If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Hızın Bileşenleri Nelerdir?

Vektörleri parçalara ayırarak sadeleştirmeyi öğrenin.

Neden vektörleri bileşenlerine ayırırız?

İki boyutlu hareket bir boyutlu hareketten daha karmaşıktır, çünkü hızlar köşegen yönleri gösterebilir. Örneğin bir beyzbol topu aynı anda yatay ve düşey yönde köşegen v hızıyla hareket edebilir. Hesaplamalarımızı basitleştirmek için, beyzbol topunun v hız vektörünü yatay vx ve düşey vy yönlerine ayırırız.
Bir beyzbol topunun hem yatay hem düşey yönlerini tek bir denklemde halletmek zordur; bu durumda bölerek işlem yapma tekniğini kullanabiliriz.
Köşegen v hızını yatay vx ve düşey vy bileşenlerine ayırmak, her yönü ayrı ayrı ele alabilmemizi sağlar. Böylece, bir tane zor iki boyutlu problemi, iki tane daha kolay tek boyutlu probleme dönüştüreceğiz. Vektörleri bileşenlerine ayırma yöntemi, hız dışındaki vektörler için de uygulanabilir (örneğin kuvvetler, momentum, elektrik alanı, vb). Aslında bu yöntemi fizikte sürekli uygulayacağız, dolayısıyla vektör bileşenleriyle işlem yapmakta bir an önce yetkinlik kazanmanızda fayda var.

Bir vektörü bileşenlerine nasıl ayırırız?

Vektörleri bileşenlerine ayırma hakkında konuşmaya başlamadan önce, aşağıda gösterildiği gibi, trigonometrinin zaten bize bir dik üçgenin kenar uzunlukları (hipotenüs, karşı, komşu) ve açılarından birisi (θ) arasında bağlantı kurma imkanı verdiğini hatırlayalım.
sinθ=karşıhipotenüs
cosθ=komşuhipotenüs
tanθ=karşıkomşu
Herhangi bir köşegen vektörü iki dik bileşene ayırdığımızda, toplam vektör ve bileşenleri —v,vy,vx— bir dik üçgen oluşturacaktır. Bu nedenle, aşağıda görüldüğü gibi, bir hız vektörünün büyüklüğüne ve bileşenlerine aynı trigonometrik kuralları uygulayabiliriz. vx'in komşu kenar, vy'nin karşı kenar ve v'nin hipotenüs olarak ele alındığına dikkat edin.

sinθ=vyv
cosθ=vxv
tanθ=vyvx
Dikkat ederseniz, bu formüllerdeki v'ler toplam hız vektörünün (örneğin toplam sürat) büyüklüklerini gösterir ve bu nedenle asla negatif olamaz. Eğer negatif yönü gösteriyor iseler, vx ve vy bileşenleri negatif olabilir. Genel olarak kullanılan uygulamada, yatay x yönü için negatif soldur ve düşey y yönü için negatif aşağıdır.

Toplam vektörün büyüklüğünü ve açısını nasıl belirlersiniz?

Daha önceki bölümlerde bir vektörün büyüklüğünün ve açısının nasıl düşey ve yatay bileşenlere ayrılabileceğini gördük. Ancak diyelim ki verilen bazı hız bileşenleriyle (vy ve vx) başladınız. Toplam hız vektörünün büyüklüğünü (v) ve açısını (θ) bulmak için bu bileşenleri nasıl kullanabilirsiniz?
Toplam hız vektörünün büyüklüğünü bulmak çok zor değildir, çünkü herhangi bir dik üçgenin kenar uzunlukları ve hipotenüsü Pisagor teoremi bağlantılarına sahip olacaktır.
v2=vx2+vy2
Karekök alarak, bileşenler cinsinden toplam hız vektörünün büyüklüğünü elde ederiz.
v=vx2+vy2

Ayrıca, eğer toplam vektörün her iki bileşenini biliyorsak, tanθ'yı kullanarak toplam vektörün açısını bulabiliriz.
tanθ=vyvx
Ters tanjantı aldığımızda, bileşenler cinsinden toplam hız vektörünün açısını elde ederiz.
θ=tan1(vyvx)

Vektör bileşenlerine ilişkin akıl karıştırıcı olan şey nedir?

