit ivmeye sahiptir.

g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, Y, e, r, space, ç, e, k, i, m, i, n, e, space, b, a, g, with, \u, on top, l, ı, space, i, v, m, e, space, b, u, with, \", on top, y, u, with, \", on top, k, l, u, with, \", on top, g, with, \u, on top, u, with, \", on top, right parenthesis, end text

Serbest düşen bir nesne, sadece yer çekimi etkisiyle ivmelenen herhangi bir nesne olarak tanımlanır. Genelde hava direncinin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu varsayarız; bu, düşürülen, atılan veya herhangi bir şekilde havada serbestçe düşen her nesnenin g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction büyüklükte aşağı yönlü sabit ivmeyle düşen bir nesne olarak kabul edildiği anlamını taşır.

Aslında bu hem garip hem de tesadüfidir. Gariptir; çünkü bu büyük bir kaya parçasının küçük bir çakıl taşı ile aşağı doğru aynı ivmeyle ivme kazanacağı ve eğer aynı yükseklikten bırakılırlarsa, yere aynı anda çarpacakları anlamını taşır.

[Bu nasıl böyle olabilir?]

Aynı zamanda tesadüfidir çünkü kinematik formüller çözerken nesnenin kütlesini bilmemize gerek yoktur. Bunun sebebi serbest bir şekilde uçan nesnenin kütlesi ne olursa olsun (ve hava direncini göz ardı ettiğimiz sürece) aynı hızlanma büyüklüğüne (g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction) sahip olmasıdır.

Dikkat ederseniz, g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction sadece yer çekimine bağlı ivmenin büyüklüğüdür. Eğer yukarı doğru pozitif olarak seçilirse, bir atış için kinematik formüllere koyarken, yer çekimine bağlı ivmeyi negatif a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction almalıyız.

Uyarı: Kinematik formülleri kullanırken en sık yapılan hatalardan birisi, negatif işaretleri koymayı unutmaktır.

Bir kinematik formülü nasıl seçer ve kullanırsınız?

Hem aradığımız değişkeni hem halihazırda bildiğimiz üç kinematik değişkeni içeren kinematik formülü seçiyoruz. Bu yolla aradığımız değişkeni bulabiliriz, formüldeki tek bilinmeyen bu değişken olacak.

Örneğin, yerde duran bir kitaba ileri doğru v, start subscript, 0, end subscript, equals, 5, start text, space, m, slash, s, end text başlangıç hızı ile vurulduğunu ve t, equals, 3, start text, space, s, end text'lik bir zaman aralığından sonra kitabın kayarak delta, x, equals, 8, start text, space, m, end text yer değiştirdiğini varsayalım. Kitabın bilinmeyen ivmesini left parenthesis, a, right parenthesis cebir yoluyla bulmak için kinematik formülü left parenthesis, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, right parenthesis kullanabilirdik (ivmenin sabit olduğu varsayıldığında), çünkü formülde a dışındaki değişkenlerin hepsini left parenthesis, delta, x, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, t, right parenthesis zaten biliyoruz.

Problem çözümü için ipucu: Her kinematik formülde, beş kinematik değişkenden (delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a) bir tanesinin eksik olduğuna dikkat edin.

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, space, delta, x, space, e, k, s, i, k, t, i, r, right parenthesis, end text

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, space, a, space, e, k, s, i, k, t, i, r, right parenthesis, end text

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, start text, left parenthesis, space, v, space, e, k, s, i, k, t, i, r, right parenthesis, end text

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, start text, left parenthesis, t, space, e, k, s, i, k, t, i, r, right parenthesis, end text

Sizin probleminiz için doğru olan kinematik formülü seçmek için, size verilmemiş olan ve bulmanızın istenmediği değişkenin hangisi olduğunu belirleyin. Örneğin yukarıda verilen problemde, kitabın son hızı left parenthesis, v, right parenthesis ne verilmiştir ne de sorulmuştur, dolayısıyla v'yi içermeyen bir formül seçmeliyiz. delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared formülünde v olmadığından, bu durumda ivmeyi left parenthesis, a, right parenthesis bulmak için doğru seçenek budur.

[Başlangıç hızını içermeyen, beşinci bir kinematik formülün olması gerekmez mi?]

Birinci kinematik formülü, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, nasıl elde edersiniz?

En kolay elde edilen kinematik formül muhtemelen budur, çünkü aslında sadece ivme tanımının yeniden düzenlemiş versiyonudur. İvme tanımı

a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction

\quad

ile başlayabiliriz.

