Örnek: h Yüksekliğinden Atılmış Cismin h1 Yüksekliğinde Başka Bir Platforma Düşmesi

Şimdi biraz daha karışık olan 2 boyutlu eğik atış problemi çözelim. Bu durumda eğik atış hareketini bu düzlemden başlatacağım ve diğer düzleme gidecek. Sonra mermi yaklaşık olarak 53 derece gibi bir açıyla ateşlicem. Mermi tanktan yani tankın topundan çıkacak. Evet şimdi daha net bir şekilde şöyle açıklayayım buradaki açı 53 derece gibi ve namlunun ucundan merminin çıkış hızı da 90 metrekare bölü saniyedir. Şimdi de ne kadar yüksekten fırlatıldığına, atıldığına, ateşlendiğine bakalım. Bakalım ne kadar yüksekten ateşlendi. Merminin çıktığı namlunun ucundan zemine olan yüksekliği 25 metre. Diğer düzlemin zeminden yüksekliği ne kadarmış. O da 9 metre. Burada bizim için önemli olan şey ateşlenmenin zeminden 25 metre yüksekte yapılması. Son videoda mermiyi şöyle çizmiştik. Ateşlenme yüksekliğini 0 olarak kabul etmiştik ve düştüğü yerdeki yerin yüksekliği de 0 dı. Burada ise ateşlenme yüksekliği 25 metre olarak kabul ediyoruz yani merminin namludan ayrıldığı yer 25 metre yüksekliğinde ve mermi namludan ayrılır ayılmaz hızı yatay düzlemde azalarak gider. Biz burada merminin aynı yüksekliğe düşeceğini Zannediyoruz ama mermi farklı bir yüksekliği olan bir düzleme düşecek. Peki o zaman bu problemi nasıl ele alalım? Burada ilk yapmamız gereken şey hız vektörünü yatay ve dikey bileşenlerine ayırmak. Yatay bileşeni, merminin havada ne kadar kaldığı bilgisiyle bulabiliriz Dikey bileşeni ise havada ne kadar süre kaldığı ve ne kadar yol aldığı bilgilerini kullanarak bulabiliriz. Ve burada, hava direncini ihmal edicez görmezden gelicez. Son videodaki yaptıklarımızı hatırladığınızı farzederek, bazı bazı bütün bu basamakları burada geçiyorum. Eğer vektörümüzü çizecek olursak, şimdi hemen ne olacak buradaki uzunluk 90 olacak. Hız vektörümüzün burada x ekseniyle yaptığı açı da 53 derece. Buraya vektörümüzün yatay bileşenini çizersek şu şekilde görünecek. Ve dikey bileşen de böyle görünecek değil mi evet. burası hız vektörünün yatay düzlemle yatığı 53 derecelik açının tam karşısı. Biz şimdi basit trigonometri uyguluyoruz burasının uzunluğunun açının sinüsü olduğunu biliyoruz. Yani dik bileşen bölü hipotenüs olduğunu biliyoruz. Y yönü için de ne diyeceğim Y diyeceğim. Bu dik bileşenin yönü. Hız vektörünün hipotenüse bölünmesi ne olacak bize vektörümüzün esas uzunluğunu vericek Ya da dik bileşenin uzunluğunu bulmak için sinüs 53'ü vektörümüzün büyüklüğüyle çarparız. Eğer yatay bileşenin uzunluğunu bulucaksak bulacak olursak yatay düzlem hipotenüsün komşusu. Kosinüs, komşunun hipotenüse bölünmesi. O zaman vektörümüzün yatay bileşenine X diyecek olursak, X bölü hipotenüs yani 90, kosinüs 53 e eşit. Kosinüs, komşunun hipotenüse bölümü Komşunun uzunluğu bölü 90 dır. O zaman her iki tarafı da 90 la çarpacak olursak yatay bileşeni bulmuş oluruz. Pekala. Şimdi, bu şeyin havada ne kadar kaldığını nasıl bulacağız? Bunun