Ana içerik

Eylemsizlik momenti

Kütle dağılımının açısal ivme kazanmanın zorluğunu nasıl etkileyebileceğini öğrenin.

Eylemsizlik momenti nedir?

Eylemsizlik momenti döndürülebilen her nesnesin sahip olduğu bir özelliktir. Döndürme ekseni verilmiş bir nesnenin açısal hızının değiştirilmesinin ne kadar zor olduğunu anlatan skaler bir büyüklüktür.

Eylemsizlik momentinin dönme mekaniğindeki rolü, kütlenin doğrusal mekanikteki rolüne benzer. Gerçekten de eylemsizlik momenti, bir nesnenin kütlesine bağlıdır. Buna ek olarak kütlenin dönme eksenine göre dağılımına da bağlıdır.

Bir kütle dönme ekseninden ne kadar uzaklaşırsa, sistemin açısal hızını değiştirmek de o kadar zorlaşır. Bu durum mantıken, kütlenin çemberin etrafında daha yüksek bir momentuma sahip olmasından (yüksek süratinden dolayı) ve momentum vektörünün daha hızlı değişmesinden kaynaklanır. Bu etkilerin ikisi de eksene olan uzaklığa bağlıdır.

Eylemsizlik momenti

I

sembolü ile gösterilir. Dönme ekseni etrafında

r

yarıçapıyla dönen tenis topu gibi

m

kütleli bir nesne için (Şekil 1 de gösterilmiştir) eylemsizlik momenti:

I = m r^{2}

'dir

ve dolayısıyla eylemsizlik momentinin uluslararası standart (SI) birimleri

kg \cdot m^{2}

'dir.

Eylemsizlik momenti aynı zamanda atalet momenti olarak da bilinir. Ayrıca bazen kütlenin ikinci momenti de denir. Buradaki 'ikinci' kelimesi, moment kolunun uzunluğunun karesine bağlı olmasından dolayı kullanılmaktadır.

Eylemsizlik momentinin Newton'un 2. yasasıyla ilişkisi nedir?

Newton'un 2. yasasını dönme hareketine uyguladığımızda, eylemsizlik momenti kütlenin yerini alır.

Kütlesiz bir çubuğun ucuna

m

kütlesi bağladığımızı düşünelim. Çubuk, Şekil 2'de gösterildiği gibi diğer ucu etrafında dönebilecek şekilde menteşelenmiş olsun.

Şimdi bağladığımız kütleye teğetsel bir

F_{T}

kuvveti uygulayarak sistemi döndürmeye başlıyoruz. Newton'un 2. yasasına göre,

F_{T} = m a_{T}

bu aynı zamanda şu şekilde de yazılabilir:

F_{T} = m (r α)

Newton'un 2. yasası kuvvet ile ivmeyi ilişkilendirir. Dönme mekaniğinde tork

τ

kuvvetin yerini alır. Her iki tarafı da yarıçap ile çarparak istediğimiz ifadeye ulaşabiliriz.

\begin{aligned} F_{T} r & = m (r α) r \\ τ & = m r^{2} α \\ τ & = I α \end{aligned}

Bulduğumuz ifade, bilinen bir torka uygulandığında kütlenin nasıl davranacağını bulmak için kullanılabilir.

Alıştırma 1a:

$100 Nm$ ‍ sabit bir tork ve maksimum $150 rad / s$ ‍ açısal sürat üretebilen bir motora eylemsizlik momenti $0, 1 kg m^{2}$ ‍ olan bir çark takılıyor. Motor çalıştırıldığında çarkta oluşacak olan açısal ivme nedir?

Alıştırma 1b:

Harekete durgun halden başlayan çarkın sabit sürate ulaşması ne kadar zaman alır?

Eylemsizlik momentini genel olarak nasıl hesaplayabiliriz?

Çoğu mekanik sistem birbirine bağlanmış birçok kütleden veya karmaşık şekillerden oluşur.

Her şekildeki nesnenin herhangi bir eksen için eylemsizlik momentini, bütün kütlelerin eylemsizlik momentini toplayarak hesaplayabiliriz.

\begin{aligned} I & = m_{1} r_{1}^{2} + m_{2} r_{2}^{2} + \dots \\ = Σ m_{i} r_{i}^{2} \end{aligned}

Alıştırma2a:

Şekil 3(a)'daki nesneyi düşünün. Bu nesnenin eylemsizlik momenti nedir?

Alıştırma 2b:

Aynı sistemin farklı bir eksende döndüğü şekil 3(b)'deki alternatifi düşünün. Bu durumda eylemsizlik momentinin ne olmasını beklersiniz?

Karmaşık şekillerin eylemsizlik momentini nasıl bulabiliriz?

