If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Kinematik Formüller Nelerdir?

İvmenin sabit olduğu durumları analiz etmek için kullanabileceğiniz temel denklemler bunlardır:

Kinematik formüller nelerdir?

Kinematik formüller, aşağıda listelenmiş beş kinematik değişkeni ilişkilendiren bir dizi formüldür.
ΔxYer değiştirme
tZaman aralığı 
v0  Başlangıç hızı 
v   Son hız 
a   Sabit ivme 
Eğer sabit ivme ye sahip bir nesne için bu beş değişkenden (Δx,t,v0,v,a) üç tanesini bilirsek, bilinmeyen değişkenlerden bir tanesini bulmak için aşağıdaki kinematik formülü kullanabiliriz.
Kinematik formüller genelde aşağıdaki dört denklem olarak yazılır.
1.v=v0+at
2.Δx=(v+v02)t
3.Δx=v0t+12at2
4.v2=v02+2aΔx
Kinematik formüller sadece dikkate alınan zaman aralığında ivme sabit ise doğru olduğundan, bunları ivme değişirken kullanmamaya dikkat etmeliyiz. Ayrıca, kinematik formüller tüm değişkenlerin aynı yönü belirttiğini varsayar: yatay x, düşey y, vb.

Serbest uçan nesne nedir (örneğin eğik atış)?

Kinematik formüllerin sadece ivmenin sabit olduğu zaman aralıkları için geçerli olmasının, bu formüllerin uygulanabilirliğini önemli ölçüde kısıtladığı düşünülebilir. Bununla birlikte, hareketin en sık karşılaşılan formlarından birisi olan serbest düşüşte sabit ivme gözlemlenir.
Kütlelerinden bağımsız olarak, dünyadaki tüm serbest düşen nesneler (fırlatma hareketi veya eğik atış olarak da adlandırılır), g=9,81ms2 büyüklükteki yer çekimine bağlı olarak aşağı yönlü sabit ivmeye sahiptir.
g=9,81ms2(Yer çekimine bağlı ivme büyüklüğü)
Serbest düşen bir nesne, sadece yer çekimi etkisiyle ivmelenen herhangi bir nesne olarak tanımlanır. Genelde hava direncinin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu varsayarız; bu, düşürülen, atılan veya herhangi bir şekilde havada serbestçe düşen her nesnenin g=9,81ms2 büyüklükte aşağı yönlü sabit ivmeyle düşen bir nesne olarak kabul edildiği anlamını taşır.
Aslında bu hem garip hem de tesadüfidir. Gariptir; çünkü bu büyük bir kaya parçasının küçük bir çakıl taşı ile aşağı doğru aynı ivmeyle ivme kazanacağı ve eğer aynı yükseklikten bırakılırlarsa, yere aynı anda çarpacakları anlamını taşır.
Aynı zamanda tesadüfidir çünkü kinematik formüller çözerken nesnenin kütlesini bilmemize gerek yoktur. Bunun sebebi serbest bir şekilde uçan nesnenin kütlesi ne olursa olsun (ve hava direncini göz ardı ettiğimiz sürece) aynı hızlanma büyüklüğüne (g=9,81ms2) sahip olmasıdır.
Dikkat ederseniz, g=9,81ms2 sadece yer çekimine bağlı ivmenin büyüklüğüdür. Eğer yukarı doğru pozitif olarak seçilirse, bir atış için kinematik formüllere koyarken, yer çekimine bağlı ivmeyi negatif ay=9,81ms2 almalıyız.
Uyarı: Kinematik formülleri kullanırken en sık yapılan hatalardan birisi, negatif işaretleri koymayı unutmaktır.

Bir kinematik formülü nasıl seçer ve kullanırsınız?

