sin x, cos x, tan x, e^x ve ln x'in Türevleri

Çok sık karşılaştığımız bazı fonksiyonların türevlerini bulmak istiyorum. Bu videoda bunları kanıtlamayacağız, amacımız sadece bu fonksiyonların türevlerinin ne olduğunu öğrenmek. Gelin, trigonometrik fonksiyonlarla başlayalım. Sinüs x fonksiyonunun, x’e göre türevini almak istiyorum. Sinüs x’in türevi nedir? Cevabı biliyorsunuz, tahminen. Kosinüs x! Bu iki fonksiyonun grafiklerini incelerseniz, bunun neden böyle olduğunu kolayca anlarsınız. Kanıtlamayacağımızı söyledik ama sinüs x’in türevinin kosinüs x olduğunu bilmek ileride çok işimize yarayacak. Peki, ya, kosinüs x’in türevi? Evet, kosinüs x’in, x’e göre türevi, eksi sinüs x’tir! Sinüsün türevi, kosinüs, kosinüsün türevi ise, eksi sinüs. Şahane! Ve son olarak da, tanjant x’in türevi hakkında ne söyleyebiliriz? Bu da, 1 bölü kosinüs kare x, yani, sekant kare x’e eşittir. Bir daha tekrar edeyim, bu türevleri öğrendiğinize hiçbir zaman pişman olmayacaksınız! Evet, trigonometrik fonksiyonları bitirdiğimize göre, şimdi de üstel ve logaritmik fonksiyonlarla devam edelim. e üzeri x ile başlayalım. Birazdan e’nin ne kadar karizmatik bir sayı olduğunu göreceksiniz, e üzeri x’in, x’e göre türevi, Hazır mısınız? Birazdan göreceğiniz şey, matematikteki en havalı örneklerden bir tanesi. e üzeri x’in, x’e göre türevi, e üzeri x’tir. Peki, bu ne demek oluyor? Hemen ufak bir ara verip bu konudan biraz daha bahsedeyim. e üzeri x’in grafiğini çizelim. Bu y ekseni, bu da x ekseni olsun. x’in çok negatif değerleri için, e üzeri x, sıfıra yaklaşır. e üzeri sıfır, 1’dir. Evet, bu, e üzeri x’in grafiği. Buradan başlar ve büyük bir hızla artar. İşte, y eşittir e üzeri x. e üzeri x’in türevinin e üzeri x’e eşit olması ise, bize, herhangi bir noktada, mesela x eşittir sıfır noktasını alalım, e üzeri sıfır, 1’dir. Peki, aynı noktada, teğetin eğimi, ne olur? Türevi kendisine eşit olduğu için, eğim de, 1 olmalı. Şahane, değil mi? x eşittir 1 noktasına gidersek, fonksiyonun değeri, e üzeri 1 ya da e’dir. Bu noktada, teğetin eğimi de e’dir. Evet, kısacası, bu fonksiyon üzerindeki her noktada, teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki değerine eşittir. İşte bu sebeple, e sayısı, matematikteki en havalı sayıdır. Evet, neyse, kaldığımız yerden devam edelim. Bu videonun amacı, e’nin ne kadar havalı bir sayı olduğunu kanıtlamak değil tabi ki. Amacımız, çok sık karşılaştığımız fonksiyonların türevlerini öğrenmek. Son olarak, lnx’in, x’e göre türevine bir bakalım. Aslında, bu da enteresan olacak. lnx’in türevi, 1 bölü x yani x üzeri eksi 1’dir. Türevin genel kurallarını düşünürsek, sadece üstel bir ifadeden oluşan bir fonksiyonun türevi, aynı ifadenin 1 eksik kuvvetine eşittir. Örneğin, x üzeri 4’ün türevi, x küptür. Tüm bu fonksiyonlar arasında, türevi x üzeri eksi 2, x üzeri eksi 5, x kare, x üzeri 7 olan fonksiyonlar vardır ama türevi x üzeri eksi 1 olan fonksiyon sadece bir tanedir ve bu fonksiyon da lnx’tir. Evet, tekrar ediyorum bu videoda bu türevleri nasıl bulduğumuzdan bahsetmedik. Çok bilinen bazı fonksiyonların türevlerini listeledik. Listeledik ki, ilerideki videolarda işimize yarasın. Hepsi bu!