[Bu ortalama ivme değil mi?]

Şimdi delta, v yerine hızdaki değişikliği gösteren left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'ı koyabiliriz:

a, equals, start fraction, v, start subscript, minus, end subscript, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, delta, t, end fraction

Son olarak, v'yi bulmak için denklemi çözersek şunu elde ederiz:

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, delta, t

Eğer delta, t için sadece t kullanırsak, bu birinci kinematik formül olur.

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

İkinci kinematik formülü, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, nasıl elde ederiz?

Bu kinematik formülü görsel olarak elde etmenin havalı bir yolu, aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi sabit ivmeye sahip (başka bir deyişle sabit eğime sahip) ve v, start subscript, 0, end subscript başlangıç hızıyla başlayan bir nesnenin hız grafiğini dikkate almaktır.

Herhangi bir hız grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi left parenthesis, delta, x, right parenthesis verir. Buna göre, bu hız grafiğinin altındaki alan nesnenin yer değiştirmesi left parenthesis, delta, x, right parenthesis olacaktır.

delta, x, equals, start text, space, t, o, p, l, a, m, space, a, l, a, n, end text

Bu alanı, yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi bir mavi dikdörtgene ve bir kırmızı üçgene ayırıyoruz.

Mavi dikdörtgenin yüksekliği v, start subscript, 0, end subscript ve genişliği t olduğundan, mavi dikdörtgenin alanı v, start subscript, 0, end subscript, t'dir.
Kırmızı üçgenin tabanı t ve yüksekliği v, minus, v, start subscript, 0, end subscript'dır, buna göre kırmızı üçgenin alanı start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis'dır.

Toplam alan, mavi dikdörtgenin ve kırmızı üçgenin alanlarının toplamı olacaktır.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

Eğer start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t çarpanını dağıtırsak, bunu elde ederiz:

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t elde ederiz.

v, start subscript, 0, end subscript terimlerini birleştirerek sadeleştirdiğimizde,

delta, x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Son olarak, ikinci kinematik formülü elde etmek için sağ tarafı tekrar yazabiliriz.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Bu formül ilginçtir çünkü her iki tarafı t'yee bölerseniz start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis elde edersiniz. Bu formül, ortalama hızın left parenthesis, start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, right parenthesis başlangıç ve bitiş hızlarının ortalamasına left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis eşit olduğunu gösterir. Bununla birlikte, bu sadece ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğrudur zira bu formülü sabit eğim/ivmeye sahip bir hız grafiğinden elde ettik.

Üçüncü kinematik formülü, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, nasıl elde ederiz?

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared denklemini elde etmenin birkaç yolu bulunmaktadır. Havalı bir geometrik türetme yöntemi ve yerine koyarak elde etme yöntemi bulunmaktadır. İlk olarak, geometrik yöntemi ele alacağız.

Aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi, v, start subscript, 0, end subscript hızıyla başlayan ve v son hızına kadar sabit ivmeyi koruyan bir nesneyi düşünün.

Bir hız grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi left parenthesis, delta, x, right parenthesis verdiğinden, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared formülünün sağ tarafındaki her terim yukarıdaki grafikte bir alanı temsil eder.

v, start subscript, 0, end subscript, t terimi mavi dikdörtgenin alanını temsil eder çünkü A, start subscript, d, i, k, d, o, with, \ddot, on top, r, t, g, e, n, end subscript, equals, h, w'dur.

start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared terimi kırmızı üçgenin alanını temsil eder, çünkü A, start subscript, u, with, \ddot, on top, ç, g, e, n, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h'dir.

[Bir saniye, nasıl?]

İşte budur. delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared formülü doğru olmalıdır, çünkü yer değiştirme eğrinin altındaki toplam alan ile verilmelidir. Üçgen formülünü kullanabilmek için hız grafiğinin düzgün bir köşegen doğru olduğunu varsaydık, dolayısıyla diğer kinematik formüller gibi bu kinematik formül de sadece ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğrudur.

Alternatif yerine koyma ve türetme yönetiminden bahsedelim. Üçüncü kinematik formül, birinci kinematik formülü (v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t) ikinci kinematik formüle (start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction) koyarak elde edilebilir.

