Tek Adımlı Eşitsizlikler: Eşitsizliklerde Çarpma ve Bölme

Bu videoda, pozitif ve negatif sayıları çarpma ve bölmeyle ilgili birkaç eşitsizlikle uğraşacağız. Bu sayılarla çarpma ve bölme yapmak, Son videoda izlediğimiz toplama veya çıkartma yapmaktan biraz daha karışık. Aynı zamanda size birkaç sembol ve eşitsizliği çözmek için birkaç yol göstermek istiyorum.Şimdi bu örneklere bakalım. Diyelim ki ben, 7 nokta 5e eşit veya 10dan küçük bir negatif 0 nokta 5 x'e sahibim. Eğer bu bir eşitlik olsaydı, sizin aklınıza gelecek ilk şey,İki tarafı da x'in katsayısına bölmek olurdu. Ve tabiki bu makul bir şey, İki tarafı da negatif 0 nokta 5e bölmek. Ama esas farketmeniz gereken şey şu; Siz bir eşitsizliğin iki tarafını da negatif bir sayıyla çarptığınız zaman ya da negatif bir sayıya böldüğünüzde böldüğünüzde,eşitsizliği değiştirmiş olursunuz. Basit bir örnek yapalım.Eğer size 1in 2den küçük olduğunu söyleseydim. Buna katılırdınız değil mi? Hemde gülmekten. Neyse 1 kesinlikle 2den küçüktür. Ama, ben 2 tarafı da eksi 1le çarparsam ne olur? Eksi 1e karşı eksi 2? Eksi 2 kesinlikle eksi 1den daha negatif.Yani aslında, eksi 2 eksi 1den küçük. Bu bir kanıt değil ama sanırım neden işareti değiştirdiğimizi şimdi anlamışsınızdır. Eğer 1 şeyler daha büyük olsaydı, siz 2 tarafında negatifini aldığınızda, o daha da negatif olacak, ya da tam tersi olacaktı. İşte bu yüzden, eğer bu denklemin iki tarafını da negatif bir sayıyla çarparsak veya bölersek, İşareti de değiştirmek zorundayız. Şimdi bu denklemin iki tarafını da çarpalım. 0 nokta 5e bölmek 2yle çarpmakla aynı şey. Buradaki bütün amacımız burada sadece katsayımızın 1 olması. Bu denklemin 2 tarafını da eksi 2yle çarpalım.Şimdi burada 1 eksi 2yle eksi 5 var. Şimdi siz bu 2'yi buraya nasıl getirdiğimi düşünüyor olabilirsiniz, ben sadece 0 nokta 5le neyi çarparsam 1 eder diye düşünüyordum. eksi 0 nokta 5, eksi 1 bölü 2yle aynı şey. Bunun tersi eksi 2. Bu yüzden denklemin 2 tarafını da eksi 2yle çarpıyorum. Diğer tarafta 7 nokta 5 var. Bunu da eksi 2yle çarpacağım tabi ki.. Ve hatırlayın, bir eşitsizliğin iki tarafını da negatif bir sayıyla çarptığınızda veya iki tarafını da negatif bir sayıya böldüğünüzde, Eşitsizlik işaretini değiştiriyorsunuz. Küçük veya eşittiriniz mi mesela işaretiniz? O zaman büyük veya eşittir olacak.Ya da büyük veya eşittir ise küçük veya eşittir olacak. Sol tarafta, eksi 2 çarpı eksi 0 nokta 5, 1 eder.X'in 7 nokta 5 çarpı 2den büyük veya 10a eşit olduğunu görüyoruz. Çözüm eksi 15eder, ki bu da bizim çözüm kümemizdir. Eksi 15ten büyük olan bütün x'ler bu eşitsizliği doğrular. Simdi deneyelim. Mesela, 0 bu eşitsizliği doğrulayacaktır. 