Bağımlı ve Bağımsız Denklem Sistemlerinin Çözümleri

Aşağıdaki lineer denklem sistemi bağımlı mıdır, bağımsız mıdır? Burada bize iki denklem vermişler. Bu arada soruyu çözmeye başlamadan önce, bağımlı ve bağımsızın ne anlama geldiğini bir tekrar edelim. Bunu tutarlı ve tutarsızla karşılaştıracağım. İki boyutlu lineer denklem sistemlerini incelediğimizde doğruların veya denklemlerin birbiriyle ilişkisi için üç olası durum var. Bu üç durumu bir çizeyim. Öncelikle üç tane koordinat düzlemi çiziyorum. Bu ilk x ve y eksenim. Bir tane daha çizeyim. Bu x, bu da y. Ve bir tane daha çizelim, iki boyutta yalnızca üç olasılık var, x ve y. Doğruların kesiştiği durum olabilir, yani bir doğru şöyle olur ve diğeri de belki şöyledir. Böylece bir noktada kesişirler. İki doğrunun paralel olduğu duruma da rastlayabiliriz. Bunu da şuraya çizeyim. Biri şöyle gidiyor, böyle gidiyor. Diğerinin de eğimi aynı ama ötelenmiş y keseni farklı. Belki de şöyle görünüyor, kesişim noktası yok. Bir de iki doğrunun aynı olduğu durum var iki doğrunun eğimi de, y keseni de aynı. Aslında ikisi de aynı doğru, sonsuz adet noktada kesişiyorlar. Doğruların biri üzerindeki her nokta, aynı zamanda öteki doğrunun da üzerinde bulunuyor. Size biraz da terminoloji vermek gerekirse bir önceki videoda öğrendiğimiz gibi kesişme veya ortak çözüm olmayan bu tip sisteme tutarsız sistem diyoruz. Ve tanımsal olarak, tutarsızın tersini alırsak, bu ikisi tutarlı oluyor. Bunların ikisi de tutarlı. Ama tutarlının kendi içinde de farklılıklar var burada tek bir çözüm var, bunlar bir noktada kesişen iki farklı doğru. Burada ise, ikisi aynı doğru. Bu iki durumun arasındaki farkı da şöyle belirtiyoruz. Buradakine bağımsız şuradakine bağımlı diyoruz. Bağımsızlık durumunda, iki doğru istediğini yapıyor birbirlerine bağımlı değiller. Aynı doğru değiller. Bir noktada kesişirler. Bağımlılık durumunda ise, iki doğru aynı bir doğruyu sağlayan her nokta diğer doğruyu da sağlıyor. Bir denklemi sağlayan her nokta diğer denklemi de sağlıyor. Bunu belirttikten sonra, bu lineer denklem sistemine bakalım, bağımlı mı bağımsız mı? Bu arada tutarlı olduğunu varsaymamızı istiyorlar. Ya bir noktada kesişecek ya da sonsuz noktada kesişecek. Bunu bulmanın en kolay yolu şu. Burada ikinci denklem, hâlihazırda zaten eğim-kesim noktası formunda verilmiş. Eğimin eksi 2, y keseninin de 8 olduğunu biliyoruz. Birinci denklemi de eğim-kesim noktası formunda yazalım ve eğim veya kesim noktasının farklı olup olmadığına bir bakalım. Belki de aynı doğruyu elde edeceğiz. Buna göre, denklemimiz, neydi? 4 x artı 2 y eşittir 16. İki taraftan da 4 x çıkaralım, y'yi sol tarafta tek başına bırakmak istiyoruz. İki taraftan da 4 x çıkarırsak. Sol tarafta 2 y kalır. Sağ tarafta ise, eksi 4 x artı 16 var. Önce eksi 4'ü yazıyorum ki, geleneksel eğim-kesim noktası formunda ifade etmiş olalım. Şimdi iki tarafı da 2'ye bölelim ki sol tarafta y tek kalsın. Yani katsayısı da olmasın. İki tarafı 2'ye böleriz, y eşittir eksi 4 bölü 2 eşittir eksi 2 x artı 16 bölü 2, artı 8 yani. Bu üstteki denklem üzerinde işlemler yapıp y'yi tek başına bıraktım ve bu çıktı, bunu elde ettik. Bu, ikinci denklemle aynı. Eğimleri aynı, eksi 2, eksi 2. y kesenleri de aynı, 8 ve 8. Bu denklemlerin grafiğini çizmek istesem bu x ekseni, bu da y ekseni ikisinin de y keseni 8 ve eğimi eksi 2. Kabaca şöyle çizebilirim. Diyelim ki bu, birinci denklemin grafiği. Ve ikinci denklemin grafiği de bununla aynı olacak. y keseni ve eğimi aynı. Bu doğruların bağımlı olduğu açıkça görülüyor. Ortak olan sonsuz adet noktamız var, çünkü doğrular aynı.