If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Fizik Kütüphanesi

Konu: Fizik Kütüphanesi > Ünite 7

Ders 2: Tork, Moment ve Açısal Momentum
Fen Bilimleri
Fizik Kütüphanesi
Tork ve Açısal Momentum
Tork, Moment ve Açısal Momentum
© 2023 Khan AcademyKullanım ŞartlarıGizlilik PolitikasıÇerez Politikası

Eylemsizlik momenti

Google Classroom
Kütle dağılımının açısal ivme kazanmanın zorluğunu nasıl etkileyebileceğini öğrenin.

Eylemsizlik momenti nedir?

Eylemsizlik momenti döndürülebilen her nesnesin sahip olduğu bir özelliktir. Döndürme ekseni verilmiş bir nesnenin açısal hızının değiştirilmesinin ne kadar zor olduğunu anlatan skaler bir büyüklüktür.
Eylemsizlik momentinin dönme mekaniğindeki rolü, kütlenin doğrusal mekanikteki rolüne benzer. Gerçekten de eylemsizlik momenti, bir nesnenin kütlesine bağlıdır. Buna ek olarak kütlenin dönme eksenine göre dağılımına da bağlıdır.
Bir kütle dönme ekseninden ne kadar uzaklaşırsa, sistemin açısal hızını değiştirmek de o kadar zorlaşır. Bu durum mantıken, kütlenin çemberin etrafında daha yüksek bir momentuma sahip olmasından (yüksek süratinden dolayı) ve momentum vektörünün daha hızlı değişmesinden kaynaklanır. Bu etkilerin ikisi de eksene olan uzaklığa bağlıdır.
Eylemsizlik momenti I sembolü ile gösterilir. Dönme ekseni etrafında r yarıçapıyla dönen tenis topu gibi m kütleli bir nesne için (Şekil 1 de gösterilmiştir) eylemsizlik momenti:
I, equals, m, r, squared 'dir
ve dolayısıyla eylemsizlik momentinin uluslararası standart (SI) birimleri k, g, dot, m, squared'dir.
Eylemsizlik momenti aynı zamanda atalet momenti olarak da bilinir. Ayrıca bazen kütlenin ikinci momenti de denir. Buradaki 'ikinci' kelimesi, moment kolunun uzunluğunun karesine bağlı olmasından dolayı kullanılmaktadır.
Şekil 1: İple bağlanmış tenis topu merkez etrafında dönüyor.

Eylemsizlik momentinin Newton'un 2. yasasıyla ilişkisi nedir?

Newton'un 2. yasasını dönme hareketine uyguladığımızda, eylemsizlik momenti kütlenin yerini alır.
Kütlesiz bir çubuğun ucuna m kütlesi bağladığımızı düşünelim. Çubuk, Şekil 2'de gösterildiği gibi diğer ucu etrafında dönebilecek şekilde menteşelenmiş olsun.
Şekil 2: Teğetsel kuvvetin döndürdüğü kütle.
Şimdi bağladığımız kütleye teğetsel bir F, start subscript, T, end subscript kuvveti uygulayarak sistemi döndürmeye başlıyoruz. Newton'un 2. yasasına göre,
F, start subscript, T, end subscript, equals, m, a, start subscript, T, end subscript.
bu aynı zamanda şu şekilde de yazılabilir:
F, start subscript, T, end subscript, equals, m, left parenthesis, r, alpha, right parenthesis.
Newton'un 2. yasası kuvvet ile ivmeyi ilişkilendirir. Dönme mekaniğinde tork tau kuvvetin yerini alır. Her iki tarafı da yarıçap ile çarparak istediğimiz ifadeye ulaşabiliriz.
FTr=m(rα)rτ=mr2ατ=Iα\begin{aligned} F_T r &= m (r \alpha) r\\ \tau &= m r^2 \alpha \\ \tau &= I \alpha\end{aligned}
Bulduğumuz ifade, bilinen bir torka uygulandığında kütlenin nasıl davranacağını bulmak için kullanılabilir.
Alıştırma 1a:
100, space, N, m sabit bir tork ve maksimum 150, space, r, a, d, slash, s açısal sürat üretebilen bir motora eylemsizlik momenti 0, comma, 1, space, k, g, m, squared olan bir çark takılıyor. Motor çalıştırıldığında çarkta oluşacak olan açısal ivme nedir?
Alıştırma 1b:
Harekete durgun halden başlayan çarkın sabit sürate ulaşması ne kadar zaman alır?