0 eksi 15ten büyüktür. Ama mesela başka bir şey deneyin, eksi 16 deneyin. Eksi 16 doğrulamayacaktır. Eksi 16 çarpı eksi 0 nokta 5 , 8 eder,Ki bu da 7 nokta 5ten küçük değildir. Yani bütün x'lerin çözüm kümesi,Eksi 15ten büyüktür. Eksi 15 burada, belki bu eksi 16, Bu da eksi 14. Eksi 15e büyüktür veya eşittir bizim çözümümüz. Eşitsizliklerin çözümleri mesafe bırakılarak yazılabilir. Mesafe yöntemi olarak bahsettiğimiz şey, sınırlarımızı içermesine bağlı olarak parantez veya köşeli parantez kullanmaktır Sayı doğrusunda aralarındaki mesafe görülebilir. Çözümümüzün eksi 15i içermesini istiyoruz, bu yüzden mesafe için alt sınırımız eksi 15 olacak. Bu köşeli parantezi buraya koymak bizim eksi 15i de içine aldığımızı yani dahil ettiğimizi gösteriyor. Kümemiz alt sınırı içeriyor.Eksi 15i içeriyor. Ve buradan sonsuza dek.Buraya bir parantez koyuyoruz.Normalde parantezler sizin üstteki sınırı dahil etmediğiniz anlamına gelirler. Siz onu sonsuzluk için de kullanabilirsiniz. Yani bu ve bu aslında tamamen aynı şey. Bazen küme gösterimleri de görüyorsunuz. Bunun çözümü şu anlama gelir: x 1 gerçek sayıdır ve öyle 1 sayıdır ki... bu küçük ve dik çizgi aslında öyle bir sayıdır ki kısmını ifade ediyor X öyle bir sayıdır ki, x eksi 15 ten büyük veya 10a eşittir. Bu dalgalı köşeli parantezler bütün gerçek sayılar kümesi ya da bütün sayılar kümesi anlamına geliyor, ki burada x 1 gerçek sayıdır. X eksi 15ten büyük veya 10a eşittir.Bunların hepsi eşittir. Bunu aklımızda tutalım ve birkaç alıştırma daha yapalım. Diyelim ki, 75 x, 125ten büyük veya 10a eşittir. Burada 2 tarafı da yetmiş 5e bölebiliriz. 75 pozitif olduğu için işareti değiştirmek zorunda değilsiniz. Şimdi x'in 15 bölü 75ten büyük veya 10a eşit olduğunu görüyorsunuz. Eğer hem payı hem de paydayı 25e bölerseniz, Bu 5 bölü 3 eder. Yani x 5 bölü 3ten büyük veya 10a eşittir. Ya da biz çözüm kümesini 5 bölü 3ü içererek sonsuza kadar şeklinde yazabiliriz Ve 1 kez daha, şimdi siz 10u eğer grafiğe çizecek olsaydınız, 5 bölü 3 kaç olurdu? Bu 1 tam 2 bölü 3 eder değil mi.? Yani 0, 1, 2, ve 1 tam 2 bölü 3 tam buralarda 1 yerde olur.Ve çözüm 10u da içermeli. 5 bölü 3 burada.Ve bizim çözüm kümemiz 10a eşit veya 10dan büyük olan her şeyi içermeli. Hadi bir tane daha yapalım.X bölü eksi 3, eksi 10 bölü 9dan büyüktür. Sol tarafta sadece yine x'in kalmasını istiyoruz. Bu yüzden 2 tarafı da eksi 3le çarpalım.Katsayı sizin de tahmin edebileceğiniz gibi eksi 1 bölü 3. Bu yüzden bunun tersiyle çarpmak istiyoruz, ki bu da eksi 3tür. Eğer 2 tarafı da eksi 3le çarparsanız, Eksi 3 çarpı eksi 1 bölü 3. Bu taraftaysa eksi 3 çarpı eksi 