Eğer ikinci kinematik formülle başlarsak,

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

v yerine v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t koyduğumuzda, bunu elde ederiz:

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Sağ tarafı açarsak,

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Sağ taraftaki start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction terimlerini birleştirirsek, bunu elde ederiz:

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction

Son olarak, her iki tarafı süre left parenthesis, t, right parenthesis ile çarpmak bize üçüncü kinematik formülü verir.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Yine sabit ivme koşulu olan diğer kinematik formülleri kullandık; dolayısıyla bu üçüncü kinematik formül de sadece ivmenin sabit olduğu varsayımıyla geçerlidir.

Dördüncü kinematik formülü, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, nasıl elde edersiniz?

Dördüncü kinematik formülü elde etmek için, ikinci kinematik formülle başlayacağız:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t ile başlayacağız.

Bu formülde süreyi left parenthesis, t, right parenthesis yok etmek istiyoruz. Bunu yapmak için, birinci kinematik formülü left parenthesis, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis süre için çözerek t, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction'yı elde edeceğiz. Şimdi ikinci kinematik formüle süre left parenthesis, t, right parenthesis yerine bu ifadeyi koyarak,

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction, right parenthesis elde ederiz.

Sağ taraftaki kesirleri çarptığımızda, bunu elde ederiz:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, squared, minus, v, start subscript, 0, end subscript, squared, divided by, 2, a, end fraction, right parenthesis elde ederiz.

Ve şimdi v, squared için çözdüğümüzde, dördüncü kinematik formülü elde ederiz.

v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Kinematik formüllerin kafa karıştırıcı bir yönü var mı?

İnsanlar genelde *kinematik formülün sadece ilgili zaman aralığında ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğru olduğunu *unuturlar.

Bazen bir problemde bilinen bir değişken açıkça verilmez, ancak belirli kelime kalıpları kullanılarak belirtilir. Örneğin, ''hareketsiz durumdan başlar'' v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 anlamına gelir, "düşürülmüştür" genelde v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 anlamına gelir ve "sonunda durur" v, equals, 0 anlamına gelir. Ayrıca, serbest düşüşteki tüm nesnelerdeki yer çekimine bağlı ivmenin büyüklüğü g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction olarak varsayılır, dolayısıyla bu ivme bir problemde açıkça verilmez ancak serbest düşüşteki bir nesne için ima edilir.

İnsanlar t hariç tüm kinematik değişkenlerin -delta, x, comma, v, start subscript, o, end subscript, comma, v, comma, a- negatif olabileceğini unutur. Eksik olan bir eksi işareti sık rastlanılan hatalardan birisidir. Eğer yukarı doğru pozitif olarak kabul edilmişse, bu durumda serbest düşen bir nesne için yer çekimine bağlı ivme negatif olmalıdır: a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Üçüncü kinematik formül delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared ikinci dereceden formülün kullanılmasını gerektirebilir (aşağıda çözülen 3. örneğe bakın).

İnsanlar sabit hızlanma boyunca herhangi bir zaman aralığını seçebileceğimiz hâlde kinematik formüle koyduğumuz kinematik değişkenlerin o zaman aralığıyla tutarlı olması gerektiğini unuturlar. Başka bir deyişle, v, start subscript, 0, end subscript ilk hız nesnenin ilk konumdaki ve t zaman aralığının başındaki hızı olmalıdır. Benzer şekilde, son hız v de son konumdaki ve t zaman aralığının sonundaki hız olmalıdır.

Kinematik formüllerle ilgili çözümlü örnekler görebilir miyim?

Örnek 1: Birinci kinematik formül, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Meyve suyu ile doldurulmuş bir su balonu çok yüksek bir binanın tepesinden atılır.

Su balonunun t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text düştükten sonraki hızı nedir?

Yukarı doğrunun pozitif yön olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 (Çünkü su balonu düşürülmüştür ve durağan konumdan başlamıştır.)
t, equals, 2, comma, 35, start text, space, s, end text (Bu, sonrasındaki hızı bulmak istediğimiz zaman aralığıydı.)
a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction(Bu ima edilmiştir çünkü su balonu serbest düşen bir nesnedir.)

[Yere çarptığı için son hız sıfır değil midir?]

Bu durumda hareket düşeydir, bu nedenle konum değişkenimiz olarak x yerine y kullanacağız. Tutarlı olduğumuz sürece seçeceğimiz sembol fark etmez, ancak genelde düşey hareketi belirtmek için y kullanılır.

Yer değiştirme left parenthesis, delta, y, right parenthesis'yi bilmediğimiz ve bize yer değiştirme left parenthesis, delta, y, right parenthesis sorulmadığı için, birinci kinematik formülü left parenthesis, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis kullanacağız (bu formülde delta, y yoktur).

