Ana içerik

Konu: Cebir > Ünite 15

Ders 2: Tek Terimli İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım

Tek Terimli İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım

Tek terimli ifadeleri nasıl çarpanlara ayıracağımızı veya bir tek terimliyi çarpanlarına ayırırken, bilinmeyen çarpanı nasıl bulabileceğimizi öğrenelim.

Bu derse başlamadan önce bilmeniz gerekenler

Bir tek terimli, sabitlerin ve

x

'in negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinin çarpımı olan bir ifadedir, örneğin

3 x^{2}

gibi. Bir polinom, tek terimlilerin toplamıdır, örneğin

3 x^{2} + 6 x - 1

gibi.

Eğer

A = B \cdot C

ise, bu durumda

B

C

A

'nın çarpanlarıdır ve

A

B

C

ile bölünebilirdir. Bu materyali bir daha gözden geçirmek için Çarpanlara ayırma ve bölünebilirlik makalemize göz atın.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu derste, tek terimlilerin nasıl çarpanlara ayrılacağını öğreneceksiniz. Bu görevde size yardımcı olması için, tam sayıları çarpanlara ayırmaya ilişkin olarak bildiklerinizi kullanacaksınız.

Giriş: Tek terimlilerin çarpanlarına ayrılması nedir?

Bir tek terimliyi çarpanlarına ayırmak, bunu iki veya daha çok tek terimlinin çarpımı olarak ifade etmek anlamına gelir.

Örneğin, aşağıda

8 x^{5}

için olası çarpanlara ayırmalar bulunmaktadır.

$8 x^{5} = (2 x^{2}) (4 x^{3})$ ‍
$8 x^{5} = (8 x) (x^{4})$ ‍
$8 x^{5} = (2 x) (2 x) (2 x) (x^{2})$ ‍

Sağdaki her ifadeyi çarptığınızda

8 x^{5}

elde ettiğinize dikkat edin.

Düşündürücü soru

Andrei, Amit ve Andrew'un her birisinden

20 x^{6}

terimini iki tek terimlinin çarpımı olarak çarpanlara ayırmaları istenmiştir. Verdikleri cevaplar aşağıda gösterilmiştir.

Andrei			Amit			Andrew
$20 x^{6} = (2 x) (10 x^{5})$ ‍			$20 x^{6} = (4 x^{3}) (5 x^{3})$ ‍			$20 x^{6} = (20 x^{2}) (x^{3})$ ‍

1) Öğrencilerden hangisi $20 x^{6}$ ‍'yı doğru şekilde çarpanlara ayırmıştır?

Andrei, Amit ve Andrew'un yaptıklarını kontrol etmek için, çarpanları çarpabiliriz.

Andrei'nin yaptıklarını kontrol etmek için

(2 x) (10 x^{5})

'i bulalım:

$\begin{aligned} (2 x) (10 x^{5}) & = 2 \cdot 10 \cdot x \cdot x^{5} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

Andrei doğru cevap vermiştir.

Amit'in yaptıklarını kontrol etmek için

(4 x^{3}) (5 x^{3})

'ü bulalım:

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (5 x^{3}) & = 4 \cdot 5 \cdot x^{3} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

Amit de doğru cevap vermiştir.

Son olarak, Andrew'un yaptıklarını kontrol etmek için

(20 x^{2}) (x^{3})

'ü bulalım:

$\begin{aligned} (20 x^{2}) (x^{3}) & = 20 \cdot x^{2} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{5} \end{aligned}$ ‍

Andrew doğru cevap vermiştir.

Hem Andrei hem Amit doğru cevap vermiştir.

Tek terimlileri tamamen çarpanlara ayırma

Gözden geçirme: tam sayıların çarpanlara ayrılması

Bir tam sayıyı tamamen çarpanlarına ayırmak için, bu tam sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazarız.

Örneğin,

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

olduğunu biliyoruz.

Şimdi tek terimlilere...

Bir tek terimliyi çarpanlarına ayırmak için, katsayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazarız ve değişken kısmı açarız.

