If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Hızın Bileşenleri Nelerdir?

Vektörleri parçalara ayırarak sadeleştirmeyi öğrenin.

Neden vektörleri bileşenlerine ayırırız?

İki boyutlu hareket bir boyutlu hareketten daha karmaşıktır, çünkü hızlar köşegen yönleri gösterebilir. Örneğin bir beyzbol topu aynı anda yatay ve düşey yönde köşegen v hızıyla hareket edebilir. Hesaplamalarımızı basitleştirmek için, beyzbol topunun v hız vektörünü yatay v, start subscript, x, end subscript ve düşey v, start subscript, y, end subscript yönlerine ayırırız.
Bir beyzbol topunun hem yatay hem düşey yönlerini tek bir denklemde halletmek zordur; bu durumda bölerek işlem yapma tekniğini kullanabiliriz.
Köşegen v hızını yatay v, start subscript, x, end subscript ve düşey v, start subscript, y, end subscript bileşenlerine ayırmak, her yönü ayrı ayrı ele alabilmemizi sağlar. Böylece, bir tane zor iki boyutlu problemi, iki tane daha kolay tek boyutlu probleme dönüştüreceğiz. Vektörleri bileşenlerine ayırma yöntemi, hız dışındaki vektörler için de uygulanabilir (örneğin kuvvetler, momentum, elektrik alanı, vb). Aslında bu yöntemi fizikte sürekli uygulayacağız, dolayısıyla vektör bileşenleriyle işlem yapmakta bir an önce yetkinlik kazanmanızda fayda var.

Bir vektörü bileşenlerine nasıl ayırırız?

Vektörleri bileşenlerine ayırma hakkında konuşmaya başlamadan önce, aşağıda gösterildiği gibi, trigonometrinin zaten bize bir dik üçgenin kenar uzunlukları (hipotenüs, karşı, komşu) ve açılarından birisi left parenthesis, theta, right parenthesis arasında bağlantı kurma imkanı verdiğini hatırlayalım.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, k, a, r, ş, ı, end text, end color #e84d39, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, with, \", on top, s, end text, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, start text, k, o, m, ş, u, end text, end color #6495ed, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, with, \", on top, s, end text, end fraction
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, start text, k, a, r, ş, ı, end text, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, start text, k, o, m, ş, u, end text, end color #6495ed, end fraction
Herhangi bir köşegen vektörü iki dik bileşene ayırdığımızda, toplam vektör ve bileşenleri —v, comma, v, start subscript, y, end subscript, comma, v, start subscript, x, end subscript— bir dik üçgen oluşturacaktır. Bu nedenle, aşağıda görüldüğü gibi, bir hız vektörünün büyüklüğüne ve bileşenlerine aynı trigonometrik kuralları uygulayabiliriz. v, start subscript, x, end subscript'in komşu kenar, v, start subscript, y, end subscript'nin karşı kenar ve v'nin hipotenüs olarak ele alındığına dikkat edin.
sine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, v, end fraction
cosine, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, divided by, v, end fraction
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Dikkat ederseniz, bu formüllerdeki v'ler toplam hız vektörünün (örneğin toplam sürat) büyüklüklerini gösterir ve bu nedenle asla negatif olamaz. Eğer negatif yönü gösteriyor iseler, v, start subscript, x, end subscript ve v, start subscript, y, end subscript bileşenleri negatif olabilir. Genel olarak kullanılan uygulamada, yatay x yönü için negatif soldur ve düşey y yönü için negatif aşağıdır.

Toplam vektörün büyüklüğünü ve açısını nasıl belirlersiniz?