Hem aradığımız değişkeni hem halihazırda bildiğimiz üç kinematik değişkeni içeren kinematik formülü seçiyoruz. Bu yolla aradığımız değişkeni bulabiliriz, formüldeki tek bilinmeyen bu değişken olacak.
Örneğin, yerde duran bir kitaba ileri doğru v0=5 m/s başlangıç hızı ile vurulduğunu ve t=3 s'lik bir zaman aralığından sonra kitabın kayarak Δx=8 m yer değiştirdiğini varsayalım. Kitabın bilinmeyen ivmesini (a) cebir yoluyla bulmak için kinematik formülü (Δx=v0t+12at2) kullanabilirdik (ivmenin sabit olduğu varsayıldığında), çünkü formülde a dışındaki değişkenlerin hepsini (Δx,v0,t) zaten biliyoruz.
Problem çözümü için ipucu: Her kinematik formülde, beş kinematik değişkenden (Δx,t,v0,v,a) bir tanesinin eksik olduğuna dikkat edin.
1.v=v0+atΔx eksiktir)
2.Δx=(v+v02)ta eksiktir)
3.Δx=v0t+12at2v eksiktir)
4.v2=v02+2aΔx(t eksiktir)
Sizin probleminiz için doğru olan kinematik formülü seçmek için, size verilmemiş olan ve bulmanızın istenmediği değişkenin hangisi olduğunu belirleyin. Örneğin yukarıda verilen problemde, kitabın son hızı (v) ne verilmiştir ne de sorulmuştur, dolayısıyla v'yi içermeyen bir formül seçmeliyiz. Δx=v0t+12at2 formülünde v olmadığından, bu durumda ivmeyi (a) bulmak için doğru seçenek budur.

Birinci kinematik formülü, v=v0+at, nasıl elde edersiniz?

En kolay elde edilen kinematik formül muhtemelen budur, çünkü aslında sadece ivme tanımının yeniden düzenlemiş versiyonudur. İvme tanımı
a=ΔvΔt ile başlayabiliriz.
Şimdi Δv yerine hızdaki değişikliği gösteren (vv0)'ı koyabiliriz:
a=vv0Δt
Son olarak, v'yi bulmak için denklemi çözersek şunu elde ederiz:
v=v0+aΔt
Eğer Δt için sadece t kullanırsak, bu birinci kinematik formül olur.
v=v0+at

İkinci kinematik formülü, Δx=(v+v02)t, nasıl elde ederiz?

Bu kinematik formülü görsel olarak elde etmenin havalı bir yolu, aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi sabit ivmeye sahip (başka bir deyişle sabit eğime sahip) ve v0 başlangıç hızıyla başlayan bir nesnenin hız grafiğini dikkate almaktır.
Herhangi bir hız grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi (Δx) verir. Buna göre, bu hız grafiğinin altındaki alan nesnenin yer değiştirmesi (Δx) olacaktır.
Δx= toplam alan
Bu alanı, yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi bir mavi dikdörtgene ve bir kırmızı üçgene ayırıyoruz.
Mavi dikdörtgenin yüksekliği v0 ve genişliği t olduğundan, mavi dikdörtgenin alanı v0t'dir.
Kırmızı üçgenin tabanı t ve yüksekliği vv0'dır, buna göre kırmızı üçgenin alanı 12t(vv0)'dır.
Toplam alan, mavi dikdörtgenin ve kırmızı üçgenin alanlarının toplamı olacaktır.
Δx=v0t+12t(vv0)
Eğer 12t çarpanını dağıtırsak, bunu elde ederiz:
Δx=v0t+12vt12v0t elde ederiz.
v0 terimlerini birleştirerek sadeleştirdiğimizde,
Δx=12vt+12v0t
Son olarak, ikinci kinematik formülü elde etmek için sağ tarafı tekrar yazabiliriz.
Δx=(v+v02)t
Bu formül ilginçtir çünkü her iki tarafı t'yee bölerseniz Δxt=(v+v02) elde edersiniz. Bu formül, ortalama hızın (Δxt) başlangıç ve bitiş hızlarının ortalamasına (v+v02) eşit olduğunu gösterir. Bununla birlikte, bu sadece ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğrudur zira bu formülü sabit eğim/ivmeye sahip bir hız grafiğinden elde ettik.

Üçüncü kinematik formülü, Δx=v0t+12at2, nasıl elde ederiz?

