Ana içerik

Konu: Fizik Kütüphanesi > Ünite 17

Ders 3: Kuantum Sayıları (Numaraları) ve Orbitaller

Atomun Kuantum Mekanik Modeli

Atomun kuantum mekanik modeline giriş: de Broglie dalga boyunu kullanarak elektronları olasılıksal madde dalgaları olarak düşünmek, Schrödinger denklemi ve Heisenberg'in belirsizlik ilkesi. Elektron dönüşü ve Stern-Gerlach deneyi.

Önemli noktalar

Louis de Broglie, bütün parçacıkların, aşağıdaki denklemle de ifade edilebilecek, $λ$ ‍ dalga boyuna sahip madde dalgaları olduğunu önerdi:

λ = \frac{h}{m v}

Erwin Schrödinger, elektronların madde dalgaları olarak ele alan bir kuantum atom modelini önerdi.c
Schrödinger'in denklemi, $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍ çözüldüğünde her biri elektron bağlanma enerjisine ( $E$ ‍) sahip, bir dalga fonksiyonu serisi ( $ψ$ ‍) elde edilir.
Dalga fonksiyonunun karesi olan $ψ^{2}$ ‍, atom içinde verilen konumda bir elektron bulunma olasılığını verir.
Orbitaller bir elektronun atom içinde bulunma olasılığı yüksek olan (%90) bölgelerini tanımlar.
Heisenberg'in belirsizlik ilkesi, bize bir atomun aynı anda hem enerjisini hem de konumunu bilemeyeceğimizi söyler. Bu yüzden de, elektronun konumu hakkında daha fazla bilgi sahibi oldukça, enerjisi hakkında daha az bilgi edinebiliyoruz (ya da bunun tam tersi).
Elektronların özelliklerinden biri de spin, bir diğer deyişle dönmedir. Elektronlar olası iki spin özelliğinden yalnızca birine sahip olabilirler: yukarı spin veya aşağı spin.
Aynı orbitalde yer alan elektronlar farklı spinlere sahip olmalıdır.

Kuantum mekaniği modeline giriş

"Açık olmak gerekirse atomlar söz konusu olduğunda, dili sadece şiirlerde kullandığımız gibi kullanabiliriz." —Niels Bohr

Madde, atom altı seviyelerde çok tuhaf davranmaya başlar. Bu davranışların bir kısmı akla ve mantığa o kadar aykırıdır ki, aynı şiirlerde olduğu gibi, sadece semboller veya çeşitli metaforlarla ifade edilebilir. Örneğin, bir elektronun parçacık gibi ve dalga gibi davrandığını söylemek ne anlama gelir? Ya da bir elektronun belirli bir konumunun olmaması ancak tüm atom boyunca yayılmış olması, ne demek olabilir?

Bunlar size garip gelebilir, gelmeli de. Anlaşılan o ki, sağlam bir organizasyonun içerisindeyiz. Niels Bohr ayrıca "Kim ki kuantum teorisinden dolayı şaşıp kalmıyorsa o kişi teoriyi anlamamış demektir." demiştir. Bu yüzden eğer kuantum mekaniğini öğrenirken kafanız karışıyorsa, bilinki öğrendiğiniz şeyleri geliştiren kişilerin de aynı sizin gibi kafası karışmıştır.

İlk olarak, Bohr'un hidrojen atomu modelini yani ilk klasik olmayan atom modelini tekrar edelim.

Bohr'un hidrojen atomu modeli

Bir önceki Bohr modeli makalesinde de gördüğümüz gibi, farklı elementlerin emisyon spektrumları kesikli çizgiler (hatlar) içermektedir. Aşağıdaki görsel, hidrojenin emisyon spektrumunun görünür bölgesini göstermektedir.

