Yerine Koyma Yöntemi

Diyelim ki şöyle bir belirsiz integralimiz var ve fonksiyonumuz 3 x kare artı 2 x çarpı e üzeri x küp artı x kare, d x. İlk bakışta baya karışık bir integrale benziyor buradaki polinom bir üstel ifadeyle çarpılmış ve buradaki üs de ayrı bir polinom. Baya çılgın bir integral. Buradaki esas fikir, kullanmanız gereken teknik, yerine koyma yöntemidir. Birazdan size yerine koyma yöntemini nasıl fark edeceğinizi anlatacağım. Zamanla bu yöntemi aklınızdan da uygulayabileceksiniz. Yerine koyma yöntemi aslında zincir kuralının tersidir. Bu yöntemin mantığını bir başka videoda daha derinlemesine işleyeceğim. Şimdi ben şöyle düşünüyorum, burada bu garip üs var. x küp artı x kare. Ve şuradaki ifade de x küp artı x karenin türevi. x küpün türevi 3 x kare; x karenin türevi 2 x. Bu da yerine koyma yöntemini kullanmam yönünde bana büyük bir ipucu veriyor. Yani türevini çarpımda gördüğüm ifadeye u diyorum. Buna göre, "u eşittir x küp artı x kare" diyebilirim. O zaman u'nun x'e göre türevi nedir? Bunu defalarca yaptık. d u d x eşittir 3x kare artı 2 x bunu diferansiyel olarak da yazabiliriz. Aslında d u d x bir kesir değildir, bu bir notasyondur. Ama bunu kesir olarak işleme sokmak genelde faydalıdır. Bunu şöyle görebilirsiniz, d u'yu tek başına bırakmak isterseniz bunu diferansiyel olarak ifade etmek isterseniz x'in belli bir değişimi için u'nun değişimi nedir diye düşünürsünüz. İki tarafı d x ile çarparsınız. Bunu kesir gibi düşünürsek, diferansiyel şekliyle d u eşittir 3 x kare artı 2 x d x elde ederiz. Şimdi bunları bulmak zahmetine neden girdim? Burada 3 x kare artı 2 x çarpı d x görüyorum. Bu orijinal integrali 3 x kare artı 2 x çarpı d x çarpı e üzeri x küp artı x kare olarak yazabilirim. Şimdi buradaki ilginç olay, mor ile yazdığım ifadenin d u'ya eşit olması. Ve şu yukarıdaki ifade, x küp artı x kare de u'ya eşit. Bu, u'ya eşit. İntegrali baştan yazınca yöntemin integrali nasıl sadeleştirdiğini göreceksiniz. Sırayı değiştiriyorum, bu d u'yu şu tarafa koyuyorum. Böylece belirsiz integrallerde görmeye alıştığımız standart forma daha uygun olarak ifade edeceğim. d u çarpı e üzeri u. Peki, bunun u cinsinden terstürevi nedir? e üzeri u'nun türevi e üzeri u'dur öyleyse e üzeri u'nun terstürevi de e üzeri u'dur. Yani cevap e üzeri u olacak. Bir de burada bir sabit olabilir. Onu da yazayım. Artı C. Şimdi cevabı x cinsinden ifade etmek için, u yerine x'li ifadeyi koymamız lazım. u'nun neye eşit olduğunu biliyoruz. e üzeri u yerine de x küp artı x kare yazarız. Ve artı C'yi koyarız, ve cevabı bulduk. Terstürevi bulmuş olduk. Bunun türevini almanızı tavsiye ederim ve zincir kuralını kullanmak durumunda kalacaksınız. Ve başlangıçtaki fonksiyonu elde edeceksiniz.