10 bölü 9. Eşitsizliğinde yönü değişecek bu arada çünkü eksi bir sayıyla çarpıyoruz ya da bölüyoruz. Bu yüzden eşitsizliğin yönü değişiyor. Büyüktür küçüktüre dönüşüyor. Bu eşitsizliğin sol tarafı sadece x olur. x kalır zaten amacımız buydu. Bu bunu götürür, eksiler sadeleşti. Şimdi x, küçüktür...Ve sonrasında siz 1 eksi çarpı eksi 1 ile kalırsınız.Bu onu pozitif yapar. Eğer payı ve paydayı 3e bölerseniz, 1 tane 1 ve 1 tane 3 elde edersiniz, yani x 10 bölü 3ten küçüktür. Bunu şimdi mesafeli gösterimle yazacak olursak, Üst sınır 10 bölü 3 olacak. Ama 10 bolü 3ü dahil etmiyoruz. Bu küçük veya eşittir değil, eşittir yok bunun içinde bu yüzden buraya sadece 1 parantez koyuyoruz. Ve bu arada dikkat edin, burada 5 bölü 3ü içeriyordu.Buraya köşeli bir parantez koyuyoruz. Buradaysa 10 bölü 3ü içermiyoruz. Bu yüzden sadece parantez koyuyoruz. 10 bölü 3ten eksi sonsuza dek gidiyor.10 bölü 3ten küçük olan her değer bizim çözüm kümemize dahil. Bunu da çizelim.Bir çözüm kümesi çizelim. 10 bölü 3, 0, 1, 2, 3, 4 yazabiliriz.10 bölü 3 işte 3 tam 1 bölü 3 eder.Bu da tam burada olur.Bunu içermeyecek.10 bölü 3ten küçük dedik. 10 bölü 3 bizim çözüm kümemizde olmayacak. Ama 10 bölü 3 tam burada, ve 10 bölü 3ü içermeden 10dan küçük olan her şey bizim çözüm kümemizde. Güzel..Bir tane daha yapalım. Burada x bölü eksi 15in 8den küçük olduğunu görüyoruz.Evet gördük. Yine eşitsizliğin 2 tarafını da eksi 15le çarpalım.eksi 15çarpı x bölü eksi 15.Buradaysa 8 çarpı eksi 15var. Eşitsizliğin her 2 tarafını da negatif bir sayıyla çarptığınızda,eşitsizliğin yönünü değiştiriyoruz. Burada küçüktür yazdığına göre o büyüktür olacak. Şİmdi burada, sol tarafta sadece 1 x var. Çünkü diğerleri sadeleşti. X, 8 çarpı eksi 15ten büyüktür. 8 çarpı eksi 15 eksi 120 eder. Değil mi? 80 artı 40? 120. Evet, eksi 120.Ya da çözüm kümemizi eksi 120den başlayarak yazabiliriz. Ama eksi 120yi içermiyoruz. Çünkü burada bir eşittir işaretimiz yok. Sonsuza kadar gidiyor.Ve şimdi bunu grafik şeklinde yazalım. Buraya bir sayı doğrusu çizelim.Bunun eksi 120 olduğunu söyledik. 0 da buralarda bir yerlerde olmalı evet. Bu eksi 121. Bu da eksi 119. Eksi 120yi içermemeliyiz, çünkü burada 1 eşittir işareti yok dedik. Bu yüzden eksi 120den büyük her şey olacak. Benim yeşille gösterdiklerimin hepsi bu eşitsizliği doğrular. Şimdi bunu deneyebilirsiniz. 0 doğrular mı? 0 bölü 15? Bu 0 eder. Ve bu kesinlikle 8den küçüktür. Demek istiyorum ki, yaptığımız şey bunu kanıtlamaz ama bunu buradaki bütün sayılarla deneyebilirsiniz. Hepsinin doğrulaması gerekiyor. Evet herneyse, umarım bir yardıımım dokunmuştur..Bir sonar ki videoda görüşmek üzere.