Δx=v0t+12at2 denklemini elde etmenin birkaç yolu bulunmaktadır. Havalı bir geometrik türetme yöntemi ve yerine koyarak elde etme yöntemi bulunmaktadır. İlk olarak, geometrik yöntemi ele alacağız.
Aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi, v0 hızıyla başlayan ve v son hızına kadar sabit ivmeyi koruyan bir nesneyi düşünün.
Bir hız grafiğinin altındaki alan yer değiştirmeyi (Δx) verdiğinden, Δx=v0t+12at2 formülünün sağ tarafındaki her terim yukarıdaki grafikte bir alanı temsil eder.
v0t terimi mavi dikdörtgenin alanını temsil eder çünkü Adikdörtgen=hw'dur.
12at2 terimi kırmızı üçgenin alanını temsil eder, çünkü Aüçgen=12bh'dir.
İşte budur. Δx=v0t+12at2 formülü doğru olmalıdır, çünkü yer değiştirme eğrinin altındaki toplam alan ile verilmelidir. Üçgen formülünü kullanabilmek için hız grafiğinin düzgün bir köşegen doğru olduğunu varsaydık, dolayısıyla diğer kinematik formüller gibi bu kinematik formül de sadece ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğrudur.

Alternatif yerine koyma ve türetme yönetiminden bahsedelim. Üçüncü kinematik formül, birinci kinematik formülü (v=v0+at) ikinci kinematik formüle (Δxt=v+v02) koyarak elde edilebilir.
Eğer ikinci kinematik formülle başlarsak,
Δxt=v+v02
v yerine v=v0+at koyduğumuzda, bunu elde ederiz:
Δxt=(v0+at)+v02
Sağ tarafı açarsak,
Δxt=v02+at2+v02
Sağ taraftaki v02 terimlerini birleştirirsek, bunu elde ederiz:
Δxt=v0+at2
Son olarak, her iki tarafı süre (t) ile çarpmak bize üçüncü kinematik formülü verir.
Δx=v0t+12at2
Yine sabit ivme koşulu olan diğer kinematik formülleri kullandık; dolayısıyla bu üçüncü kinematik formül de sadece ivmenin sabit olduğu varsayımıyla geçerlidir.

Dördüncü kinematik formülü, v2=v02+2aΔx, nasıl elde edersiniz?

Dördüncü kinematik formülü elde etmek için, ikinci kinematik formülle başlayacağız:
Δx=(v+v02)t ile başlayacağız.
Bu formülde süreyi (t) yok etmek istiyoruz. Bunu yapmak için, birinci kinematik formülü (v=v0+at) süre için çözerek t=vv0a'yı elde edeceğiz. Şimdi ikinci kinematik formüle süre (t) yerine bu ifadeyi koyarak,
Δx=(v+v02)(vv0a) elde ederiz.
Sağ taraftaki kesirleri çarptığımızda, bunu elde ederiz:
Δx=(v2v022a) elde ederiz.
Ve şimdi v2 için çözdüğümüzde, dördüncü kinematik formülü elde ederiz.
v2=v02+2aΔx

Kinematik formüllerin kafa karıştırıcı bir yönü var mı?

İnsanlar genelde *kinematik formülün sadece ilgili zaman aralığında ivmenin sabit olduğu varsayıldığında doğru olduğunu *unuturlar.
Bazen bir problemde bilinen bir değişken açıkça verilmez, ancak belirli kelime kalıpları kullanılarak belirtilir. Örneğin, ''hareketsiz durumdan başlar'' v0=0 anlamına gelir, "düşürülmüştür" genelde v0=0 anlamına gelir ve "sonunda durur" v=0 anlamına gelir. Ayrıca, serbest düşüşteki tüm nesnelerdeki yer çekimine bağlı ivmenin büyüklüğü g=9,81ms2 olarak varsayılır, dolayısıyla bu ivme bir problemde açıkça verilmez ancak serbest düşüşteki bir nesne için ima edilir.
İnsanlar t hariç tüm kinematik değişkenlerin -Δx,vo,v,a- negatif olabileceğini unutur. Eksik olan bir eksi işareti sık rastlanılan hatalardan birisidir. Eğer yukarı doğru pozitif olarak kabul edilmişse, bu durumda serbest düşen bir nesne için yer çekimine bağlı ivme negatif olmalıdır: ag=9,81ms2.
Üçüncü kinematik formül Δx=v0t+12at2 ikinci dereceden formülün kullanılmasını gerektirebilir (aşağıda çözülen 3. örneğe bakın).
İnsanlar sabit hızlanma boyunca herhangi bir zaman aralığını seçebileceğimiz hâlde kinematik formüle koyduğumuz kinematik değişkenlerin o zaman aralığıyla tutarlı olması gerektiğini unuturlar. Başka bir deyişle, v0 ilk hız nesnenin ilk konumdaki ve t zaman aralığının başındaki hızı olmalıdır. Benzer şekilde, son hız v de son konumdaki ve t zaman aralığının sonundaki hız olmalıdır.

