Birim Vektörlerin Gösterimi (2. Bölüm)

Tekrar hoş geldiniz. Bir önceki videonun sonunda, her zaman yaptığım gibi kafanızı karıştırmaya çalıştım ve umarım başarılı olmuşumdur. Şimdi hemen bir iki saniye içinde yeni vektörleri çizelim. İlk vektöre a vektörü diyelim. Şimdi farklı bir renkle yazayım çünkü bu diş macunu Rengi sıkıcı olmaya, monotonlaşmaya başladı. İlk vektöre a vektörü diyelim ve ilginç bir şey yapalım: a vektörünü, eksi 3 çarpı i birim vektör i artı 2 çarpı j birim vektör j olarak yazalım. Elimizde b vektörü de var. Ve bu vektör yani b vektörü, 2 çarpı birim vektör i artı 4 çarpı birim vektör j' ye eşit. Son videoda, birim vektör gösteriminin neden güvenilir bir yol olduğunu ve bu durumun neden kullanışlı olduğunu göreceğimizi söylemiştim. Şimdi bunu göreceğiz. Şimdi vektörleri toplamak için süper bir yöntem kullanalım: İlk olarak bir vektörün başlangıç noktasını diğer vektörün bitiş noktasına ekleriz ve sonra da çizeriz ve böylece yeni bir vektör elde etmiş oluruz. Bu durumu açıklamanın çizerek göstermekten başka bir yolu yok. Fakat şimdi vektörleri, birim vektörlerin katları olarak yazarsam, çizmeme gerek kalmaz. Ve bu şekilde yazarsam vektörleri toplamak gerçekten çok kolay olur. Peki bunu nasıl yaparız? Sadece x bileşenlerini ve y bileşenlerini kendi aralarında toplayacağız. Üstteki küçük komik oklar, a ile b'nin vektör olduğunu gösterir. Yani a artı b eşittir eksi 3 artı 2 i evet renkleri böyle rastgele değiştiriyorum çünkü monotonlaşmaya başlıyorlar bir sure sonra. artı 2 artı 4j. Şu an sadece x bileşenlerini ve y bileşenlerini topladık tek yaptığımız iş o. Yani i'nin katları ve j'nin katları da diyebiliriz çünkü hatırlıyorsanız i, x doğrultusundaki birim vektörümüz ve j de y doğrultusundaki birim vektörümüzdü. Şimdi ne etti eksi 3 artı 2, eksi1 eder yani elimizde eksi 1i var.. biz bunu eksi i şeklinde yazabiliriz Ama birim vektörlere dikkat çekmek istediğimden dolayı 1 yazacağım. Yani a artı b, eksi1i artı 6j' ye eşitmiş kısacası. Şimdi benim sözlerime kanmayacağını söyleyenler için bu işlemi, vektörleri görsel bir şekilde toplayarak göstereceğim, böylece inanacaksınız. Şimdi vektörleri çizelim. Bu, size birim vektörler hakkında daha iyi bir fikir verecektir.Eksenleri çizelim. Bu benim sevgili y eksenim ve şimdi de x eksenini çizelim.Tabi eksenlerin sonsuza gittiğini göstermek için bu okları da çizmek zorundayım. Şimdi noktaları yerleştirelim: Evet noktalarımızı yerleştirelim, güzel. Y ekseni için de noktaları işaretleyelim .Ve şimdi vektörleri toplayabiliriz güzel. Önce vektörleri çizelim: Eksi 3i artı 2j. eksi 3i x ekseninde sola doğru ve uzunluğu 3 birim.Şimdi i pozitif bir vektör olduğundan dolayı, önüne eksi işaretini koyduğumuzda, vektörü negatif tarafa çevirmiş oluruz değil mi ? Farklı bir renk kullanalım. 2j vektörü ise pozitif y ekseni doğrultusunda ve uzunluğu 2 birim peki. Bu vektörleri görsel olarak toplamak istiyorsak, birinin başlangıç noktasını diğerinin bitiş noktasına ekleriz. Çok kolay. Bunu yapmak için ya 2j vektörünü, y eksenine paralel bir şekilde sola kaydırıp eksi3i vektörünün bitiş noktasına ekleyeceğim ya da eksi3i vektörünü x eksenine paralel bir şekilde yukarı kaydırıp 2j vektörünün bitiş noktasına ekleyeceğim.