If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Maxwell-Boltzmann dağılımı nedir?

Bir gazda, farklı hızlarda hareket eden pek çok molekül bulunur. Burada, bu konuda düşünmek için bir çerçeve verilmektedir.

Maxwell-Boltzmann dağılımı nedir?

Havanın tamamı tek bir sıcaklıkta olsa dahi, bizi çevreleyen hava molekülleri aynı süratte hareket etmez. Hava moleküllerinden bazıları son derece süratli, bazıları orta süratte hareket ediyor olacaktır; hava moleküllerinin bazıları ise neredeyse hiç hareket etmeyecektir. Bu nedenle, ''Gazdaki bir hava molekülünün sürati nedir?'' gibi sorular soramayız, çünkü gazdaki bir hava molekülü çok sayıdaki olası süratten herhangi birisine sahip olabilir.
Dolayısıyla, belirli bir gaz molekülünü sormak yerine, ''Belirli bir sıcaklıkta bir gazdaki süratlerin dağılımı nedir?" gibi sorular sorarız. 1800'lerin ikinci yarısında, James Clerk Maxwell ve Ludwig Boltzmann bu sorunun cevabını buldular. Bu sonuç Maxwell-Boltzmann dağılımı olarak adlandırılır, çünkü ideal bir gaz için moleküllerin süratlerinin nasıl dağıldığını gösterir. Maxwell-Boltzmann dağılımı genelde aşağıdaki grafikle temsil edilir.
Maxwell-Boltzmann grafiğinin y ekseni, birim süratteki molekül sayısını veriyor olarak düşünülebilir. Buna göre, eğer verilen bir bölgede grafik daha yüksekse, bu o süratlerde hareket eden daha fazla gaz molekülü olduğu anlamını taşır.
Grafiğin simetrik olmadığına dikkat edin. Grafik, koordinat düzleminin sağında yüksek süratlere ulaşıp uzun bir "kuyruk" bırakır. Grafik daha sonra sağa doğru süratlenir ancak koordinat düzleminin solunda bir değer almadan sıfırda sonlanmak zorundadır (çünkü molekül sürati sıfırdan küçük yani negatif değerler alamaz).
Maxwell-Boltzmann dağılımının gerçek matematiksel denklemi biraz göz korkutucudur ve genelde giriş düzeyindeki çoğu cebir dersi için gerekmez.

"Kök-ortalama-süratlerin karesi" ne anlama gelir?

