Ana içerik

Konu: Fizik Kütüphanesi > Ünite 5

Ders 2: Yaylar ve Hooke Kanunu

Hooke Kanunu nedir?

Elastikiyetin ne olduğunu ve bir yayın uyguladığı kuvvetin nasıl belirlendiğini öğrenin.

Yay nedir?

Üzerine kuvvet uygulandığında şekli değişen ve kuvvet kaldırıldığında eski hâline dönebilen nesnelere yay denir.

Yaylar çok çeşitli şekillerde bulunabilirler ancak en çok bilineni metal bir sarmaldan oluşan basit yaylardır. Tükenmez kalemlerden yarış arabalarına kadar neredeyse tüm mekanik cihazların olmazsa olmaz parçalarından birisi yaydır.

Sarmal yayın şeklinin yayın yay gibi davranmasını sağlayan büyülü bir özelliği yoktur. 'Yaylanabilirlik', ya da daha doğru bir ifade kullanmak gerekirse esneklik, yayın yapıldığı telin cinsine bağlı temel bir niteliktir. Aslında uzun düz metal bir tel de gerdirme veya bükme sonucunda 'geriye yaylanma' hareketi yapabilir. Uzun bir teli sararak yay hâline getirmek, yalnızca uzun metal bir telin özelliklerinden küçük bir alanda faydalanmayı sağlar. Bu yöntem mekanik cihazlar üretirken çok daha pratiktir.

Metal bir telin gerdirmeye (yayın eksenine paralel) ya da bükmeye verdiği tepki farklı fiziksel özellikleri tarafından belirlenir. Özel tasarlanmış bir yay ile bu şekil değişikliklerinden biri kullanılarak diğerinden faydalanılabilir. Buna ek olarak, metallerin esneklik özellikleri büyük oranda metalin mikro-tanecik yapısına bağlıdır. Tavlama olarak bilinen germe ve kontrollü ısıtma/soğutma süreçleri sonucunda bu özellik değiştirilebilir. Metal düz bir tel parçası sarmal haline getirilmişse, ilk baştaki esneklik özelliklerini yeniden kazanabilmesi için tavlanma sürecinden tekrar geçirilmesi gerekebilir.

Bir materyalin şekli bozulduğunda ne olur?

Bir materyale bir kuvvet uygulandığında, materyal bu kuvvete tepki olarak gerilir veya sıkışır. Hepimiz, örneğin lastik gibi son derece kolayca esneyen materyalleri biliriz.

Mekanikte önemli olan birim yüzeye uygulanan kuvvettir ve bu kuvvete gerilim (sembolü

σ

) denir . Materyale uygulanan germe sonucunda oluşan esneme ya da sıkışmaya ise gerinim (sembolü

ϵ

) denir. Gerinim, germe doğrultusunda oluşan uzunluk değişiminin (

Δ L

) materyalin ilk uzunluğuna (

L_{0}

) oranlanmasıyla hesaplanır, yani

ϵ = Δ L / L_{0}

Her materyal uygulanan gerilime farklı tepki verir ve bu tepkinin detayları mühendisler için önemlidir. Çünkü mühendisler, makinelerin ve yapıların beklenen gerilimler altında öngörülebilen bir şekilde çalışması için buna uygun materyal seçmek zorundadırlar.

Materyallerin büyük çoğunluğu için düşük miktarda gerilim uygulandığında gözlemlenen gerinim, materyalin içerdiği kimyasal bağların ne kadar sıkı olduğuna bağlıdır. Bir materyalin sertliği onun kimyasal yapısıyla ve içerdiği kimyasal bağlarla doğrudan ilişkilidir. Gerilim kaldırıldıktan sonra olanlar atomların ne kadar uzağa hareket ettirildiğine bağlıdır. Şekil değişiklikleri kabaca iki farklı sınıfa ayrılır:

Elastik şekil değişikliği. Gerilim kaldırıldıktan sonra materyal yük uygulanmadan önceki boyutlarına döner. Oluşan şekil değişikliği kalıcı değildir, tersine çevrilebilir.
Plastik şekil değişikliği. Bu değişim yüksek miktarda gerilim uygulandığında gerçekleşir. Uygulunan gerilim o kadar büyüktür ki kaldırıldığı zaman materyal eski boyutlarına dönemez. Geri dönüşü olmayan ve kalıcı bir şekil değişikliği oluşur. Plastik şekil değişikliğine sebep olan minimum gerilim değerine o materyalin elastik limiti denir.