Şimdi biz 2j vektörünü y eksenine paralel bir şekilde kaydıralım. Eğer bu şekilde yaparsak, 2j vektörünün başlangıç noktasını, eksi 3i vektörünün bitiş noktasına eklemeliyiz. hatırlayın, uç uca ekleme metodunu kullanıyorduk. Peki ne çıktı? Şimdi bu grafik biraz karışık olabileceği için a vektörünü aynı rankle çiziyorum. A vektörü şu şekildedir: eksi 3i vektörünün başlangıç noktasından, 2j vektörünün bitiş noktasına doğru bir doğru çiziyorum ve bu bizim a vektörümüz. Şimdi geriye dönelim. X ve y bileşenlerini size vermiştim ve bu bileşenleri uç uca ekleme metodu ile toplamıştık. birim vektör gösterimi bu grafiği çizmekten daha kolaydır. B vektörünü nasıl çizeriz? Evet farklı bir renk kullanayım, sıkıcı oluyor biliyorsunuz. 2i vektörü, pozitif x ekseni doğrultusunda, uzunluğu 2 birim olan vektördür., yani 2 çarpı birim vektör I. 4j ise pozitif y ekseni doğrultusunda, ve uzunluğu 4 birim olan vektördür. 4j vektörünü sağa kaydıralım ve 2i vektörünün bitiş noktasına ekleyelim. Kırmızıyla yapacağım bunu. 2i vektörünün başlangıç noktası ile 4j vektörünün bitiş noktasını birleştirecek bir doğru çizelim. Yaptığım şey sadece bileşenleri uç uca eklemekti ve böylece b vektörünü elde ettim. a ve b vektörlerini görsel olarak toplasaydım, az önce yaptığım gibi bileşenlerini toplayacaktım. Yani bir vektörün başlangıç noktasını diğer vektörün bitiş noktasına ekleyecektim. Sonuç olarak her iki yöntemi de kullanabiliriz. A vektörünü, elde ettiğimiz b vektörüne paralel olarak kaydıralım. Hatırlayın, bize sadece yönlerin büyüklükleri verildi yani başlangıç noktasını bilmemiz gerekmiyor. Yani vektörleri kaydırabiliriz ama onların doğrultularını yada büyüklüklerini değiştiremeyiz. Burası önemli. Şimdi a vektörünü, b vektörünün bitiş noktasına ekleyelim. A vektörü, b vektörünün bitiş noktasında başlıyor. Vektörü hareket ettirmekle değiştirmiş olmazsınız vektörü değiştirmiş olmazsanız ama doğrultusunu ya da büyüklüğünü değiştirirseniz vektör değişir. Eğer a ve b vektörlerini toplamak istersem, Yeşille yapacağım bunu, b vektörünün başlangıç noktasından a vektörünün bitiş noktasına bir doğru çizerim. Şimdi.. elde ettiğimiz vektörün, başlangıçta bulduğumuz vektör ile aynı olup olmadığına bakalım. Eksi 1i ve 6j vektörlerini çizip ve uç uca eklediğimiz takdirde iki vektörün de aynı olduğunu görürüz. Çizdiğim iki vektör tam olarak çakışmadı çünkü düzgün bir şekilde çizmedim. Bu grafiğin çok karışık olduğunu biliyorum ama vektörleri çizebileceğinizi, onları kaydırabileceğinizi ve uç uca ekleyebileceğinizi ve böylece sonuç vektörünü elde edebileceğinizi göstermek istedim. Vektörleri toplamanın bir yolu bu ve bu işlemi analitik olarak göstermenin hala bir yolu yok. Ya da herhangi bir vektörü x ve y bileşenleri şeklinde yazabilirsiniz ve vektörlerin toplamı, x ve y bileşenlerinin toplamına eşit olur. Bu yol daha net, daha kolay ve hata yapma ihtimali daha düşük olan bir yoldur. Umarım bu anlattıklarım sizin için tatmin edici olmuştur ve kafanızı iyice karıştırmamışımdır. Ve ayrıca birim vektör gösteriminin kullanışlı olduğuna ikna olmuşsunuzdur. Görüşmek üzere.Hoşçakalın.