için dikey bileşeni kullanıcaz. Özellikle farklı seviyelerdeki yüksekliklerde çalıştığımız için, daha basit olan yolu denemek isteyebiliriz ama "Başlangıç hızı neyse iniş hızı da onunla aynı ama ters yönlüdür" yolunu kullanamayız. Çünkü burada seviye farkı var. Önceki videoda çıkardığımız formülü burada kullanabiliriz. Bu yer değiştirme miktarını veren formülü kopyalayalım. Kopyaladığımız formülü buraya yapıştıralım. Böylece bunu kullanabiliriz. Şimdi biliyoruz ki yerdeğiştirme hız vektörünün dikey bileşeni çarpı zaman artı, birim zamandaki hız değişimi yani ivme çarpı zamanın karesinin 2 ile bölümünden çıkıyor. Peki havada ne kadar kaldığımızı nasıl bulucaz? Eğer 25 m yükseklikten başladıysak ve 9 m yüksekliğe doğru gidersek yani mermimiz 25 metre yükseklikten ateşlendi ve 9 metre yüksekliğinde bir zemine çarptı yer değiştirme ne kadar olur? Ders boyunca, mermi yol alırken,16 metre yer değiştireceğini bulduk değil mi. Ya da başka bir şekilde söyleyecek olursak; bizim dikey yöndeki yer değiştirmemiz eksi 16 metre. Çünkü 25 eksi 9 ne yapar 16 eder. O zaman bir önceki videoda bulduğumuz bu formülü kullanabiliriz. Eksi 16 burada işlem yaparken kolaylık olsun diye birimleri kullanmayacağıma ama burada dikey yönü hesaba katarak işlem yapıyoruz. 16 negatif çünkü yerdeğiştirmemiz aşağı doğru. Aşağıya doğru değil mi irtifa kaybediyor mermi Buradaki zaman, düşme başladıktan sonra yere düşene kadar geçen süreye karşılık geliyor. Evet, zaman artı serbest düşmedeki cisimlere yerin uyguladığı yer çekimi kuvvetinden kaynaklanan ivme. Yer çekimi ivmesi eki 9.8 metre bölü saniyekare. Burada ikiye bölündüğünde elde edilen eksi 4.9 metre bölü saniyekare çarpı zaman değişiminin karesi yani bu zaman diğer düzleme düşene kadar ki geçen sürenin karesi. Şimdi bu şekilde bir denklemi nasıl çözeceğiz? Bunu çarpanlarına ayırıp t yi çekmezsek çözemeyiz. İşlemin artık ikinci dereceden bir denklem olduğunu farketmişsinizdir. Ve ikinci dereceden denklemleri çözmenin yolu denklemdeki her şeyi bir tarafa toplayıp sonra çarpanlarına ayırmak. Ya da bu durumda olduğu gibi daha önceki videoda kanıtladığımız bir ikinci dereceden denklem formülüne göre çözebiliriz. Aslında bu dikey yönde ki yerdeğiştirmeyi yani eksi 16 metreyi buradaki zamanı bulmak için kullanılabiliriz. Burada 2 çözüm elde ederiz. Bunlardan biri artan zamanla negatif bir değişim olması. Bu yüzden burada pozitif bir değer alırım. Evet şimdi her şeyi eşitliğin bir tarafına atalım ve ne yapalım iki tarafa 16 ekleyelim. sol tarafında 0 kaldı. 