Nicemlenmiş emisyon spektrumları, Bohr'un, elektronların belki de sadece atom içinde belirli atomik yarıçaplarda ve enerjilerde var olabileceğini düşünmesine yol açtı. Nicemlenmiş ifadesinin, enerjinin sadece olası değerlerden ziyade bir dizi izin verilebilir değer aralığında soğrulabileceğini ve yayılabileceği gerçeğini ortaya koyduğunu hatırlayalım. Bohr modelinin aşağıda verilen diyagramı, elektronların, çekirdeğin etrafında sınırlı sayıda izin verilen yörüngede veya kabukta yer aldığını gösteriyor.

Bohr'un hidrojen atom modeline ait bir diyagram. Elektronlar çekirdekten belirli uzaklıkta dairesel yörüngelerde hareket ederler. Uyarılmış elektronlar ( $n > 1$ ‍), daha düşük enerji seviyelerine indikleri zaman ışık yayarlar. Görsel hakları: Wikimedia Commons'dan, CC BY-SA 3.0

Bohr bu model sayesinde, hidrojenin spektrumundaki emisyon çizgilerine karşılık gelen hidrojen atomundaki farklı enerji seviyeleri hakkında doğru tahminlerde bulunmuştur. Bohr'un bu modeli aynı zamanda

{He}^{+}

gibi diğer tek elektronlu sistemlerin enerji seviyelerini tahmin etmek konusunda da başarılıydı. Ancak birden fazla elektron içeren atomların elektronik yapılarını açıklamakta başarısız olmuştur.

Bazı fizikçiler öncelikle Bohr'un modelini daha karışık sistemlere uyarlamaya çalışsalarda nihayetinde tamamen farklı bir modelin gerekli olduğu sonucuna varmışlardır.

Dalga-parçacık ikiliği ve de Broglie dalgaboyu

Kuantum mekaniğinde bir başka büyük gelişme, Fransız fizikçi Louis de Broglie sayesinde gerçekleşmiştir. De Broglie, Planck ve Einstein'ın ışık dalgalarının nasıl parçacık benzeri özellikler sergileyeceğine dair çalışmalarını baz alarak, parçacıkların dalga benzeri özelliklere de sahip olabileceğini öne sürmüştür .

De Broglie, aşağıdaki denklemi; kütlesi

m

(birimi kilogram

kg

), hızı

v

(birimi

\frac{m}{s}

), olan bir parçacığın dalgaboyunu ölçmek için kullanmıştır. Burada birimi metre olan

λ

, parçacığın de Broglie dalgaboyunu ve

h

de, Planck sabitini temsil eder:

h

6.626 \times 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}

$λ = \frac{h}{mv}$ ‍

De Broglie dalga boyu ve parçacık kütlesi ters orantılıdır. Bu ters orantı, günlük hayatımızda karşımıza çıkan makroskopik cisimlerde dalga benzeri özellikler gözlemlememezin sebebidir. Maddenin dalga benzeri özellikleri en çok dalga, de Broglie dalga boyuna yakın bir engel ya da yarıkla karşılaşınca kayda değer hâle gelir. Ancak, eğer parçacık, bir elekron gibi yaklaşık

10^{- 31}

kg kütleye sahipse, dalga benzeri özellikler bazı çok ilginç olaylara sebep olur.

Kavram kontrolü: Kaydedilmiş en hızlı beyzbol atışı yaklaşık olarak 46,7

\frac{m}{s}

'dir. Eğer beyzbol topunun kütlesi 0,145 kg ise, de Broglie dalga boyu nedir?

Kütle ve hız için uygun değerleri Broglie denklemine koyduğumuzda, aşağıdaki denklemi elde ederiz:

$\begin{aligned} λ & = \frac{h}{mv} \\ = \frac{6, 626 \times 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}}{(0, 145 kg) (46, 7 \frac{m}{s})} \\ = 9, 78 \times 10^{- 35} m \end{aligned}$ ‍

Bu dalgaboyunun büyüklüğü, protonun çapından 20 büyüklük derecesi daha küçüktür! Dalgaboyu çok küçük olduğu için beyzbol topunun dalga gibi, mesela kırılan bir ışın gibi, davrandığını gözlemlemeyi bekleyemeyiz.