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, B, i, r, i, n, c, i, space, k, i, n, e, m, a, t, i, k, space, f, o, r, m, u, with, \", on top, l, u, with, \", on top, space, k, u, l, l, a, n, ı, n, comma, space, ç, u, with, \", on top, n, k, u, with, \", on top, space, b, u, n, d, a, space, delta, y, space, y, o, k, t, u, r, point, right parenthesis, end text

v, equals, 0, start text, space, m, slash, s, end text, plus, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 35, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, B, i, l, i, n, e, n, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text

v, equals, minus, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, space, v, e, space, k, u, t, l, a, y, ı, n, right parenthesis, end text

Not: Son hız negatifti, çünkü su balonunun yönü aşağı doğruydu.

[Aşağı doğruyu pozitif yön olarak adlandıramaz mıyız?]

Örnek 2: İkinci kinematik formül, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Bir leopar 6,2 m/s hızla koşmaktadır ve bir dondurma arabası şeklindeki serabı gördükten sonra 3,3 s'lik sürede 23,1 m/s'ye hızlanır.

Leopar 6,2 m/s'den 23,1 m/s'ye ulaşırken ne kadar yol almıştır?

Yolculuğun başlangıçtaki yönünün pozitif olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text (Leoparın başlangıç sürati)
v, equals, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text (Leoparın son sürati)
t, equals, 3, comma, 30, start text, space, s, end text (Leoparın hızlanması sırasında geçen süre)

İvmeyi left parenthesis, a, right parenthesis bilmediğimiz için ve bize ivme sorulmadığı için, yatay yön için ikinci kinematik formül delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t'yi kullanacağız (bunda a yoktur).

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, a, space, e, k, s, i, k, space, o, l, d, u, g, with, \u, on top, u, space, i, ç, i, n, comma, space, i, k, i, n, c, i, space, k, i, n, e, m, a, t, i, k, space, f, o, r, m, u, with, \", on top, l, u, with, \", on top, space, k, u, l, l, a, n, ı, n, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, 23, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 6, comma, 20, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, 30, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, B, i, l, i, n, e, n, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, 48, comma, 3, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, H, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, space, v, e, space, k, u, t, l, a, y, ı, n, right parenthesis, end text

Örnek 3: Üçüncü kinematik formül, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Bir öğrenci kinematik formül ödevinden çok sıkılmıştır ve kurşun kalemini tam olarak yukarıya doğru 18,3 m/s ile atar.

Kurşun kalemin atıldığı yerden 12,2 m daha yüksek bir noktaya ilk kez ulaşması ne kadar sürer?

Yukarı doğrunun pozitif yön olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text (Kalemin başlangıçtaki yukarı yönlü hızı)
delta, y, equals, 12, comma, 2, start text, space, m, end text (Kurşun kalemin bu yer değiştirmeyi yaptığı zamanı bilmek istiyoruz.)
a, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (Kalem serbest şekilde uçan bir nesnedir.)

Son hızı left parenthesis, v, right parenthesis bilmediğimiz ve bize son hız sorulmadığı için, düşey yön için üçüncü kinematik formülü left parenthesis, delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, right parenthesis kullanacağız, bu formülde v yoktur.

delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, U, with, \", on top, ç, u, with, \", on top, n, c, u, with, \", on top, space, k, i, n, e, m, a, t, i, k, space, f, o, r, m, u, with, \", on top, l, l, e, space, b, a, ş, l, a, y, ı, n, point, right parenthesis, end text

Normalde ifademizi bulmak istediğimiz değişken için cebirsel olarak çözerdik, ancak eğer terimlerden hiç birisi sıfır değilse bu kinetik formül şu an cebir yoluyla çözülemez. Bunun sebebi terimlerin hiçbirisi sıfır olmadığında ve t bilinmeyen değişken olduğunda, bu denklemin ikinci dereceden bir denklem haline gelmesidir. Bunu, bilinen değerleri yerine koyarak görebiliriz.

12, comma, 2, start text, space, m, end text, equals, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, B, i, l, i, n, e, n, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text

Bunu daha kolay çözülebilecek bir denklem olarak yazalım. Bunun için her şeyi denklemin bir tarafına toplayalım. Her iki taraftan da 12,2 m çıkarırsak şunu elde ederiz:

0, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, plus, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, B, u, n, u, space, i, k, i, n, c, i, space, d, e, r, e, c, e, d, e, n, space, d, e, n, k, l, e, m, space, h, a, l, i, n, e, space, g, e, t, i, r, i, n, point, right parenthesis, end text

Bu noktada ikinci dereceden denklemi süre t için çözeriz. a, t, squared, plus, b, t, plus, c, equals, 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin çözümleri, t, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak bulunur. a, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis kinematik denklemimiz için, b, equals, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text ve c, equals, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text'dir.