Örneğin,

10 x^{3}

'ü tam olarak çarpanlarına ayırmak için,

10

'un asal çarpanlarına ayrılmasını

2 \cdot 5

şeklinde ve

x^{3}

'ü

x \cdot x \cdot x

şeklinde yazabiliriz. Buna göre,

10 x^{3}

'ün tamamen çarpanlarına ayrılması böyledir:

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

2) $6 x^{2}$ ‍'nin tamamen çarpanlara ayrılması aşağıdakilerden hangisidir?

3) $14 x^{4}$ ‍'ün tamamen çarpanlara ayrılması aşağıdakilerden hangisidir?

Tek terimlilerin bilinmeyen çarpanlarını bulma

Gözden geçirme: tam sayıların çarpanlara ayrılması

Bir

b

tam sayısı için

56 = 8 b

olduğunu bildiğimizi varsayın. Diğer çarpanı nasıl bulabiliriz?

56 = 8 b

denkleminin iki tarafını da

8

ile bölerek

b

'yi bulabiliriz. Bilinmeyen çarpan

7

'dir.

Şimdi tek terimlilere...

Bu fikirleri tek terimlilere genişletebiliriz. Örneğin, bir

C

tek terimlisi için

8 x^{5} = (4 x^{3}) (C)

olduğunu varsayın.

C

'yi

8 x^{5}

4 x^{3}

ile bölerek bulabiliriz:

$\begin{aligned} 8 x^{5} & = (4 x^{3}) (C) \\ \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{(4 x^{3}) (C)}{4 x^{3}} & İki tarafı da 4 x^{3} ile bölün \\ 2 x^{2} & = C & Üslerin özelliklerini kullanarak sadeleştirin \end{aligned}$ ‍

Yaptıklarımız,

4 x^{3}

2 x^{2}

'nin çarpımının gerçekten

8 x^{5}

oldupunu göstererek kontrol edebiliriz.

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (2 x^{2}) & = 4 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot x^{2} \\ = 8 x^{5} \end{aligned}$ ‍

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

4) Aşağıdaki eşitliği doğru kılan, bilinmeyen $B$ ‍ çarpanını bulun.

28 x^{5} = (B) (7 x)

5) Aşağıdaki eşitliği doğru kılan, bilinmeyen $C$ ‍ çarpanını bulun.

40 x^{9} = (C) (4 x^{3})

C =

Çoklu çarpanlara ayırmaya ilişkin bir not

12

sayısını düşünün. Bu sayıyı dört farklı şekilde çarpanlara ayırabiliriz.

$12 = 2 \cdot 6$ ‍
$12 = 3 \cdot 4$ ‍
$12 = 12 \cdot 1$ ‍
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍

Bununla birlikte,

12

sayısı için sadece bir asal çarpanlara ayırma vardır,

2 \cdot 2 \cdot 3

Aynı düşünce, tek terimliler için de geçerlidir.

18 x^{3}

'ü pek çok yolla çarpanlara ayırabiliriz. Burada bir kaç farklı çarpanlara ayırma bulunmaktadır.

$18 x^{3} = 2 \cdot 9 \cdot x^{3}$ ‍
$18 x^{3} = 3 \cdot 6 \cdot x \cdot x^{2}$ ‍
$18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x^{3}$ ‍

Sadece bir tame tamamen çarpanlara ayırma vardır!

18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x

Zor problemler

6*) $22 x y^{2}$ ‍'nin tamamen çarpanlara ayrılmasını yazın.

22 x y^{2} =

Bu ifadede çok sayıda değişken bulunmaktadır. Bununla birlikte, bunu tamamen çarpanlarına ayırmak için yukarıda kullanılan yöntemlerin aynısını kullanabiliriz.

Bu durumda,

22 x y^{2} \neq 22 (x y)^{2}

olduğunu hatırlamak önemlidir.

22 x y^{2}

2yi tamamen çarpanlarına ayırmak için,

22

'nin asal çarpanlarına ayrılmasını

2 \cdot 11

olarak yazabiliriz ve

y^{2}

'yi

y \cdot y

olarak yazabiliriz.

x

çarpanı daha fazla çarpanlarına ayrılamaz.

$22 x y^{2} = 2 \cdot 11 \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

7*) Aşağıdaki dikdörtgenin alanı

24 x^{3}

metrekaredir ve uzunluğu

4 x^{2}

metredir.

Dikdörtgenin genişliği nedir?

Kısa kenar =

metre

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.