Örnek 1: Elektronun de Broglie dalga boyunu hesaplayalım

Hidrojenin temel enerji seviyesinde bulunan bir elektronun hızı

2, 2 \times 10^{6} \frac{m}{s}

'dir. Eğer elektronun kütlesi

9, 1 \times 10^{- 31}

kg ise, de Broglie dalga boyu nedir?

Planck sabitini, elektronun kütlesini ve hızını, de Broglie's denkleminde yerlerine yerleştirirsek:

$\begin{aligned} λ & = \frac{h}{mv} \\ = \frac{6, 626 \times 10^{- 34} \frac{kg \cdot m^{2}}{s}}{(9, 1 \times 10^{- 31} kg) (2, 2 \times 10^{6} \frac{m}{s})} \\ = 3, 3 \times 10^{- 10} m \end{aligned}$ ‍

Elektronun dalgaboyu,

3, 3 \times 10^{- 10}

metre, hidrojen atomunun çapıyla aynı büyüklük derecesine ~

1 \times 10^{- 10}

metre sahiptir. Bu da, elektronun de Broglie dalgaboyunun, onun sıklıkla dalgaboyu büyüklüğünde şeylerle (nötron ya da atom gibi) karşılaşacağı anlamına gelir. Bu gerçekleştiğinde ise, elektronun dalga benzeri özellikler göstermesi muhtemeldir.

Atomun kuantum mekaniği modeli

Duran dalgalar

Bohr atom modeli ile ilgili en büyük sorun, elektronların tam olarak belirlenmiş yörüngelerde olduğunu kabul etmesiydi. Ancak Avusturyalı fizikçi Erwin Schrödinger, de Broglie'nin parçacıkların dalga benzeri özellikler gösterebileceği düşüncesinden yola çıkarak elektronların atom içindeki davranışlarını matematiksel olarak madde dalgası olarak kabul eden teoriyi geliştirdi. Modern atom anlayışının temeli olan bu model, kuantum mekaniği ya da dalga mekaniği olarak adlandırılır.

Bir elektronun bulunabileceği seviyelerin ve enerjilerin belirli olmas durumu, duran bir dalga ile benzerlikler taşır. Elektron madde dalgalarını anlamak için duran dalgaların bazı özelliklerinden kısaca bahsedeceğiz.

Duran dalgalara telli müzik aletlerinden aşinasınızdır. Mesela, gitardaki bir tel çekilip bırakıldığında, tel aşağıda gösterilen duran dalga şeklinde titreşir.

Duran dalgalarda hiç hareket etmeyen noktalar, yani düğümler olduğunu fark etmişsinizdir. Bu düğümler, kırmızı noktalar ile işaretlenmişler. Animasyondaki telin uçları sabit olduğu için herhangi bir duran dalgada yalnızca belirli dalgaboylarının oluşması mümkündür. Bu sayede, titreşimler nicemlenmiş olur.

Schrödinger'in denklemi

Aklınıza "duran dalgalar ile atomlardaki elektronlar arasında ne gibi bir ilişki olabilir?" sorusu gelmiş olabilir.

Basitçe, elektronları yalnızca belirli enerjilere sahip olan, izin verilmiş duran madde dalgaları olarak düşünebiliriz. Schrödinger, elektronların madde dalgaları olarak kabul eden bir model geliştirmiştir. İşin matematiğine bu yazıda girmeyecek olsak da Schrödinger'in dalga denkleminin basit hâli aşağıdaki gibidir:

$\hat{H} ψ = E ψ$ ‍

Burada,

ψ

dalga fonskiyonu;

\hat{H}

Hamilton işlemcisi;

E

de elektronun bağlanma enerjisidir. Schrödinger'in denklemi çözüldüğünde, belirli

E

değerlerine sahip birden fazla dalga fonksiyonu elde edilir.

Üstte gösterilen duran dalgalarda, çemberin içinde tam olarak beş tam dalgaboyu vardır. Aşağıda gösterildiği gibi, çemberin çevresi, tam sayıda dalga boyuna izin vermediğinde, yıkıcı bir dalga girişimi gerçekleşir.