Daha önceki bölümlerde bir vektörün büyüklüğünün ve açısının nasıl düşey ve yatay bileşenlere ayrılabileceğini gördük. Ancak diyelim ki verilen bazı hız bileşenleriyle (v, start subscript, y, end subscript ve v, start subscript, x, end subscript) başladınız. Toplam hız vektörünün büyüklüğünü left parenthesis, v, right parenthesis ve açısını left parenthesis, theta, right parenthesis bulmak için bu bileşenleri nasıl kullanabilirsiniz?
Toplam hız vektörünün büyüklüğünü bulmak çok zor değildir, çünkü herhangi bir dik üçgenin kenar uzunlukları ve hipotenüsü Pisagor teoremi bağlantılarına sahip olacaktır.
v, squared, equals, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared
Karekök alarak, bileşenler cinsinden toplam hız vektörünün büyüklüğünü elde ederiz.
v, equals, square root of, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, squared, plus, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, squared, end square root

Ayrıca, eğer toplam vektörün her iki bileşenini biliyorsak, start text, t, a, n, end text, theta'yı kullanarak toplam vektörün açısını bulabiliriz.
tangent, start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction
Ters tanjantı aldığımızda, bileşenler cinsinden toplam hız vektörünün açısını elde ederiz.
start color #1fab54, theta, end color #1fab54, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start color #e84d39, v, start subscript, y, end subscript, end color #e84d39, divided by, start color #6495ed, v, start subscript, x, end subscript, end color #6495ed, end fraction, right parenthesis

Vektör bileşenlerine ilişkin akıl karıştırıcı olan şey nedir?

theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis formülünü kullanırken, v, start subscript, y, end subscript'yi karşı kenar olarak üste ve v, start subscript, x, end subscript'i komşu kenar olarak en alta koymamız, açıyı yatay eksenden ölçtüğümüz anlamını taşır. Açının nasıl çizileceği karmaşık gözükse de, burada iki sıkı ipucu var:
Sağa/yukarının pozitif yönler olarak seçildiği varsayıldığında, eğer v, start subscript, x, end subscript yatay bileşeni pozitifse, vektör sağa doğrudur. Eğer v, start subscript, x, end subscript yatay bileşeni negatifse, vektör sola doğrudur.
Gene, sağa/yukarıyı pozitif yönler olarak seçtiğimiz varsayıldığında, eğer v, start subscript, y, end subscript düşey bileşeni pozitifse, vektör yukarı doğrudur. Eğer v, start subscript, y, end subscript'nin düşey bileşeni negatifse, vektör aşağı doğrudur.
Buna göre, örneğin eğer bir vektörün bileşenleri v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 12, start text, space, m, slash, s, end text ve v, start subscript, y, end subscript, equals, 10, start text, space, m, slash, s, end text ise, vektör sola doğru (çünkü v, start subscript, x, end subscript negatiftir) ve yukarıyı (çünkü v, start subscript, y, end subscript pozitiftir) gösteriyor olmalıdır.
Kavram kontrolü: Eğer kağıttan yapılmış bir uçağın hız bileşenleri v, start subscript, x, end subscript, equals, minus, 7, start text, space, m, slash, s, end text ve v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 5, start text, space, m, slash, s, end text ise, sağa ve yukarıya yönleri pozitif olarak seçtiğimizi varsayarsak, kağıttan uçak hangi yönde ilerlemektedir?
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Vektör bileşenlerine ilişkin çözülmüş örnekler neye benziyor?

Örnek 1: Beckham gibi oynayın

Bir futbol topuna, aşağıda görüldüğü gibi yukarı ve sağa 30degrees açıyla ve 24,3 m/s süratle vurulmuştur.
Gösterilen anda hızın düşey bileşeni nedir?
Gösterilen anda hızın yatay bileşeni nedir?
Hızın düşey bileşeninin bulmak için s, i, n, theta, equals, start fraction, start text, k, a, r, ş, ı, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, with, \", on top, s, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction formülünü kullanacağız. Hipotenüs 24,3 m/s hızının büyüklüğüdür (v) ve 30degrees'lik açının karşı kenarı v, start subscript, y, end subscript'dir.
sine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, S, i, n, u, with, \", on top, s, space, t, a, n, ı, m, ı, n, ı, space, k, u, l, l, a, n, ı, n, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, v, sine, theta, start text, left parenthesis, D, u, with, \", on top, ş, e, y, space, b, i, l, e, ş, e, n, i, space, h, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, left parenthesis, 24, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, D, e, g, with, \u, on top, e, r, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, y, end subscript, equals, 12, comma, 2, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, space, v, e, space, k, u, t, l, a, y, ı, n, !, right parenthesis, end text
Yatay bileşeni bulmak için cosine, theta, equals, start fraction, start text, k, o, m, ş, u, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, with, \", on top, s, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction formülünü kullanacağız.
cosine, theta, equals, start fraction, v, start subscript, x, end subscript, divided by, v, end fraction, start text, left parenthesis, K, o, s, i, n, u, with, \", on top, s, space, t, a, n, ı, m, ı, n, ı, space, k, u, l, l, a, n, ı, n, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, v, cosine, theta, start text, left parenthesis, D, u, with, \", on top, ş, e, y, space, b, i, l, e, ş, e, n, i, space, h, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, left parenthesis, 24, comma, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis, start text, left parenthesis, D, e, g, with, \u, on top, e, r, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, x, end subscript, equals, 21, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, space, v, e, space, k, u, t, l, a, y, ı, n, !, right parenthesis, end text

