Denklem Sistemlerini Yok Etme Yöntemiyle Çözelim: Elma ve Portakal Fiyatları

Bir manavın tezgahının önünde duruyorsunuz ve önünüzdeki kişinin, 5 kilo elma ve 4 kilo portakal satın aldığını ve bunlar için de 10 lira ödediğini fark ediyorsunuz. Siz de bu arkadaştan sonra 5 kilo elma ve 5 kilo portakal satın alıyorsunuz ve 11 lira ödüyorsunuz. Bu bilgiyi, iki değişkenli bir lineer denklem sisteminde kullanarak, elma ve portakalın fiyatını bulabilir misiniz? Yani kilo fiyatlarını. Evet diyorsanız, çözüm nedir? Hayır diyorsanız, bunun sebebi nedir? Şahane ! Bize elma ve portakalın fiyatını bulup bulamayacağımız soruluyor. Elmanın kilo fiyatı için x, portakalın kilo fiyatı için de y diyelim. Bizden önceki müşteriyi düşünelim ilk olarak. 5 kilo elma aldı. Elma için ne kadar ödedi? 5 kilo elma aldığına göre, elmalar için 5 x ödedi. Peki portakallar için ne ödedi? 4 kilo portakal almıştı, değil mi? Bunlar için de 4 çarpı y ödedi. Yani müşterinin toplam harcadığı, bizden önceki müşterinin toplam harcadığı 5 x artı 4 y. Ve bunun bize 10 TL'ye eşit olduğu söyleniyor. Biz ise 5 kilo elma aldık, aynen bizden önceki müşteri gibi. Ve elmalar için 5 x ödedik. 5 kilo çarpı 1 kilo elmanın fiyatı olan x kadar ödedik. 5 kilo da portakal aldık, bunlar için de 5 y ödedik. Bu portakallar için ne kadar harcadığınız. Bu da hem portakallar hem de elmalar için toplam ne kadar harcadığınız. Bu toplamda 11 liraymış değil mi? Şimdi bu eşitlikleri kullanarak, x ve y'nin değerini bulabilir miyiz? Bu eşitliklerde, x ve y'lerin oranları farklı. Bu bize bir bilgi veriyor. Bakalım bunu çözebilir miyiz. İlk gözüme çarpan, her iki eşitlikte de 5 x var. Şimdi bu 5 x'i, bu 5x'ten çıkarırsam, x'ler kalkacak değil mi? Aşağıdaki denklemi, eksi 1 ile çarpıyorum. Bu denklem, ne oluyor ? Eksi 5 x eksi 5y eşittir eksi 11 halini alıyor. Şimdi bu iki eşitliği toplayacağım. Bunu yapabilirim. Çünkü bu değerin buna eşit olduğunu biliyorum. Bunun da buna eşit olduğunu biliyorum. Bu iki eşitliği topladığımda, iki taraftaki değerler yine birbirine eşit olacak. Sol tarafta, 5 x eksi 5 x birbirlerini götürdüler. 4 y eksi 5 y, bu da eksi y etti. 10 eksi 11, bu da eksi 1 eder. Eğer eşitliğin her iki tarafını da eksi 1 ile çarparsak, y eşittir 1 sonucuna ulaşırız. Böylece 1 kilo portakalın fiyatını bulduk: ne kadarmış? 1 lira. Burası 1'e eşit. O zaman şimdi 1 kilo elmanın fiyatını da rahatlıkla bulurum. Buradaki iki eşitlikten herhangi birini kullanabiliriz. Diyelim ki ilk eşitliği kullandık, yani bizden önceki müşterinin durumuna bakalım. 5 kilo elmayı, kilosuna y ödeyerek satın almıştı, ayrıca kilosu 1 liradan 4 kilo da portakal almıştı ve toplam 10 TL ödemişti. Şimdi biliyoruz ki portakallar için 4 TL ödemiş. O zaman eşitliğin her iki tarafından da 4'ü çıkaralım. 4 çarpı 1, eksi 4, bunlar sadeleşir, burası 0. Eşitliğin sol tarafında sadece 5x kaldı. Sağ tarafta ise 10 eksi 4 var, ki bu da 6'ya eşit. Şimdi eşitliğin her iki tarafını da 5'e bölelim ve x'in değerini bulalım. Her iki tarafı da 5'e böldüğümüzde, x eşittir 6 bölü 5 sonucuna ulaştık. Veya x'in 1 tam 1 bölü 5'e veya 1.20'ye eşit olduğunu söyleyebiliriz. Demek ki 1 kilo elmanın fiyatı da 1.20 imiş. Yani 1 lira 20 kuruş. Soruya dönersek, verilen bilgiyi kullanarak elma ve portakalın fiyatını bulabildik. Şahane!