Paralelkenarın Alan Hesabının İspatı

Bu ABCD dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu biliyoruz. Bu videoda bir paralelkenarın alanını bulmak için nasıl bir yol izleriz bunu göreceğiz. Bir önceki videoda eşkenar dörtgenin alanını bulmak için kullandığımız temel yöntemden bahsetmiştik. Eşkenar dörtgenin alanını bulmak için köşegenlerin çarpımının yarısını alabilirsiniz. Eşkenar dörtgen bir paralelkenardır ama bu genel olarak tüm paralelkenarların köşegenlerinin çarpımının yarısını almalısınız demek değildir. Bunun için eşkenar dörtgen olması gerekir. Neyse sonuç olarak şimdi paralelkenarlardan bahsedeceğiz. Paralelkenarlar hakkında ne biliyoruz? Öncelikle biliyoruz ki ters kenarlar karşılıklı kenarlar birbirlerine paraleldir. Bu kenar bu kenara ve bu kenar da bu kenara paraleldir. Ayrıca karşılıklı kenarların birbirine eşit olduğunu da biliyoruz. Yani bu uzunluk buna eşittir. Ve bu uzunluk da buna eşittir. Şimdi eğer bir köşegen çizersek. A'dan C'ye bir köşegen çizelim şimdi. Paralelkenarımızı iki üçgene bölebiliriz, değil mi? Bu iki üçgenin birbirine eş olduğunu da birkaç defa ispatlamıştık. Bunu oldukça düz bir şekilde yapabiliriz. Görüyoruz ki A,D B,C'ye eşittir. D,C'de A,B'ye eşittir. Ve her iki üçgende bu üçüncü kenarı paylaşıyorlar. Bu üçgenler A,C'yi paylaşıyorlar. Yani ADC üçgeni eşittir. Şimdi bunu söylerken öncelikle buradaki mor çift çizgiden başladım sonra pembeyi, en son da sarıyı saydım. Yani CBA üçgeni demeliyim. Çünkü ilkiyle aynı sırada olmalı. Yani bu bir kenar kenar kenar (KKK) benzerliğidir. Her üç kenarın ilgili üç kenarı var ve her biri birbirine eşit. Yani üçgenler birbirine eşit. Peki bu ne demek? Bu iki üçgenin alanları da birbirine eşit demektir. Yani eğer ABCD'nin alanını hesaplamak istersem yani tüm paralelkenarın, bu ADC üçgeniyle CBA üçgeninin alanlarının toplamına eşit olacaktır. Ama zaten CBA'nın alanı ADC'ye eşit, Çünkü aralarında kenar kenar kenar benzerliği var. Demek ki bu ADC üçgeninin alanının iki katı olmalı. Ki bu bizim için çok pratik çünkü nasıl olsa üçgenlerin alanını hesaplamayı biliyoruz değil mi? Üçgenlerin alanı tabanla yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Pekala ADC'nin tabanını alalım. Buradaki uzunluk yani DC. Gördüğünüz gibi tüm paralelkenarın tabanı bu. Yüksekliği bulmak içinse şöyle şuradan bir dik indirelim. Buna yükseklik diyebiliriz. Yani eğer ABCD paralelkenarının alanını istiyorsanız bu 2 çarpı taban çarpı yükseklik bölü iki olmalıdır. 2 çarpı1 bölü 2, 1'e eşit olduğuna göre elimizde sadece taban çarpı yükseklik kaldı. Yani ABCD paralelkenarının alanı taban çarpı yüksekliktir. Ama eğer herhangi bir paralelkenarın alanını bulmak istiyorsanız tabanlardan herhangi birini alırsınız çünkü karşılıklı kenarlar eşittir, yükseklikle çarparsınız. Bu alanı bulmak için kullanılabilen yöntemlerden bir tanesiydi. Diğeri ise paralelkenarı çevirirsek şöyle görünürdü. Bu kenar altta olmalı yani bu köşe A. Burası D. Bu C olmalı. Ve bu da B. Tamam bu şekilde de yapabilirsiniz, neydi? Taban çarpı yükseklik. Yani yükseklik çarpı DC de diyebilirsiniz. Bu da başka bir yol. Ya da bu eşittir AD çarpı bu yüksekliğe h2 diyelim. Bu da h1 olsun. Yani bu taban ve yüksekliği de alabilirsiniz. İkisi de olur. Yani bir paralelkenar gördüğünüzde Belli ki yüksekliği bulabiliyorsunuz. Bunun gibi bir paralelkenar gördüğünüzde Bu uzunluğun 5 olduğu biliniyorsa Buna da 6 dediysek, o zaman paralelkenarın alanı 5 çarpı 6 olmalıdır. Evet, yüksekliği paralelkenarın dışına çizelim. Buraya da çizsem 6 olacaktı tabii. Evet Sonuç olarak paralelkenarımızın alanı 30 olur.