Yüksekliğe Göre Çarpma Anındaki Hız

Bu videoda size eski bir soru soracağım. Burada bir yükseklik olduğunu var sayalım. Bu tarz sorular bana her zaman ilginç gelmiştir. Bir yükseklik, veya uçurum. Ona benzer bir yapı mesela. Bu yapının yüksekliğinin h olduğunu düşünelim. Ben de burada olayım. Eğer ben buradan atlasaydım, veya buradan taş gibi bir şey atsaydım, benim veya o taşın yere çarpmadan hemen önceki hızı ne olurdu? Tabi ki size hiçbir yerden atlamanızı kesinlikle önermiyorum. Atış hareketi hakkındaki tüm sorularda yaptığımız gibi hava sürtünmesini gözardı edeceğiz. Az bir yükseklikten ve düşük hızla düşen cisimler için veya aerodinamik cisimler için hava sürtünmesinin göz ardı edilmesi her zaman oldukça mantıklıdır. Ben çok yüksekten karın üstü atlasam, hava direnci önem kazanırdı. Fakat işimizi daha da zorlaştırmamak için, hava direncinin etkilerini hesaplamamıza dahil etmiyoruz. Bunu Dünya'ya benzeyen ama atmosferi olmayan bir gezegende yaptığımızı varsayalım.Nasıl yapmak isterseniz. Şimdi tekrar sorumuz üzerinde düşünmeye başlayalım. Bazılarınız gerçekçi olmadığını söyleyebilir ama sorunun daha gerçekçi olması için küçük bir "h" değeri seçeriz. Tek katlı bir binadan atlarsanız, hızınızı hesaplarken hava direnci pek önemli olmaz. Eğer bu daha büyük bir bina olsaydı o zaman "h" önemli olurdu. Bunların hiçbirinizi yapmayın, bunlar çok tehlikeli, o yüzden bunu bir taşla yapsak daha iyi olacak bence. O zaman bunun üzerinde biraz düşünelim. Şunu anlamamızı istiyorum: Yukarıdan, taşı bıraktığımızda, ilk hız 0'dır. Elimizdeki soruya göre pozitif vektörün yukarıya, negatif vektörün aşağıya olduğunu hatırlatmak istedim. Baştaki hızımız 0 olacak; yere çarpmadan önce de bir son hıza sahip olacağız. Bu da negatif bir değer olacak. Dünya yüzeyine yakın bir yerde, serbest düşüş yapan bir cisme etki eden yer çekimi ivmesini biliyoruz. Bunu sabit olarak alacağız. Yani sabit ivmemiz eksi 9.8 metre bölü saniye kare olacak. h'yi biliyoruz, baştaki hızımız 0 ve yer çekimi ivmemiz de 9.8 olduğuna göre sondaki, yani yere çarpmadan hemen önceki, hızımızın ne olacağını hesaplamak istiyoruz. h'nin bize metre cinsinden verilmiş olduğunu varsayacağız, böylece son hızımız metre bölü saniye cinsinden olacak. Bildiğimiz temel şeylerden her zaman bunun gibi daha ilginç sorular türetebiliriz. Yer değiştirmenin, ortalama hız çarpı geçen süreye eşit olduğunu biliyoruz. Eğer ivmenin sabit olduğunu varsayarsak; ortalama hız, son hız ve ilk hızın toplamının ikiye bölümüne eşittir. Geçen süre, hızdaki değişim bölü ivme'dir. Bunu anladığınızdan emin olalım. Elde ettiğimiz formül, şuan yazacağım ifadeye dayanıyor. Hızdaki değişim eşittir ivme çarpı zamandaki değişim. Eğer iki tarafı da ivmeye bölerseniz bu ifadeyi elde ediyorsunuz. Bu bütün formül, bizim yer değiştirmemizi veriyor. Baştaki hızımızın 0 olduğunu biliyoruz. İlk ifadede, bizim yaptığımız örnekte, baştaki hız 0 olduğu için ortalama hız; son hızın yarısı olacak. Hızdaki değişim, son hız eksi ilk hızdır. İlk hızımızın 0 olduğunu biliyoruz, bu yüzden hızdaki değişim, son hızla aynıdır. O zaman, denklemimizde hızdaki değişim yerine son hızı koyalım. Baştaki hız, 0, çarpı son hız