İspat: Rasyonel Sayı ile İrrasyonel Sayının Çarpımı İrrasyoneldir

Bu videoda sizlere, rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayıyı çarptığımızda, çarpımın irrasyonel olacağını kanıtlamak istiyorum. Her zaman yaptığımız gibi, önce videoyu durdurmanızı ve bu soru üzerinde biraz düşünmenizi, kendi başınıza çalışmanızı istiyorum Hatta size bir de ipucu vereyim, Çarpımın irrasyonel olacağını kanıtlamak için bir çelişkiden faydalanmanız gerekiyor. Şöyle yapalım Önce, rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımının rasyonel bir sayı olduğunu varsayalım İfadeler üzerinde oynayarak buradaki irrasyonel sayının nasıl rasyonel bir sayıya dönüşeceği üzerinde biraz düşünün. Evet, bir ipucu için fazla karmaşık oldu ama sizin videoyu durdurup bu soruyu çözebileceğinizi biliyorum. Pekala şimdi gelin, hep birlikte yapalım Ne demiştik? Kanıtlayabilmek için bir çelişkiden faydalanacaktık. Pekala Önce varsayımımızı yazalım. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayıyı çarpıyoruz, Ve, rasyonel bir çarpım, rasyonel bir sonuç elde ediyoruz. Buradaki rasyonel sayıyı, iki tam sayının oranı olarak gösterelim, a bölü b olsun. İrrasyonel sayımızı ise x ile gösterelim, Varsayımımıza göre, a bölü b’nin x ile çarpımından rasyonel bir çarpım elde edeceğiz. Ve bu çarpıma da, bu çarpımada m bölü n diyelim. O halde buraya, eşittir m bölü n yazıyorum. Kısaca, burada rasyonel bir sayı olan a bölü b ile irrasyonel bir sayı olan x’in çarpımının rasyonel bir sayı olan m bölü n edeceğini varsaydık. Şimdi de bu varsayımda bir çelişki aramak istiyorum. Gelin, bu denklemdeki xi bulmaya çalışalım x’i bir tarafta yalnız bırakmak için, ne yapacağız ? İki tarafı da, a bölü b’nin tersi ile çarpmam gerekiyor. Yani, iki tarafa da, b bölü a yazıyorum ve çarpma işlemine başlıyorum. Sol tarafta x kaldı, x yalnız kaldı Sağ tarafta ise, m bölü n çarpı b bölü a. Yani, İrrasyonel sayımız x eşittir, mb bölü na. İşte şimdi enteresan bir şey gördüzün Umarım göreceksiniz m ve b birer tamsayı olduğuna göre, pay bir tamsayı olacak. Aynı şekilde, n ve a’da birer tamsayı. O halde payda da bir tamsayı. Sizin de görebileceğiniz gibi, denklemin sağ tarafında 2 tamsayının oranı olarak gösterilen bir ifade bulduk. Ve böylece, varsayımımızda irrasyonel olduğunu düşündüğümüz x sayısını, 2 tamsayının oranı yani bir rasyonel sayı olarak göstermiş oldum! Bu ifadeye göre, x rasyonel bir sayı! İşte ben çelişki diye buna derim! x’in irrasyonel olduğunu varsaydık ama sonuç olarak rasyonel olduğunu bulduk! Bu varsayım, bu çelişkiyi doğurduğuna göre, yanlış olmalı! Ve artık bu varsayımın yanlış olduğunu bildiğimize göre de, rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımının irrasyonel olacağını söyleyebiliriz! Neymiş? Rasyonel çarpı irrasyonel, irrasyonel eder! Bunu unutmayın. Bu kadar !