İspat: İki Rasyonel Sayı Arasında Bir İrrasyonel Sayı Bulunur

Bu videoda size herhangi iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı olduğunu göstereceğim. Diyelim ki bu bir rasyonel sayı olsun bu da diğerinden büyük bir başka rasyonel sayı. Burada, bu ikisi arasında bir irrasyonel sayı bulabilirsiniz. Yani buradaki bu sayı irrasyonel olacak Bu aralıkta en az bir tane irrasyonel sayı var Bu kulağa biraz çılgınca gelebilir, çünkü bir sürü rasyonel sayı var; sonsuz sayıda. ve diyoruz ki herhangi iki rasyonel sayı arasında, daima bir irrasyonel sayı bulabiliriz. Şimdi öncelikle 0-1 aralığını düşünelim. 0 ve 1 arasını düşündüğümüzde, burada en az bir irrasyonel sayı olduğunu biliyoruz. Aslında bir tanesi hemen aklınıza gelmiş olabilir. 1 bölü kök 2. Bu da kök 2 bölü 2 ile aynı şey Ve bu sayı da yaklaşık olarak 0.70710678118'e eşit Ve ondalık kısmı sürekli böyle devam ediyor ve bu sayılar tekrar da etmiyor. Ama buradaki önemli nokta, bu sayının 0-1 aralığında olması. 1 bölü kök 2'nin kesinlikle 0 ve 1 arasında olduğunu yazabilirim. Şimdi bunu yani iki rasyonel sayı arasında en az bir irrasyonel sayı bulunduğu gerçeğini, şu şekilde ispatlayacağım Önce bir eşitsizlik oluşturacağım ve bununla biraz oynayıp; burada bir r1, burada ise bir r2 olmasını sağlayacağım. Ve 1 bölü kök 2 den de bu iki rasyonel sayı arasındaki irrasyonel sayı oluşacak. Şimdi bunu 0 ve 1 arasında yapmaktansa, aralık olarak 0 ve bu iki sayının farkını alalım. r1 ve r2 arasında uzaklık r2 eksi r1 olur. O zaman, bunu elde etmek için, eşitsizliğin üç tarafını da r2 eksi r1 ile çarpalım. Eğer 0 ile r2 eksi r1'i çarparsak, burası sıfır olur. ve r2'nin r1'den büyük olduğunu biliyoruz Şimdi burada bir şeyi netleştirelim: Her tarafı r2 eksi r1 ile çarparken, r2'nin r1'den büyük olduğunu varsaydığımız için, burası sıfırdan büyük olacak. Yani eğer bir eşitsizliğin her tarafını sıfırdan büyük bir sayı ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez O zaman, 0 çarpı r1eksi r2 0 eder ve burası da 1 bölü kök 2 çarpı r2 eksi r1 olacak. Burası da 1 çarpı r2 eksi r1 den, r2 eksi r1 olur. Ve şimdi biraz daha değişiklik yapalım. Mesela her tarafa r1 ekleyelim. Bir eşitsizliğin her tarafına aynı sayıyı eklersek, bu eşitsizliğimizi değiştirmeyecektir O zaman r1'i her tarafa ekleyelim. Şimdi eşitsizliğin solunda, sürekli renk değiştirmemek için kopyala yapıştır yapalım Ama bu yapmak istediğim şey değildi. Şöyle yapalım. Şimdi bunu kopyalayıp yapıştıralım. Şimdi r1 artı bu kopyaladığım kısım küçüktür eşitsizliğin sağ tarafı Peki, eşitsizliğin sağ tarafında ne var? r1 artı r2 eksi r1 ne olur? r2 olacak, r1'ler birbirini götürdü; r2 kaldı. O zaman, verilen iki rasyonel sayı, r1 ve r2 ve r2’nin r1’den büyük olduğunu varsaydım ve o iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı oluşturdum. Küçük olan rasyonel sayıyı aldık ve (1 bölü karekök 2) çarpı iki rasyonel sayının farkına ekledik. Ve eşitsizliğin orta kısmında irrasyonel bir sayı elde ettik. Şimdi bunu nereden biliyoruz diyebilirsiniz. Bunun irrasyonel olduğundan nasıl emin olabiliriz? Aslında bunu zaten gördük. İrrasyonel bir sayı ve rasyonel bir sayının çarpımı, irrasyonel bir sayı verir. Bir irrasyonelle rasyonel bir sayıyı toplarsanız, irrasyonel bir sayı elde edersiniz. Öyleyse bu iki rasyonel sayı arasında bir irrasyonel sayı elde etmiş olduk, bu kadar.