Buna göre, ikinci dereceden denklem formülüne koyduğumuzda bunu elde ediyoruz:

t, equals, start fraction, minus, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, plus minus, square root of, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, 4, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, minus, 12, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, close bracket, end square root, divided by, 2, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, close bracket, end fraction

İkinci dereceden denklem formülünde bir artı veya eksi işareti olduğundan, süre t için iki cevap elde ederiz: birisi plus kullandığımızda ve diğeri minus kullandığımızda. Yukarıdaki ikinci dereceden denklem formülünü çözmek, bu iki süreyi verir:

t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text ve t, equals, 2, comma, 86, start text, space, s, end text

Kurşun kalemin 12,2 m yükseklikte olduğu iki zaman olduğundan, iki pozitif çözüm vardır. Daha küçük olan zaman yukarı doğru gitmek ve birinci 12,2 m'lik yer değiştirmeye ulaşmak için gereken süreyi gösterir. Daha büyük olan zaman yukarı doğru gitmek, 12,2 m'lik yüksekliği geçmek, maksimum yüksekliğe ulaşmak ve daha sonra aşağı düşerek 12,2 m'lik yükseklikteki noktaya ulaşmak için gereken süreyi gösterir.

Buna göre, "Kalemin atıldığı yerden 12,2 m daha yüksekteki bir noktaya ilk kez ulaşması ne kadar sürer?" sorusuna cevap vermek için daha kısa süre olan t, equals, 0, comma, 869, start text, space, s, end text'yi seçmeliyiz.

[İkinci dereceden denklem formülü negatif bir cevap verirse ne olur?]

Örnek 4: Dördüncü kinematik formül, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Bir motosikletli 23,4 m/s hızla yolculuğuna başlar ve ilerideki trafiği gördüğünde 50,2 m'lik bir mesafede 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction büyüklükte sabit ivme kaybederek yavaşlamaya karar verir. Motosikletlinin tüm yolculuk boyunca ileri doğru hareket ettiğini varsayın.

Motosikletlinin 50,2 m yavaşladıktan sonra yeni hızı neydi?

Yolculuğun başlangıçtaki yönünün pozitif olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text (Motosikletin ileri doğru başlangıç hızı)
a, equals, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (İvme negatiftir çünkü motosiklet yavaşlamaktadır ve ileri doğru hareketin pozitif olduğunu varsaydık.)
delta, x, equals, 50, comma, 2, start text, space, m, end text (Motosikletin bu yer değiştirmeden sonraki hızını bilmek istiyoruz.)

Zamanı yani left parenthesis, t, right parenthesis'yi bilmediğimiz ve bizden zamanı bulmamız istenmediği için, yatay yön için dördüncü kinematik formülü left parenthesis, v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, right parenthesis kullanacağız, bu formülde t yoktur.

v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, start text, left parenthesis, D, o, with, \", on top, r, d, u, with, \", on top, n, c, u, with, \", on top, space, k, i, n, e, m, a, t, i, k, space, f, o, r, m, u, with, \", on top, l, l, e, space, b, a, ş, l, a, y, ı, n, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, plus minus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root, start text, left parenthesis, C, e, b, i, r, space, k, u, l, l, a, n, a, r, a, k, space, s, o, n, space, h, ı, z, ı, space, h, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, point, right parenthesis, end text

Karekök aldığınızda iki olası cevap (pozitif veya negatif) elde ettiğinize dikkat edin. Motosikletlimiz hala harekete başladığı yöne gidiyor olduğundan ve bunun yönün pozitif olduğunu varsaydığımızdan, pozitif cevap olan v, start subscript, x, end subscript, equals, plus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root'i seçeceğiz.

Şimdi değerleri yerine koyarak şunu elde ederiz:

v, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, left parenthesis, 23, comma, 4, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, 2, left parenthesis, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 50, comma, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, end square root, start text, left parenthesis, B, i, l, i, n, e, n, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, 15, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, space, v, e, space, k, u, t, l, a, y, ı, n, !, right parenthesis, end text

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Fizik Kütüphanesi

Konu: Fizik Kütüphanesi > Ünite 1

Kinematik Formüller Nelerdir?