Kinematik formüllerle ilgili çözümlü örnekler görebilir miyim?

Örnek 1: Birinci kinematik formül, v=v0+at

Meyve suyu ile doldurulmuş bir su balonu çok yüksek bir binanın tepesinden atılır.
Su balonunun t=2,35 s düştükten sonraki hızı nedir?
Yukarı doğrunun pozitif yön olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
v0=0 (Çünkü su balonu düşürülmüştür ve durağan konumdan başlamıştır.)
t=2,35 s (Bu, sonrasındaki hızı bulmak istediğimiz zaman aralığıydı.)
ag=9,81ms2(Bu ima edilmiştir çünkü su balonu serbest düşen bir nesnedir.)
Bu durumda hareket düşeydir, bu nedenle konum değişkenimiz olarak x yerine y kullanacağız. Tutarlı olduğumuz sürece seçeceğimiz sembol fark etmez, ancak genelde düşey hareketi belirtmek için y kullanılır.
Yer değiştirme (Δy)'yi bilmediğimiz ve bize yer değiştirme (Δy) sorulmadığı için, birinci kinematik formülü (v=v0+at) kullanacağız (bu formülde Δy yoktur).
v=v0+at(Birinci kinematik formülü kullanın, çünkü bunda Δy yoktur.)
v=0 m/s+(9,81ms2)(2,35 s)(Bilinen değerleri yerlerine koyun.)
v=23,1 m/s(Hesaplayın ve kutlayın)
Not: Son hız negatifti, çünkü su balonunun yönü aşağı doğruydu.

Örnek 2: İkinci kinematik formül, Δx=(v+v02)t

Bir leopar 6,2 m/s hızla koşmaktadır ve bir dondurma arabası şeklindeki serabı gördükten sonra 3,3 s'lik sürede 23,1 m/s'ye hızlanır.
Leopar 6,2 m/s'den 23,1 m/s'ye ulaşırken ne kadar yol almıştır?
Yolculuğun başlangıçtaki yönünün pozitif olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
v0=6,20 m/s (Leoparın başlangıç sürati)
v=23,1 m/s (Leoparın son sürati)
t=3,30 s (Leoparın hızlanması sırasında geçen süre)
İvmeyi (a) bilmediğimiz için ve bize ivme sorulmadığı için, yatay yön için ikinci kinematik formül Δx=(v+v02)t'yi kullanacağız (bunda a yoktur).
Δx=(v+v02)t(a eksik olduğu için, ikinci kinematik formülü kullanın.)
Δx=(23,1 m/s+6,20 m/s2)(3,30 s)(Bilinen değerleri yerlerine koyun.)
Δx=48,3 m(Hesaplayın ve kutlayın)

Örnek 3: Üçüncü kinematik formül, Δx=v0t+12at2

Bir öğrenci kinematik formül ödevinden çok sıkılmıştır ve kurşun kalemini tam olarak yukarıya doğru 18,3 m/s ile atar.
Kurşun kalemin atıldığı yerden 12,2 m daha yüksek bir noktaya ilk kez ulaşması ne kadar sürer?
Yukarı doğrunun pozitif yön olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
v0=18,3 m/s (Kalemin başlangıçtaki yukarı yönlü hızı)
Δy=12,2 m (Kurşun kalemin bu yer değiştirmeyi yaptığı zamanı bilmek istiyoruz.)
a=9,81 m s2 (Kalem serbest şekilde uçan bir nesnedir.)
Son hızı (v) bilmediğimiz ve bize son hız sorulmadığı için, düşey yön için üçüncü kinematik formülü (Δy=v0yt+12ayt2) kullanacağız, bu formülde v yoktur.
Δy=v0yt+12ayt2(Üçüncü kinematik formülle başlayın.)
Normalde ifademizi bulmak istediğimiz değişken için cebirsel olarak çözerdik, ancak eğer terimlerden hiç birisi sıfır değilse bu kinetik formül şu an cebir yoluyla çözülemez. Bunun sebebi terimlerin hiçbirisi sıfır olmadığında ve t bilinmeyen değişken olduğunda, bu denklemin ikinci dereceden bir denklem haline gelmesidir. Bunu, bilinen değerleri yerine koyarak görebiliriz.
12,2 m=(18,3 m/s)t+12(9,81 m s2)t2(Bilinen değerleri yerlerine koyun.)
Bunu daha kolay çözülebilecek bir denklem olarak yazalım. Bunun için her şeyi denklemin bir tarafına toplayalım. Her iki taraftan da 12,2 m çıkarırsak şunu elde ederiz:
0=12(9,81 m s2)t2+(18,3 m/s)t12,2 m(Bunu ikinci dereceden denklem haline getirin.)
Bu noktada ikinci dereceden denklemi süre t için çözeriz. at2+bt+c=0 formundaki ikinci dereceden bir denklemin çözümleri, t=b±b24ac2a ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak bulunur. a=12(9,81 m s2) kinematik denklemimiz için, b=18,3 m/s ve c=12,2 m'dir.
Buna göre, ikinci dereceden denklem formülüne koyduğumuzda bunu elde ediyoruz:
t=18,3 m/s±(18,3 m/s)24[12(9,81 m s2)(12,2 m)]2[12(9,81 m s2)]
İkinci dereceden denklem formülünde bir artı veya eksi işareti olduğundan, süre t için iki cevap elde ederiz: birisi + kullandığımızda ve diğeri kullandığımızda. Yukarıdaki ikinci dereceden denklem formülünü çözmek, bu iki süreyi verir:
t=0,869 s ve t=2,86 s
Kurşun kalemin 12,2 m yükseklikte olduğu iki zaman olduğundan, iki pozitif çözüm vardır. Daha küçük olan zaman yukarı doğru gitmek ve birinci 12,2 m'lik yer değiştirmeye ulaşmak için gereken süreyi gösterir. Daha büyük olan zaman yukarı doğru gitmek, 12,2 m'lik yüksekliği geçmek, maksimum yüksekliğe ulaşmak ve daha sonra aşağı düşerek 12,2 m'lik yükseklikteki noktaya ulaşmak için gereken süreyi gösterir.
Buna göre, "Kalemin atıldığı yerden 12,2 m daha yüksekteki bir noktaya ilk kez ulaşması ne kadar sürer?" sorusuna cevap vermek için daha kısa süre olan t=0,869 s'yi seçmeliyiz.

Örnek 4: Dördüncü kinematik formül, v2=v02+2aΔx

Bir motosikletli 23,4 m/s hızla yolculuğuna başlar ve ilerideki trafiği gördüğünde 50,2 m'lik bir mesafede 3,20 m s2 büyüklükte sabit ivme kaybederek yavaşlamaya karar verir. Motosikletlinin tüm yolculuk boyunca ileri doğru hareket ettiğini varsayın.
Motosikletlinin 50,2 m yavaşladıktan sonra yeni hızı neydi?
Yolculuğun başlangıçtaki yönünün pozitif olduğu varsayıldığında, bilinen değişkenlerimiz şunlardır:
v0=23,4 m/s (Motosikletin ileri doğru başlangıç hızı)
a=3,20 m s2 (İvme negatiftir çünkü motosiklet yavaşlamaktadır ve ileri doğru hareketin pozitif olduğunu varsaydık.)
Δx=50,2 m (Motosikletin bu yer değiştirmeden sonraki hızını bilmek istiyoruz.)
Zamanı yani (t)'yi bilmediğimiz ve bizden zamanı bulmamız istenmediği için, yatay yön için dördüncü kinematik formülü (vx2=v0x2+2axΔx) kullanacağız, bu formülde t yoktur.
vx2=v0x2+2axΔx(Dördüncü kinematik formülle başlayın.)
vx=±v0x2+2axΔx(Cebir kullanarak son hızı hesaplayın.)
Karekök aldığınızda iki olası cevap (pozitif veya negatif) elde ettiğinize dikkat edin. Motosikletlimiz hala harekete başladığı yöne gidiyor olduğundan ve bunun yönün pozitif olduğunu varsaydığımızdan, pozitif cevap olan vx=+v0x2+2axΔx'i seçeceğiz.
Şimdi değerleri yerine koyarak şunu elde ederiz:
vx=(23,4 m/s)2+2(3,20 m s2)(50,2 m)(Bilinen değerleri yerlerine koyun.)
vx=15,0 m/s(Hesaplayın ve kutlayın!)

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.