Örnek 2: Sinirli martı

Sinirli bir martı İstanbul semalarında yatay hız bileşeni v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text ve düşey hız bileşeni v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text ile uçmaktadır.
Martının toplam hızının büyüklüğü nedir?
Toplam hızın açısı nedir?
Sağın/yukarının pozitif olduğunu ve tüm açıların pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçüleceğini varsayın.
Toplam hız vektörünün büyüklüğünü bulmak için Pisagor teoremini kullanacağız.
v, squared, equals, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, start text, left parenthesis, P, i, s, a, g, o, r, space, t, e, o, r, e, m, i, point, right parenthesis, end text
v, equals, square root of, v, start subscript, x, end subscript, squared, plus, v, start subscript, y, end subscript, squared, end square root, start text, left parenthesis, H, e, r, space, i, k, i, space, t, a, r, a, f, ı, n, space, k, a, r, e, k, o, with, \", on top, k, u, with, \", on top, n, u, with, \", on top, space, a, l, ı, n, point, right parenthesis, end text
v, equals, square root of, left parenthesis, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, end square root, start text, left parenthesis, B, i, l, i, n, e, n, space, d, e, g, with, \u, on top, e, r, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text
v, equals, 17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, H, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, space, v, e, space, k, u, t, l, a, y, ı, n, !, right parenthesis, end text
Açıyı bulmak için start text, t, a, n, j, a, n, t, end text tanımını kullanacağız, ancak v'yi bildiğimiz için start text, s, i, n, u, with, \", on top, s, end text veya start text, k, o, s, i, n, u, with, \", on top, s, end text de kullanabilirdik.
tangent, theta, equals, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, T, a, n, j, a, n, t, space, t, a, n, ı, m, ı, n, ı, space, k, u, l, l, a, n, ı, n, point, right parenthesis, end text
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, v, start subscript, y, end subscript, divided by, v, start subscript, x, end subscript, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, I, with, \., on top, k, i, space, t, a, r, a, f, ı, n, space, d, a, space, t, e, r, s, space, t, a, n, j, a, n, t, ı, point, right parenthesis, end text
theta, equals, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, B, u, with, \", on top, y, u, with, \", on top, k, l, u, with, \", on top, k, l, e, r, i, space, y, e, r, l, e, r, i, n, e, space, k, o, y, u, n, point, right parenthesis, end text
theta, equals, 30, comma, 6, degrees, start text, left parenthesis, H, e, s, a, p, l, a, y, ı, n, space, v, e, space, k, u, t, l, a, y, ı, n, !, right parenthesis, end text
Düşey bileşen v, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 8, comma, 62, start text, space, m, slash, s, end text olduğundan, vektörün aşağı doğru olduğunu ve v, start subscript, x, end subscript, equals, 14, comma, 6, start text, space, m, slash, s, end text olduğundan vektörün sağa doğru olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, vektörü dördüncü çeyrek düzlemde çizeceğiz.
Martı 17, comma, 0, start text, space, m, slash, s, end text hızla yatay eksenin altında 30, comma, 6, degrees açıyla uçmaktadır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.