Daha karmaşık şekillerin eylemsizlik momentini hesaplamak için genellikle kalkülüs kullanmak gereklidir. Yine de sık kullanılan geometrik şekillerin eylemsizlik momentlerinin denklemlerini ders kitaplarında ve diğer kaynaklarda bulabiliriz. Bu denklemler genellikle eylemsizlik momentini ağırlık merkezi etrafında döndürülen cisimler için verirler (ağırlık merkezi genelde kütle merkeziyle aynıdır.).

Örneğin, merkezi etrafında döndürülen

r

yarıçaplı katı bir silindirin eylemsizlik momenti aşağıdaki gibidir:

I = \frac{1}{2} m r^{2}

iç ve dış yarıçapları

r_{i}

r_{d}

olan içi oyuk bir silindirin eylemsizlik momentiyse şudur:

I = \frac{m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2})}{2}

Diğer basit şekiller için ifadeler şekil 4'te gösterilmiştir.

Karmaşık şekiller genellikle eylemsizlik momentlerinin denklemlerini bildiğimiz basit şekillerin birleşimi şeklinde gösterilebilir.Bu eylemsizlik momentlerini birleştirerek bileşke şeklin eylemsizlik momentini bulabiliriz.

Basit şekilleri birleştirirken ortaya çıkan problem, denklemlerin o şeklin kendi ağırlık merkezi etrafında döndürülmesi durumunda sahip olduğu eylemsizlik momentini bize vermesidir. Ancak bu şekillerin merkezi, her zaman bizim bileşke şeklimizin döndürülme ekseniyle aynı olmak zorunda değildir. Bu durumu paralel eksenler teoremini kullanarak çözebiliriz.

Paralel eksenler teoremi ağırlık merkezi

c

'yi ve kütlesi

m

'i bildiğimiz bir nesnenin, ağırlık merkezi

c

'ye uzaklığı

d

olan bir

o

noktasına göre eylemsizlik momentini bulmamızı sağlar.

I_{o} = I_{c} + m d^{2}

Alıştırma 3:

Şekil 5'te gösterilen nesne, $10 mm$ ‍ kalınlığında (her birinin kütlesi $50 kg$ ‍ olan) 3 metal diskin $100 kg$ ‍ kütleli metal bir yüzüğe lehimlenmesiyle yapılmıştır. Eğer merkezi etrafında döndürülürse (sayfanın dışına doğru) bu nesnenin eylemsizlik momenti ne olur?
Çözüm:
Başlangıç olarak dört bileşen için de ayrı ayrı eylemsizlik momentini bulalım.
Oyuk silindir için önceden verilmiş olan denklemi kullanarak büyük diskin eylemsizlik momenti $I_{b}$ ‍'yi bulabiliriz. Bu bileşenin ağırlık merkezi bileşke şeklin dönme ekseniyle aynı olduğu için herhangi bir düzeltme yapmamıza gerek yoktur.
$\begin{aligned} I_{b} & = \frac{1}{2} m (r_{i}^{2} + r_{o}^{2}) \\ = \frac{1}{2} (100 kg) \cdot (0, 75^{2} + 1^{2}) m^{2} \\ ≃ 78, 125 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
Şimdilik kendi eksenleri etrafında dönüyormuş gibi düşünerek küçük diskler için de aynı işlemi uygulayabiliriz:
$\begin{aligned} I_{k} & = \frac{1}{2} m r_{c}^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot (50 \cdot kg) (0, 30 m)^{2} \\ = 2, 25 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
Bu üç disk de ağırlık merkezlerinden $d$ ‍ uzaklıkta olan bir nokta etrafında döndürüldüklerinden, etkin eylemsizlik momentleri $I_{k}^{'}$ ‍'yi bulmak için paralel eksenler teoremini kullanabiliriz.
$d = \frac{1}{2} (1 + 0, 75) = 0, 875 m$ ‍
$\begin{aligned} I_{k}^{'} & = I_{k} + m d^{2} \\ = (2, 25 kg \cdot m^{2}) + (50 kg) \cdot (0, 875 m)^{2} \\ ≃ 40, 5 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍
Üç küçük disk de dönme eksenine eşit uzaklıkta birer yarıçapta bulunduklarından, bütün diskleri eylmsizlik momentleri üç katı olan tek bir parçaymış gibi ele alabiliriz. Son olarak cismin eylemsizlik momenti aşağıdaki gibidir:
$\begin{aligned} I & ≃ 78 + 3 \cdot 40, 5 \\ ≃ 200 kg \cdot m^{2} \end{aligned}$ ‍

Eylemsizlik momenti fizikte başka nerede karşımıza çıkar?

Eylemsizlik momenti kütlenin olduğu dönme hareketi içeren neredeyse bütün fizik problemleri için önemlidir. Açısal momentumun hesaplanmasında kullanılır ve dönme hareketinin kütlenin dağılımının değişmesiyle birlikte nasıl değiştiğini açıklamamızı sağlar (açısal momentumun korunumu yoluyla). Ayrıca dönen bir çarkta depolanan dönme kinetik enerjisini bulmamız için de gereklidir.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.