Dalga fonksiyonlarını yorumlamak biraz ustalık ister. Heisenberg belirsizlik ilkesine göre, elektronun aynı anda hem konumunu hem de enerjisini bilmek imkansızdır. Ancak elektronun enerjisini bilmek, atomun kimyasal reaktivitesini tahmin etmek için gerekli olduğundan dolayı kimyacılar genellikle elektronun konumunu yalnızca yaklaşık olarak bilebileceğimizi kabul ederler.

Kimyacılar elektronun konumunu nasıl yaklaşık olarak tahmin eder? Belirli atomlar için Schrödinger'in denklemi kullanılarak bulunan dalga fonksiyonları atomik orbital olarak da adlandırılır. Kimyacılar atomik orbitali elektronun atom içinde bulunma ihtimalinin %90 olduğu bölgeler olarak tanımlarlar. Sıradaki bölümde, elektron olasılıklarına nasıl karar verildiği üzerine konuşacağız.

Fizikçi Werner Heisenberg tarafından geliştirilen Heisenberg belirsizlik ilkesi, belirli bir zamanda belirli bir elektronun aynı anda hem konumunu hem de momentumunu (ya da enerjisini) ne kadar isabetli bilebileceğimiz konusunda bir sınır olduğunu söyler. Yani, elektronun konumu hakkında daha fazla bilgi elde ettikçe, momentumu hakkındaki isabetimizi kaybederiz, ya da bunun tam tersi. Bunu, matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:

Δ x \cdot Δ p \geq \frac{h}{4 π}

Burada,

Δ x

, elektronun konumunun belirsizliğini,

Δ p

elektronun momentumunun belirsizliğini ve

h

ise Planck's sabitini

6.626 \times 10^{- 34} J \cdot s

ifade eder. Eşitsizliği incelediğimizde,

Δ x

Δ p

'nin ters orantılı olduğunu görebiliriz. Ters orantılı olmaları, konum belirsizliği azaldıkça momentum belirsizliğinin arttığını ve elbette tersinin de geçerli olduğunu gösterir.

Kısacası, elektronun konumunu ve enerjisini aynı anda asla bilemeyiz.

Orbitaller ve olasılık yoğunluğu

Uzaydaki belirli bir noktadaki (

x, y, z

) bir dalga fonksiyonunun değeri olan

ψ

, aynı noktadaki elektron madde dalgasının genliği ile orantılıdır. Ancak çoğu dalga fonksiyonu,

i = \sqrt{- 1}

içeren karmaşık fonksiyonlardır ve madde dalgasının genliğininfiziksel bir önemi yoktur.

Neyse ki dalga fonksiyonunun karesi yani

ψ^{2}

, biraz daha kullanışlıdır. Bunun sebebi, dalga fonksiyonunun karesinin, bir atom içindeki belirli bir uzay hacminde elektron bulunma olasılığı ile orantılı olmasıdır.

ψ^{2}

fonskiyonu genel olarak olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır.

Elektronun olasılık yoğunluğu, farklı şekillerde görselleştirilebilir. Örneğin

ψ^{2}

, farklı renk yoğunluklarının elektronun verilen alanda bulunma olasılığını temsil ettiği bir grafik ile gösterilebilir. Bir elektronun verilen alanda bulunma olasılığı daha yüksekse, o alandaki renk yoğunluğu artırılır. Aşağıdaki görsel, küresel 1s, 2s ve 3s orbitallerinin olasılık dağılımlarını gösteriyor.

2s ve 3s orabitallerinin elektron bulunma olasılığı %0 olan düğümler içerdiğine dikkat edin. Düğümlerin bulunması, önceki bölümde üzerinde durduğumuz duran dalgalar ile paralellik gösteriyor. 2s ve 3s orabitallerindeki farklı renkler, kimyasal bağlarda önemli olan farklı bağlanma evrelerini temsil etmekte.

Orbitallerdeki elektron olasılıklarını resmetmenin bir diğer yolu ise yüzey yoğunluğunu çekirdekten uzaklığın,

r

, fonksiyonu olarak göstermektir.