θ=tan1(vyvx) formülünü kullanırken, vy'yi karşı kenar olarak üste ve vx'i komşu kenar olarak en alta koymamız, açıyı yatay eksenden ölçtüğümüz anlamını taşır. Açının nasıl çizileceği karmaşık gözükse de, burada iki sıkı ipucu var:
Sağa/yukarının pozitif yönler olarak seçildiği varsayıldığında, eğer vx yatay bileşeni pozitifse, vektör sağa doğrudur. Eğer vx yatay bileşeni negatifse, vektör sola doğrudur.
Gene, sağa/yukarıyı pozitif yönler olarak seçtiğimiz varsayıldığında, eğer vy düşey bileşeni pozitifse, vektör yukarı doğrudur. Eğer vy'nin düşey bileşeni negatifse, vektör aşağı doğrudur.
Buna göre, örneğin eğer bir vektörün bileşenleri vx=12 m/s ve vy=10 m/s ise, vektör sola doğru (çünkü vx negatiftir) ve yukarıyı (çünkü vy pozitiftir) gösteriyor olmalıdır.
Kavram kontrolü: Eğer kağıttan yapılmış bir uçağın hız bileşenleri vx=7 m/s ve vy=5 m/s ise, sağa ve yukarıya yönleri pozitif olarak seçtiğimizi varsayarsak, kağıttan uçak hangi yönde ilerlemektedir?
1 cevap seçin:

Vektör bileşenlerine ilişkin çözülmüş örnekler neye benziyor?

Örnek 1: Beckham gibi oynayın

Bir futbol topuna, aşağıda görüldüğü gibi yukarı ve sağa 30 açıyla ve 24,3 m/s süratle vurulmuştur.
Gösterilen anda hızın düşey bileşeni nedir?
Gösterilen anda hızın yatay bileşeni nedir?
Hızın düşey bileşeninin bulmak için sinθ=karşıhipotenüs=vyv formülünü kullanacağız. Hipotenüs 24,3 m/s hızının büyüklüğüdür (v) ve 30'lik açının karşı kenarı vy'dir.
sinθ=vyv(Sinüs tanımını kullanın.)
vy=vsinθ(Düşey bileşeni hesaplayın.)
vy=(24,3 m/s)sin(30)(Değerleri yerlerine koyun.)
vy=12,2 m/s(Hesaplayın ve kutlayın!)
Yatay bileşeni bulmak için cosθ=komşuhipotenüs=vxv formülünü kullanacağız.
cosθ=vxv(Kosinüs tanımını kullanın.)
vx=vcosθ(Düşey bileşeni hesaplayın.)
vx=(24,3 m/s)cos(30)(Değerleri yerlerine koyun.)
vx=21,0 m/s(Hesaplayın ve kutlayın!)

Örnek 2: Sinirli martı

Sinirli bir martı İstanbul semalarında yatay hız bileşeni vx=14,6 m/s ve düşey hız bileşeni vy=8,62 m/s ile uçmaktadır.
Martının toplam hızının büyüklüğü nedir?
Toplam hızın açısı nedir?
Sağın/yukarının pozitif olduğunu ve tüm açıların pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçüleceğini varsayın.
Toplam hız vektörünün büyüklüğünü bulmak için Pisagor teoremini kullanacağız.
v2=vx2+vy2(Pisagor teoremi.)
v=vx2+vy2(Her iki tarafın karekökünü alın.)
v=(14,6 m/s)2+(8,62 m/s)2(Bilinen değerleri yerlerine koyun.)
v=17,0 m/s(Hesaplayın ve kutlayın!)
Açıyı bulmak için tanjant tanımını kullanacağız, ancak v'yi bildiğimiz için sinüs veya kosinüs de kullanabilirdik.
tanθ=vyvx(Tanjant tanımını kullanın.)
θ=tan1(vyvx)(İki tarafın da ters tanjantı.)
θ=tan1(8,62 m/s14,6 m/s)(Büyüklükleri yerlerine koyun.)
θ=30,6(Hesaplayın ve kutlayın!)
Düşey bileşen vy=8,62 m/s olduğundan, vektörün aşağı doğru olduğunu ve vx=14,6 m/s olduğundan vektörün sağa doğru olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, vektörü dördüncü çeyrek düzlemde çizeceğiz.
Martı 17,0 m/s hızla yatay eksenin altında 30,6 açıyla uçmaktadır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.