Bir yay, makinede normal çalışma koşullarında kullanılırken yalnızca elastik şekil değişikliği geçirecek şekilde tasarlanmalı ve buna göre belirlenmelidir.

Hooke Kanunu

On yedinci yüzyıl fizikçilerinden Robert Hooke yaylar ve esneklik üzerine çalışırken, birçok materyal için uygulanan gerilim sonucunda elde edilen gerinim eğrisinin doğrusal bir bölge içerdiğini keşfetti. Belirli sınırlar içerisinde, yay gibi esnek bir cismi gerdirmek için gereken kuvvet yayın uzunluğundaki değişimle doğru orantılıdır. Bu, Hooke kanunu (veya yasası) olarak bilinir ve genel olarak şöyle gösterilir:

F = - k x

Burada

F

kuvveti,

x

yayın uzunluğundaki esneme/sıkışma miktarını,

k

da genel olarak yay sabiti olarak bilinen ve birimi

N / m

cinsinden verilen bir sabiti ifade ediyor.

Burada henüz yaya uygulanan kuvvetin yönünü göstermemiş olsak da genel uygulama, negatif işaret kullanma yönündedir. Bu negatif işaret, yaylanma sonucu oluşan toplanma kuvvetinin yaydaki yer değişikliğine sebep olan kuvvetle ters yönlü olduğunu belirtmek içindir. Yayı aşağı doğru çekmek, yayın aşağı yönde esnemesine ve bunun sonucunda yayda yukarı yönlü bir kuvvet oluşmasına sebep olur.

Esneklikle ilgili mekanik problemlerini çözerken toplanma kuvvetinin yönünün doğru belirtildiğinden emin olmak her zaman önemlidir. Basit problemleri çözerken yaydaki uzama olan

x

'i tek boyutlu bir vektörmüş gibi yorumlayabiliriz, böylece oluşan kuvvet de tek boyutlu bir kuvvet olacaktır. Bu durumda Hooke yasasındaki negatif işaret bize oluşan kuvvetin yönünü doğru olarak verecektir.

x

'i hesaplarken, yayın kendisinin de bir

L_{0}

başlangıç uzunluğu olacağını hatırlamak önemlidir. Uzamakta olan bir yayın toplam uzunluğu

L

, başlangıç uzunluğu artı uzamadır,

L = L_{0} + x

. Sıkışmakta olan bir yay için, bu

L = L_{0} - x

olacaktır.

Alıştırma 1: Ağırlığı 75 kg olan bir insan, yay sabiti

5000 N / m

ve başlangıç uzunluğu

0, 25 m

olan bir sıkıştırma yayının üzerine çıkıyor. Eklenen yük sonrası yayın toplam uzunluğu nedir?

Alıştırma 2a: 1 kg'lık bir fotoğraf makinesini 50 mm mesafede sorunsuz şekilde hareket ettirecek bir makine hareket mekanizması tasarlıyorsunuz. Tasarımınız, yay tarafından desteklenen makinenin Şekil 1'de gösterildiği gibi ayarlama vidasının ucunda bir çift ray üzerinde kaymasını gerektiriyor. Yayın başlangıç uzunluğu

L_{0} = 50 mm

'dir. Tasarımınız için gerekli olan minimum yay sabiti nedir?

Neden makineyi doğrudan vidaya bağlamadık? Bu da işe yarardı ancak mekanizmamızın hareketleri vidayı yayla ayarladığımız zamanki gibi yumuşak ve tekrarlanabilir olmazdı. Vidanın bir somuna ya da dişliye takıldığı bütün mekanizmalarda burada da olduğu gibi boşluk problemi vardır. Bu durum vidada sonlu sayıda yiv (vidanın dişleri) bulunmasından kaynaklanmaktadır. Mühendislerin boşluk sorununa genel olarak buldukları çözüm ise bizim de bu örnekte yaptığımız gibi vidayla birlikte yay kullanmaktır.

Kullandığımız yay, makineyi vida ucuna doğru çekecek kuvveti her zaman sağlayabilecek kadar esnek olmalıdır. Yay en az miktarda kuvveti, yaydaki gerilme uzunluğu minimum olduğunda uygular, yani yayın başlangıcı ile bitişi arasındaki mesafe 100 mm olduğu zaman.

Kullandığımız yayın başlangıç uzunluğu bize 50 mm olarak verildiği için yaydaki minimum uzama miktarı

x = 100 mm - 50 mm = 50 mm

olacaktır. Yayın uyguladığı kuvvet makinenin yer çekimi sebebiyle yaya uyguladığı

m g = (1 kg) \cdot (9, 81 m / s^{2}) = 9, 81 N

büyüklüğündeki kuvvete karşı koyabilmelidir.