Yüzey yoğunluğu,

r

yarıçaplı ince bir tabaka içinde elektron bulunma olasılığıdır. Buna radyal olasılık grafiği denir. Solda 1s, 2s ve 3s orbitallerinin radyal olasılık grafiğini görebilirsiniz. Orbitallerin enerji seviyesi 1s, 2s ve 3s sıralamasında arttıkça, çekirdekten daha uzakta elektron bulunma ihtimalinin artığına dikkatinizi çekmek istiyoruz.

Schrödinger'in denklemi çözüldüğünde, elde edilen dalga fonksiyonu

ψ

, belirli bir orbitalle ilişkilidir. Her orbital, Schrödinger'in denklemi ile bulunan dört kuantum sayısının kümesidir. Bu dört kuantum sayısı birlikte bir posta kodu gibi davranırlar ve elektronun atomdaki orbitalini belirlerler. Bu dört kuantum sayısını şu şekilde verebiliriz:

$n$ ‍, baş kuantum sayısı, orbitalin enerjisinin belirlenmesindeki temel faktördür. Aynı $n$ ‍ değerine sahip orbitaller aynı elektron kabuğunu - katmanını paylaşırlar.
$l$ ‍, açısal kuantum sayısı, orbitalin şeklini belirler. Aynı $n$ ‍ fakat farklı $l$ ‍ değerine sahip orbitaller altkabuk - altkatman olarak adlandırılırlar.
$m_{l}$ ‍, manyetik kuantum sayısı, orbitalin uzaydaki yönü ile ilişkilidir.
$m_{s}$ ‍, spin (dönü) kuantum sayısı, elektronun spinini (dönüsünü) belirler. Elektronlar yukarı $(m_{s} = + \frac{1}{2})$ ‍ ya da aşağı $(m_{s} = - \frac{1}{2})$ ‍ dönüş yönüne sahip olabilirler.

Kuantum sayılarının nasıl kullanıldığı ile alakalı daha çok detay için kuantum sayıları ve ilk dört kabuk için kuantum sayılarını yazmak videolarını inceleyebilirsiniz.

Atomik orbitallerin şekilleri

Şimdiye kadar küresel s orbitallerini inceledik. Bu tip orbitallerde çekirdekten olan uzaklık olan

r

, elektron dağılımını etkileyen birinci etmendir. Ancak p, d ve f gibi orbitallerde, elektronun çekirdekle yaptığı açı da olasılık yoğunluğunu etkileyen bir faktör hâline gelir. Bu durum aşağıdaki gibi ilginç orbital şekillerine sebep olur:

p orbitalleri,

x, y, z

eksenlerinden birinde konumlandırılmış dambıllara benzer. d orbitalleri dört muhtemel eksenli yoncalar şeklinde düşünülebilir—ancak bir tanesi p orbitalinin merkezine bir donut konmuş gibi bir görünüme sahiptir. f orbitallerini ise betimlemeye çalışmaya bile değmez!

Elektron spini (dönüsü): Stern-Gerlach deneyi

Bahsetmemiz gereken son kuantum fenomeni elektron spinidir. 1922'de, Alman fizikçiler Otto Stern ve Walther Gerlach elektronların kuzey ve güney kutuplarına sahip minik birer çubuk mıknatıs gibi davrandığı hipotezi üzerinde dururlar. Teorilerini test etmek için gümüş atomlarından oluşan bir ışını, kuzey kutbu güney kutbundan kuvvetli olan bir kalıcı mıktanısın kutupları arasına yönlendirirler.

Klasik fiziğe göre, dıştaki bir manyetik alanın dipolünün yönü, ışının ne yönde sapacağını belirler. Çubuk mıknatısın dıştaki bir manyetik alana göre farklı yönelimleri olabileceğinden dolayı, atomların, düzgün bir dağılım elde etmek amacı ile farklı miktarlarda sapmasını beklerler. Ancak, Stern and Gerlach atomların kuzey ve güney kutupları arasında tam olarak ikiye ayrıldığını gözlemler. Hipotezi ve deneyin gerçekleştirilişini görmek için bu harika videoyu izleyin!