0 eşittir evet 0 eşittir eksi 4.9 çarpı zaman değişiminin karesi ile 90, sinüs 53 ve delta t parantez içinde çarpılıp bunlara 16 eklenicek. Ve bu eşitlik ikinci dereceden bir denklem haline geldi. Şimdi bu denklemin köklerini bulabiliriz. Bu kökler delta t cinsinden bulunabilir. Böylece delta t yi kullanarak ikinci dereceden denklem formülünü çözebiliriz. Eğer bu işlemler size pek bir yabancı geldiyse Khan Academy matematik videolarından ikinci dereceden denklemler adıyla tekrar edebilirsiniz. Evet delta eşittir negatif B ye. Burada B delta t nin katsayısı. ikinci dereceden denklemlerin formülünü hatırlamayanlar için yazacağım. Yani çözmem gereken eşitlik Ax kare 2 artı Bx artı C eşittir 0. Burada kökler eksi B olacak. Bu formül denklemdeki x değerlerini bulmamızı sağlayacak. Şimdi burada yaptığım da aynı işlem. Buradaki B değeri negatif ya da pozitif olabilir. Değerleri değişebilir ama biz şimdi pozitif olan değerleri alacağız. Çünkü bize pozitif değeri verecek olan değer o. artı ya da eksi kök içinde B den 4 çıkardık, değeri eksi 4.9 olan A ve değeri 16 olan C ile çarpıyoruz. Buraya kadarki kısım işin özüydü şimdi bütün bu değer 2A ya bölünecek. A, eksi 4.9 olduğundan 2A da ne yapar eksi 9.8 dir. O zaman şimdi yer değişimini bulmak için hesap makinemizi çıkarabiliriz. Yine sadece pozitif değere odaklanacağım burada. Negatif değeri bulma kısmını size bırakıcam. Şimdi bu size zaman değişiminin negatif değerini verir ki bu da mantıksız. Bu yüzden yer değişimini eksi 16 metre kabul etsek de zamanın değişimini tabiyatıyla pozitif alıyoruz. Evet, şimdi hesaplayalım. Bunu dikkatli bir şekilde yapalım. Şimdi iki negatif işaretimiz birbirini götürür. Böylece artı 4 çarpı artı 4.9 çarpı 16. Ve bu da bizim işlemimizin sonu. Evet şimdi bu kısım bize payı verir ve payı eksi 9.8 e böleriz. Ve bu arada, hata yaptığımı farkettim size pozitif değerin pozitif zaman vereceğini söyledim ama şimdi farkettim ki bu yanlış. Çünkü burada yukarıda pozitif değeri alırsam payda 2.14 çıkar. Ama sonra onu eksi 9.8 e bölünce negatif bir değer çıkar. Bu yüzden dikkat etmemiz gereken şey zaman değil. Burada dikkat etmemiz gereken, bize payda negatif değeri verecek olan değer. Bu yüzden bunları bunları tekrar girelim. Negatif değer olarak şunu değiştirmeliyim. Birazcık geri gidelim. Ve işaretimizi eksi ile değiştirelim Böylece negatif değer kullanarak pozitif zaman elde edeceğiz. Yani payımız burada negatif. Evet bu bizim esas dikkat etmemiz gereken şey bu. Negatif olan payı şimdi eksi 9.8 bölelim. Ve böylece yaklaşık olarak eksi 14.89 saniye bulmuş olacağız. Yani delta t nin pozitif değeri 14.89 a eşit. Yani benim pozitif değeri kullanmak konusundaki ilk yorumum ilk tavrım yanlıştı. Çünkü bizim payımız negatif. Ancak payımız negatif olursa bütün eşitliğimiz pozitif bir değere ulaşabilir. Böylece biz pozitif değer olan 14.89 a ulaşabildik. Şimdi de yatay yer değiştirmeyi hesaplayalım. Havada geçen süremiz 14.89 saniye. O zaman yatay düzlemdeki yer değiştirme sorulsaydı, havada geçirilen süre çarpı sabit yatay hız olacaktı. Biz zaten yataydaki sabit hızı hesaplamıştık. Şimdi x-eksenindeki yer değiştirmeyi hesaplayalım. Geçen zamanı alırız ki bu bir önceki cevapta zaten var çarpı çarpı yataydaki sabit hız. Bu bize 806 metre verdi. Yani burada yataydaki toplam yerdeğiştirme 806 metre.