Hooke yasasını kullanarak gerekli yay sabitini bulabiliriz:

\begin{aligned} k & = \frac{F}{x} \\ = \frac{9, 81 N}{50 \cdot 10^{- 3} m} \\ ≃ 196 N / m \end{aligned}

Alıştırma 2b: Yayın gerektirdiği minimum elastik limit nedir?

Yay, tasarım tarafından kendisine uygulunan maksimum kuvvetten dolayı kırılmayacak ya da elastik limitini geçmeyecek kadar sağlam olmalıdır. Yay kuvveti, yaydaki gerilme miktarı maksimum uzunluğa ulaştığı zaman maksimum değeri görür.

Maksimum gerilme miktarının

x = 150 mm - 50 mm = 100 mm

olduğunu biliyoruz ve yay sabiti

196 N / m

olan bir yay seçtiğimizi varsayalım.

Yaydaki maksimum gerilme kuvvetini Hooke yasasından faydalanarak bulabiliriz. Bu kuvvet aynı zamanda yayımızın ihtiyacı olan minimum elastik limite denktir.

\begin{aligned} F & = k x \\ = (196 N / m) \cdot (100 \cdot 10^{- 3} m) \\ = 19, 6 N \end{aligned}

Young modülü ve yayları birleştirme

Young modülü (elastisite modülü olarak da bilinir) herhangi bir materyalin elastik şekil değişikliğine gösterdiği direnci ölçen bir katsayıdır. İsmini 17. yy. fizikçisi Thomas Young'dan alır. Bir madde ne kadar sertse Young modülü o kadar büyüktür.

Young modülü genellikle

E

sembolü ile gösterilir ve şu şekilde tanımlanır:

E = \frac{σ}{ϵ} = \frac{Gerilim}{Gerinim}

Young modülü bütün gerinimler için tanımlanabilir, ancak Hooke yasasına uyulan durumlarda bu katsayı sabittir. Yay sabiti

k

'yı materyalin Young modülünü kullanarak doğrudan elde edebiliriz, kuvvetin uygulandığı alana

A

(gerilim alana bağlı olduğu için) ve yayın başlangıç uzunluğuna

L

diyelim.

Bu yaklaşım lastik gibi basit esnek maddeler için oldukça tutarlıdır. Metal sarmaldan oluşan yaylar ise hem gerdirerek hem de bükerek şekil değişikliği oluşturmanın özelliklerinden faydalandığı için göreli olarak daha karmaşık bir yapıdadır. Bu durumda yay sabitinin değerini daha doğru olarak bulabilmek için yapıldığı metalin özellikleri baz alınarak daha detaylı bir analiz yapılması gerekmektedir. Yine de yay sabiti ve yay geometrisi arasındaki ilişki genel hatlarıyla aynıdır.

k = E \frac{A}{L}

Burada bulduğumuz ilişki, farklı yay kombinasyonlarının özelliklerini anlamamız açısından oldukça yararlıdır. Yay sabitleri

k

olan benzer iki ideal yayın birbirlerini destekleyecek şekilde uç uca (seri) ya da yan yana (paralel) bağlandığını düşünün (Şekil 2'de gösterildiği gibi). Oluşan kombinasyonların her birinde etkin olan yay sabiti nedir?

Yayların seri bağlanmasıyla oluşan şekillerde, bileşke yayın uzunluğu iki katına çıkarılmış tek bir yay ile eşdeğer olduğunu görebiliriz. Bu durumda yay sabiti tek bir yayın yay sabitinin yarısı kadar olmalı, yani

k_{etkin} = k / 2

Yayların paralel bağlanmasıyla oluşan şekilde uzunluk aynı kalır, ancak kuvvet materyalin alanının iki katına yayılmıştır. Bu, kombinasyonun etkin yay sabitini iki katına çıkarır,

k_{etkin} = 2 k

Kütlesi olan yaylar

Şekil 3'teki düzeneğe bakalım. Yatay durumdaki yay, makara yardımıyla (sürtünmesiz olduğunu varsayabiliriz) 1 kg kütleli cismi taşırken ona özdeş olan bir yay da aynı kütleyi düşey olarak taşıyor. Yayın kendi kütlesini 50 g ve yay sabitini de k=200 N/m alalım. Her bir durum için yayda oluşan uzama miktarı nedir?

Her iki durumda da kütleden dolayı yaya uygulanan kuvvet aynı değere sahip, yani

m g

'dir. Bu sebeple başlangıçta her iki durum için yaydaki uzama miktarının aynı olduğunu düşünebiliriz. Ancak gerçek yaylar için bu doğru değildir.

Buradaki karışıklık yayın kendisinin de bir kütleye sahip olmasından kaynaklanmaktadır. Düşey olan durumda, yer çekimi kuvvetiyle bağlanan kütlenin uyguladığı kuvvet yöndeştir. Bu sebeple yayın kütlesini de toplam ağırlığa ekleyebiliriz. Uzayan yay toplamda 1,05 kg ağırlığını taşımaktadır ve yaydaki uzama miktarı şöyle olur:

Yayın kütlesi

m_{s}

yay uzunluğu boyunca dağılmış olsa da, bu durum sabiti

k

olan ağırlıksız bir yayın

m_{s}

kütleli bir ağırlığı taşımasına eşittir.

Ağırlıksız bir yayı ortadan ikiye böldüğünüzü ve tam orta noktasına

m_{s}

kütlesini koyduğunuzu hayal edin. Artık elimizde seri bağlanmış 2 yay olduğunda göre her bir yayın yay sabiti

k / 2

'dir. Yukarıdaki yayın uzama miktarı

m g / (k / 2)

, ya da ilk yayın uzamasının iki katıdır. Ancak bu durumda alttaki yaya binen herhangi bir yük olmadığı için alttaki yayda uzama olmaz. Toplam sonuç,

m_{s}

kütleli yük taşıyan tek bir yayın uzamasıyla aynıdır.

\frac{1, 05 kg \cdot 9, 81 m / s^{2}}{200 N / m} = 51, 5 mm

Yatay olan durumda ise makara, uygulanan kuvvetin yönünü değiştirmektedir. Yaya bağlanan 1 kg'lık ağırlığın uyguladığı kuvvet ile yer çekiminin yaya uyguladığı kuvvet birbirine diktir . Bu sebeple uzayan yay sadece 1 kg'lık ağırlığı taşımaktadır. Sonuçta oluşan uzama miktarı:

\frac{1 kg \cdot 9, 81 m / s^{2}}{200 N / m} = 49 mm

Aradaki fark oldukça önemlidir ve eğer dikkate alınmazsa laboratuvarda yanlış sonuçların hesaplanmasına sebep olabilir. Fizik laboratuvarlarında kuvveti ölçmek için genelde yaylı terazi (dinamometre) kullanılır. Basit şekilde tanımlamak gerekirse yaylı terazi, (Şekil 4) ibre ve ölçek yardımıyla kuvvetin okunabildiği bir yaydır.

Yaylı terazi üreticileri yayların dikey olarak kullanılmasını bekledikleri için (örneğin tuttuğu balığın ağırlığını ölçen bir balıkçı), yaylı terazideki ölçek yayın ve kancanın kütlesini de hesaba katacak şekilde ayarlanmıştır. Eğer yatay bir ölçüm yaparsak terazi bize yanlış bir mutlak sonuç verecektir. Hooke yasası bize kuvvet ve uzama miktarı arasında doğrusal bir ilişki olduğunu söyler. Bu sebeple yatay olarak kullanırken göreli ölçümler için yaylı terazinin ölçeğine güvenebiliriz. Bazı yaylı terazilerin sıfır noktası, sahip oldukları ayarlama vidasıyla değiştirilebilir ve bu sorunu çözebilir.

Mutlak ve göreli diyerek ne kastediyoruz? Mutlak ölçüm, değeri sıfır olan bir referans noktası baz alınarak tanımlanmış ölçümdür. Üzerine ölçek basılmış cetvel yardımıyla uzunluk ölçülmesi mutlak ölçüme bir örnektir. Ölçeğinde sayılar bulunmayan (yalnızca işaret çentikleri olan) bir cetvelle ancak göreli ölçümler yapılabilir.

Göreli bir ölçümü mutlak ölçüme çevirmek istiyorsak kendi referans noktamızı seçmemiz gereklidir. Yaylı teraziyi yatay olarak kullandığımız durumda, muhtemelen yaya herhangi bir yük bindirilmediğinde ölçülen noktayı referans noktamız olarak tercih ederdik. Daha sonra ölçüm yaparken ölçekteki değerden bu sayıyı çıkarırdık.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

yunusekici49
3 yıl önce önce paylaşıldı. yunusekici49 kullanıcısının "kanun u anlamak gerekir" gönderisini görmek için direkt link
kanun u anlamak gerekir
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(1 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.