Deneyin sonuçları, elektronların çubuk mıknatıslardan farklı olarak yalnızca iki yönde hareket edebilceğini ortaya çıkarır: manyetik alanla, ya da manyetik alana karşı. Elektronların iki manyetik durumdan yalnızca birinde var olabileceğini ortaya koyan bu durum, klasik fizik ile açıklanamaz! Bilim adamları bu duruma elektron spini adını verirler: bu, bir elektronun yalnızca aşağı ya da yukarı yönde dönebileceği anlamına gelir. Elektron spini çoğunlukla yukarı ok (

↑

) ya da aşağı ok (

↓

) ile gösterilir.

Elektron spininin bir diğer sonucu da bir orbitalde yalnızca iki elektron bulunabileceği ve aynı orbitalde bulunan bu iki elektronun ters spin yönlerine sahip olduğudur. Buna Pauli dışlama ilkesi de denir.

Özet

Louis de Broglie, bütün parçacıkların, aşağıdaki denklemle de ifade edilebilecek, $λ$ ‍ dalga boyuna sahip madde dalgaları olduğunu önerdi:

$λ = \frac{h}{m v}$ ‍

Erwin Schrödinger, elektronların madde dalgaları olarak ele alan bir kuantum atom modelini önerdi.c
Schrödinger'in denklemi, $\hat{H} ψ = E ψ$ ‍ çözüldüğünde her biri elektron bağlanma enerjisine ( $E$ ‍) sahip, bir dalga fonksiyonu serisi ( $ψ$ ‍) elde edilir.
Dalga fonksiyonunun karesi olan $ψ^{2}$ ‍, atom içinde verilen konumda bir elektron bulunma olasılığını verir.
Orbitaller bir elektronun atom içinde bulunma olasılığı yüksek olan (%90) bölgelerini tanımlar.
Heisenberg'in belirsizlik ilkesi, bize bir atomun aynı anda hem enerjisini hem de konumunu bilemeyeceğimizi söyler. Bu yüzden de, elektronun konumu hakkında daha fazla bilgi sahibi oldukça, enerjisi hakkında daha az bilgi edinebiliyoruz (ya da bunun tam tersi).
Elektronların özelliklerinden biri de spin, bir diğer deyişle dönmedir. Elektronlar olası iki spin özelliğinden yalnızca birine sahip olabilirler: yukarı spin veya aşağı spin.
Aynı orbitalde yer alan elektronlar farklı spinlere sahip olmalıdır.
Özellikler
Bu makale, aşağıdaki makalelerden uyarlanmıştır:
“Quantum Mechanics and Atomic Orbitals (Kuantum Mekaniği ve Atomik Orbitaller)”, UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0
"Orbitallerin Temsili", UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3,0
"Electronic Orbitals (Elektronik Orbitaller)", UC Davis ChemWiki, CC BY-NC-SA 3.0
Uyarlanmış makale CC-BY-NC-SA 4,0 lisansıyla lisanslanmıştır.
Video of the Stern-Gerlach effect (Stern-Garlach etkisi ile ilgili video), Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0.
Ek Referanslar
Zumdahl, S.S. ve S. A. Zumdahl. Atomic Structure and Periodicity. Chemistry, 290-294. 6. baskı Boston, MA: Houghton Mifflin Company, 2003.
Kotz, J. C., P. M. Treichel, J. R. Townsend ve D. A. Treichel. The Modern View of Electronic Structure: Wave or Quantum Mechanics. Chemistry and Chemical Reactivity, Instructor's Edition, 234-237. 9. baskı Stamford, CT: Cengage Learning, 2015.
Stern-Gerlach deneyinin görsellerle destekli daha detaylı bir açıklaması için bu bağlantıya göz atabilirsiniz: http://www.thephysicsmill.com/2015/02/22/the-stern-gerlach-experiment/

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.