Eylemsizlik momentini genel olarak nasıl hesaplayabiliriz?

Çoğu mekanik sistem birbirine bağlanmış birçok kütleden veya karmaşık şekillerden oluşur.
Her şekildeki nesnenin herhangi bir eksen için eylemsizlik momentini, bütün kütlelerin eylemsizlik momentini toplayarak hesaplayabiliriz.
I=m1r12+m2r22+…=Σmiri2\begin{aligned} I &= m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \ldots \\ &= \Sigma m_i r_i^2 \end{aligned}
Şekil 3: Katı cisimlerden oluşan sistemin iki farklı dönme ekseni.
Alıştırma2a:
Şekil 3(a)'daki nesneyi düşünün. Bu nesnenin eylemsizlik momenti nedir?
Alıştırma 2b:
Aynı sistemin farklı bir eksende döndüğü şekil 3(b)'deki alternatifi düşünün. Bu durumda eylemsizlik momentinin ne olmasını beklersiniz?

Karmaşık şekillerin eylemsizlik momentini nasıl bulabiliriz?

Daha karmaşık şekillerin eylemsizlik momentini hesaplamak için genellikle kalkülüs kullanmak gereklidir. Yine de sık kullanılan geometrik şekillerin eylemsizlik momentlerinin denklemlerini ders kitaplarında ve diğer kaynaklarda bulabiliriz. Bu denklemler genellikle eylemsizlik momentini ağırlık merkezi etrafında döndürülen cisimler için verirler (ağırlık merkezi genelde kütle merkeziyle aynıdır.).
Örneğin, merkezi etrafında döndürülen r yarıçaplı katı bir silindirin eylemsizlik momenti aşağıdaki gibidir:
I, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, m, r, squared
iç ve dış yarıçapları r, start subscript, i, end subscript ve r, start subscript, d, end subscript olan içi oyuk bir silindirin eylemsizlik momentiyse şudur:
I, equals, start fraction, m, left parenthesis, r, start subscript, i, end subscript, squared, plus, r, start subscript, o, end subscript, squared, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
Diğer basit şekiller için ifadeler şekil 4'te gösterilmiştir.
Şekil 4: Bazı basit şekillerin döndürülmesi sırasında oluşan eylemsizlik momentlerine ait denklemler.
Karmaşık şekiller genellikle eylemsizlik momentlerinin denklemlerini bildiğimiz basit şekillerin birleşimi şeklinde gösterilebilir.Bu eylemsizlik momentlerini birleştirerek bileşke şeklin eylemsizlik momentini bulabiliriz.
Basit şekilleri birleştirirken ortaya çıkan problem, denklemlerin o şeklin kendi ağırlık merkezi etrafında döndürülmesi durumunda sahip olduğu eylemsizlik momentini bize vermesidir. Ancak bu şekillerin merkezi, her zaman bizim bileşke şeklimizin döndürülme ekseniyle aynı olmak zorunda değildir. Bu durumu paralel eksenler teoremini kullanarak çözebiliriz.
Paralel eksenler teoremi ağırlık merkezi c'yi ve kütlesi m'i bildiğimiz bir nesnenin, ağırlık merkezi c'ye uzaklığı d olan bir o noktasına göre eylemsizlik momentini bulmamızı sağlar.
start box, I, start subscript, o, end subscript, equals, I, start subscript, c, end subscript, plus, m, d, squared, end box
Alıştırma 3:
Şekil 5'te gösterilen nesne, 10, space, m, m kalınlığında (her birinin kütlesi 50, space, k, g olan) 3 metal diskin 100, space, k, g kütleli metal bir yüzüğe lehimlenmesiyle yapılmıştır. Eğer merkezi etrafında döndürülürse (sayfanın dışına doğru) bu nesnenin eylemsizlik momenti ne olur?
Şekil 5: Bir adet büyük, içi oyuk diskten ve 3 adet küçük, içleri dolu disklerden oluşam sistem.

Eylemsizlik momenti fizikte başka nerede karşımıza çıkar?

Eylemsizlik momenti kütlenin olduğu dönme hareketi içeren neredeyse bütün fizik problemleri için önemlidir. Açısal momentumun hesaplanmasında kullanılır ve dönme hareketinin kütlenin dağılımının değişmesiyle birlikte nasıl değiştiğini açıklamamızı sağlar (açısal momentumun korunumu yoluyla). Ayrıca dönen bir çarkta depolanan dönme kinetik enerjisini bulmamız için de gereklidir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap
Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.