Özel Bir Dörtkenar Olabilir mi?

Bir arkadaşımızdan ilginç bir soru geldi. Burada öylesine bir dörtgen çizdim. ABCD dörtgeni. Bunun köşegenlerini de çizeyim. Bir tanesi BD köşegeni olacak. Diğeri de AC köşegeni, değil mi? Bu köşegenlerin kesiştiği noktaya da E diyelim ve sorumuz gelsin: AEB açısının buradaki ECB açısına eşit olduğu bir dörtgen var mıdır? Buraya yazayım. Size de düşünmeniz için biraz süre verelim. Bu iki açısının birbirine eşit olduğu bir dörtgen var mıdır? Bunun olup olamayacağı üzerine düşünürken, olduğunu varsayarak ilerleyelim. Diyelim ki, gerçekten buradaki AEB açısının buradaki ECB açısına eşit olduğu bir dörtgenimiz var. Şimdi tüm bu şekli farklı bir şekilde görselleştirmeye çalışalım. Burada DB bir doğru parçasıdır. Yani bir doğrunun parçasıdır. O zaman bu noktalardan doğruyu uzatalım ve bu doğruya l doğrusu diyelim. Buraya da çizeyim. Bu l doğrusudur ve DB'de bu doğrunun altkümesidir. Aynı şekilde BC de bir doğrunun altkümesidir. Bunu da uzatarak adına m doğrusu diyelim. Onu da buraya çizelim. CB de bunun altkümesi. AC doğru parçasına geçelim. Bunu da uzatıp doğruya n doğrusu diyelim. Onu da buraya çizeyim. Burada n doğrusunun hem l doğrusunu, hem de m doğrusunu kestiğini görebiliyoruz. Değil mi? O yüzden bunun gibi görünecek. İşte bu n doğrusu. Yukarıda varsaydık ki AEB açısı, ECB açısına eşittir. Buradaki E noktası, yalnızca n ve l doğrularının kesiştiği yer. O zaman buradaki de E noktası olur. C noktası ise n ve m doğrularının kesiştiği yerdir. Yani bu da C noktası oluyor. Dolayısıyla bu yaptığımız varsayıma göre buradaki açı, yani AEB açısı buradaki ECB açısına eşit. Buradaki açılarla buradaki açılar aynı. Şimdi, bu bize, yani bu durum bize n,m ve l doğruları hakkında ne gösteriyor? Bu doğruları yerleştirme biçimimize göre, burada l ve m doğrularımız var, ama n doğrusu bunları enine kesiyor. Elimizde yöndeş iki açı var. Bu dörtgen içindeki bu iki açının birbirine eşit olduğunu varsaydık. Ama elinizde birbirine eşit iki yöndeş açı varsa bu doğrular birbirlerine paralel olmak "zorundadır". Yani bu varsayım, bize l doğrusunun m doğrusuna paralel olduğunu söyler. Buraya yazayım. Bu da, iki doğrunun asla kesişmeyecekleri kesişemeyecekleri anlamına gelir. Dolayısıyla ortaya bir çelişki çıktı. Bu çelişkinin ne olabileceği üzerine düşünmeniz için size biraz süre veriyorum. İşte, ortaya çıkan çelişki şudur: Eğer l doğrusu, m doğrusuna paralel ise bunların altkümeleri de birbirlerine paralel olmak zorundadır. Dolayısıyla l paralel m ifadesi, DB doğru parçasının da, CB doğru parçasına paralel olduğu anlamına gelir. Bu da, bunlar birbirlerini asla kesemezler demektir. İşte çelişki burada. Birbirlerini tam burada kesiyorlar. Bu yüzden, eğer böyle bir durum içeren bir dörtgen varsayımında bulunursak, böyle bir çelişki ile karşılaşırız. Bu mümkün değildir. Tanım olarak bu bir dörtgendir, bu köşegen ve bu kenarın kesiştiği nokta B'dir, bu yüzden bu doğru parçaları kesişmek zorundadırlar. Eğer ortada bir dörtgen olacaksa, bu doğru parçaları birbirlerine paralel olamazlar. Dolayısıyla, hiçbir dörtgende bu açının, yani AEB'nin, bu açıya, yani ECB'ye eşit olması mümkün değildir.