bölü ivme, son hız hızdaki değişmeye eşit çünkü baştaki hız 0. Bu yazdığımız ifade, yine yer değiştirmeye eşit olacak. Bildiğimiz her şeyi yazdık gibi görünüyor. Denklemin her iki tarafını 2 çarpı ivmeyle çarparsak solda 2 çarpı ivme çarpı yer değiştirme olur. 2 çarpı ivme çarpı yer değiştirme eşittir: İki ikiyi götürür ve ivme ivmeyi götürür. Bu son hızın karesine eşit olur. Böylece son hızı bulabiliriz. İvmeyi biliyoruz, eksi 9.8 metre bölü saniye kare. Burası eksi 9.8 metre bölü saniye kare. Yani 2 ile çarptığımızda da eksi 19.6 metre bölü saniye kare olur. Peki, yer değiştirme ne olacak? Tepeden veya çatıdan attığımızda düşerken aldığı yol, bu taşın yer değiştirmesi. Yani yer değiştirmenin "h"ye eşit olduğunu söyleyebilirsiniz. Ama bunların vektörel ifadeler olduğunu unutmayın, yönünü doğru olarak vermelisiniz. Bıraktığımız taş, "h" kadar bir mesafeyi aşağıya doğru alacak, bu yüzden yer değiştirme negatiftir. Taşın düşmeye başladığı noktadan yere kadar, alınan yol, yer değiştirmedir. Yer değiştirme negatif "h" olacak. Taş "h" kadar bir yol alacak. Ama bu yolu aşağıya doğru alacak. İşte bu vektörlerin neden çok önemli olduğunu gösteriyor. Bu yüzden buradaki yer değiştirme "eksi h" metre. Bu iki ifadeyi çarptığımızda, şanslıyız ki eksiler birbirini götürüyor, sonuç 19.6 h metre kare bölü saniye kare olur. Bu da son hızın karesine eşittir. Fark ettiyseniz, bir şeyin karesini aldığınızda sayının pozitif veya negatif olması fark etmiyor. Eğer son hız pozitifse karesi hala pozitif oluyor ve negatifse karesi yine pozitif oluyor. Ama unutmayın bu örnekte hala aşağıya doğru hareket ediyoruz. Son hızı kesin olarak hesaplamak için bu eşitliğin iki tarafının da negatif karekökünü alıyoruz. Eğer iki tarafın da karekökünü alsaydık, bunların yerlerini birbirleriyle değiştiriyorum, son hız 19.6 h'nin kareköküne eşit olurdu. metre kare bölü saniye karenin de karekökünü alacağız. Onları değişkenmiş gibi varsayamamız gerekiyor, dolayısıyla onları da kökten çıkardığımızda saniye bölü metre oluyor. Burada dikkatli olun, eğer ana kökünü alırsak, burada ana kök pozitif olan karekök. Ama burada hızın aşağıya doğru olacağını biliyoruz çünkü bu başta düzeni böyle kurmuştuk. Karekökün negatif olacağından emin olmak istiyoruz. eksi işaretini yazmayı unutmayalım. Aslında videonun başında çözmeye başladığımız şeyi çözdük. Ağırlığa bağlı olarak, ne kadar hızlı düşerdik? Hadi bunu deneyelim, yükseklik 5 metre olsun. Herhalde tek katlı bir bina olurdu. Eğer buraya 5 metreyi koyarsak, 19.6 kere 5, 98 eder. Şimdi kökünü almamız lazım. Kök 98 ise kabaca 9.9 ediyor. Bunun negatifini istiyoruz. Bu durumda, eğer yükseklik 5 metreyse, tek katlı bir binanın tepesinden atladığınızda, yere indiğinizde hızınız eksi 9.9 metre bölü saniye olur. Ekstra bir çalışma olarak bunun saatte kaç kilometre veya saatte kaç mil olduğunu da hesaplayabilirsiniz. Fakat bu oldukça yüksek bir hız, yapmak isteyeceğiniz bir şey değil. Dünya yüzeyine yakın, herhangi bir yüksekliği kullanıp hava direncini gözardı ederseniz, düşüş hızını yaklaşık olarak hesaplayabilirsiniz. Cisim çok yüksekteyse, ve eğer obje de pek aerodinamik değilse, hava direnci büyük bir etken olur.