Maxwell-Boltzmann grafiğinin tepe noktasının hemen altında yer alan süratin bir gaz molekülünün ortalama sürati olduğunu düşünüyor olabilirsin, ama bu doğru değil. Tepe noktasının hemen altındaki sürat start color #e84d39, start text, e, n, space, o, l, a, s, ı, space, s, u, with, \", on top, r, a, t, space, end text, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39 olarak adlandırılır, çünkü bu bir gaz molekülünün bulunmasının en olası olduğu sürattir.
Aslında bir gaz molekülünün start color #11accd, start text, o, r, t, a, l, a, m, a, space, s, u, with, \", on top, r, a, t, i, space, end text, v, start subscript, o, r, t, end subscript, end color #11accd tepe noktasının biraz daha sağında yer alır. Ortalama süratin tepe noktasının sağında yer almasının nedeni Maxwell-Boltzmann dağılım grafiğinin sağ tarafta daha uzun olan kuyruğudur. Bu daha uzun kuyruk ortalama sürati tepe noktasının hafifçe sağına çeker.
Bir diğer kullanışlı nicelik start color #1fab54, start text, k, o, with, \", on top, k, negative, o, r, t, a, l, a, m, a, negative, s, u, with, \", on top, r, a, t, l, e, r, i, n, space, k, a, r, e, s, i, space, end text, v, start subscript, r, m, s, end subscript, end color #1fab54 olarak bilinir. Kök-ortalama-süratlerin karesi, hızların karelerinin ortalamasının kareköküdür. Matematiksel olarak bunu şöyle yazabiliriz:
v, start subscript, r, m, s, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, N, end fraction, left parenthesis, v, start subscript, 1, end subscript, squared, plus, v, start subscript, 2, end subscript, squared, plus, v, start subscript, 3, end subscript, squared, plus, point, point, point, right parenthesis, end square root
Ortalama bir değeri bulmak için bu tekniği kullanmak gereksiz bir şekilde karmaşık görünebilir, çünkü önce bütün hızların karesini aldık ve sonra karekökünü aldık. "Neden sadece hızların ortalama değerini almadık?" diye düşünmüş olabilirsiniz. Ama hızın bir vektör olduğunu ve bir yönü olduğunu hatırlayalım. Sağa giden gaz molekülleri kadar (+ hız), sola giden gaz molekülleri de (- hız) olduğu için ortalama gaz molekülü hızı sıfırdır. Bu nedenle ilk olarak hızların karesini alarak onları pozitif yaparız. Bu, ortalama aldığımızda sıfıra ulaşmamamızı garanti eder. Fizikçiler bu yöntemi, pozitif ve negatif değerler alabilen niceliklerin (örneğin alternatif akım devresindeki gerilim ve akım) ortalama değerlerini bulmak için kullanırlar.
Oda sıcaklığındaki bir gaz için bile bu üç niceliğin (start color #e84d39, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, start color #11accd, v, start subscript, o, r, t, end subscript, end color #11accd, and start color #1fab54, v, start subscript, r, m, s, end subscript, end color #1fab54) oldukça büyük olduğunu belirtelim. Örneğin, oda sıcaklığındaki (293, start text, space, K, end text) Neon gazının en olası sürati, ortalama sürati ve süratlerinin karesinin ortalamasının karekökü aşağıdaki gibidir:
start color #e84d39, v, start subscript, p, end subscript, end color #e84d39, equals, 491, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (veya 1100, start fraction, start text, m, i, end text, divided by, start text, s, a, a, t, end text, end fraction, right parenthesis
start color #11accd, v, start subscript, o, r, t, end subscript, end color #11accd, equals, 554, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (veya 1240, start fraction, start text, m, i, end text, divided by, start text, s, a, a, t, end text, end fraction, right parenthesis
start color #1fab54, v, start subscript, r, m, s, end subscript, end color #1fab54, equals, 602, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction (veya 1350, start fraction, start text, m, i, end text, divided by, start text, s, a, a, t, end text, end fraction, right parenthesis

Maxwell-Boltzmann dağılımının altındaki alan neyi temsil eder?

Maxwell-Boltzmann dağılım grafiğinin y ekseni birim sürat başına molekül sayısını verir. Eğrinin altındaki toplam alan, gazın toplam molekül sayısına eşittir.
Eğer gazı daha yüksek bir sıcaklığa ısıtırsak, grafiğin tepe noktası sağa kayar (çünkü ortalama moleküler sürat artar). Grafik sağa kayarken grafiğin yüksekliği de azalmalıdır ki eğrinin altındaki toplam alan aynı kalsın. Benzer şekilde, gaz düşük bir sıcaklığa soğutulursa, grafiğin tepe noktası sola kayar. Grafik sola kayınca eğrinin altındaki toplam alanı korumak için grafiğin yüksekliği de artmalıdır. Bu, (sabit molekül sayısına sahip) bir gaz örneğini farklı sıcaklıklarda gösteren aşağıdaki eğrilerde görülebilir.
Gaz soğudukça, grafik uzar ve daralır. Benzer şekilde, gaz ısındıkça grafik kısalır ve genişler. Bu, eğrinin altındaki alanın (toplam molekül sayısının) sabit kalması için gereklidir.
Eğer gaz örneğinin içine molekül girerse, eğrinin altındaki toplam alan artar. Bunun gibi, eğer örneklemden molekül çıkışı olursa eğrinin altındaki toplam alan azalır.

Maxwell-Boltzmann dağılımıyla ilgili çözümlü örnekler

Örnek 1: Bir gazı soğutma

İki atomlu nitrojen gazı kapalı bir kaptadır. Kapalı kap, buz banyosunun içine yerleştirilir ve buz banyosunda daha düşük bir denge sıcaklığına ulaşır.
Gaz soğurken aşağıdaki miktarlara ne olur? (iki doğru ifade seçin)
Doğru olan tüm cevapları seçin:
Doğru olan tüm cevapları seçin:

Örnek 2: Gazdaki değişim

Bir gazın aşağıdakine benzeyen sürat dağılımı vardır.
Aşağıdaki hareketlerden hangisi dağılım grafiğinin aşağıda görüldüğü gibi 1. eğriden 2. eğriye dönüşmesine sebep olabilir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin: