İğne Deliği Kameralarının Matematiği

Son videoda, kameraların geometrik davranışlarını incelemiştik. Işığın, cisimler üzerinden nasıl yansıdığını, ufacık bir açıklık ya da aralıktan nasıl geçtiğini ve görüntü düzlemine nasıl çarptığını görmüştük. Üzerinde durduğumuz önemli kavramlardan biri de, alan derinliği yani görüntünün odaklandığı bölgeydi. Cisimler bu bölge dışında bulanık görünür. Görüntünün bir noktası odak dışında olduğunda, “bulanıklık dairesi” denilen bulanık bir daireye dönüşür. Bu videoda, cisimlerin ne zaman odaklandığını ve odaklanmayan bir cismin bulanıklık dairesinin ne kadar büyük olduğunu gösteren cebirsel denklemler geliştireceğiz. Bu denklemler, sanal kameraların, aynen bu çekimdeki gibi, harika görüntüler almasına izin verir. Öncelikle iğne deliği kameramıza geri dönelim. Geometri ve cebir arasındaki boşluğu gidermek için bir koordinat düzlemi kullanacağız. İğne deliği kamerasını tam orijinde konumlandırıyoruz. Sahnenin de sağ tarafta buralarda bir yerde olduğunu düşünelim. Kameranın içindeki görüntü düzlemi de, iğne deliğinin solunda, biraz uzakta olsun. Bu uzaklığa “i” diyelim. Sahnedeki cismin de, x sıfır, y sıfır noktasında olduğunu varsayalım. Ortamdaki ışık bu noktaya düştüğünde, ışığın bir kısmı, kameraya doğru yansıyıp, iğne deliğinden geçerek, görüntü düzlemine çarpacak. Işığın görüntü düzlemine çarptığı noktaya da x 1, y 1 diyelim. İlk olarak, x1, y1’in ne olduğunu soracağız. Bu noktanın koordinatlarını, doğrunun eğim-kesim noktası formunu kullanarak bulabiliriz. Bu ışının eğimi y0 bölü x0, y ekseni kesim noktası ise, ışın orijinden geçtiği için sıfır virgül sıfır noktasında. Böylelikle, ışının denklemini ya da formülünü, y eşittir y0 bölü x0 çarpı x artı 0 ya da daha basitçe, y eşittir y0 bölü x0 çarpı x olarak yazabiliriz. Koordinatlarını bulmak istediğimiz x1, y1 noktası da bu doğru üzerinde olduğu için, doğru denklemini sağlamak zorunda. Kısacası y1’in, y0 bölü x0 çarpı x1’e eşit olması gerektiğini söylemeye çalışıyorum. Çizdiğimiz şemaya göre, x1, orijinden “i” uzaklığında ve negatif olduğu için, x1, eksi i’ye eşit! y1’i bulmak için, x1 yerine eksi i yazmamız yeterli! Bu durumda y1 eşittir eksi y0 bölü x0 çarpı i olacak. y0 noktasının başlangıçta pozitif olduğunu ama düzlemde ona karşılık gelen noktanın negatif olduğunu fark etmişsinizdir. Zaten görüntünün ters oluşmasının sebebi de budur! Kameraya lens eklemeden önce, size, bu konuyu biraz çalışmanız ve deneyimlemeniz için biraz zaman vermek istiyorum.