İspat: eˣ’in Türevi eˣ’e Eşittir

Evet Ee sayısının Evet muhteşem özellikleri olan sayıp Ey bir limite olarak tanımlayabileceğimiz biliyorsunuz değilim limit en sonsuza giderken bir artı bir bölü en üzeri en Evet bu e y eşittir eğilimi ten sıfıra giderken bir artı en üzeri bir bölü en olarak da tanımlayabiliriz size Bu videoda en muhteşem özelliklerinden bir diğeri olan ve Kay bu Ulus için de faydalı olmasını sağlayan bir başka özelliğinden bahsetmek istiyorum bu özellik üzeri X'in x göre türevinin e üzeri x H eşit olması muhteşem değil mi ve işin ispat kısmına geçmeden bunun üzerine biraz daha düşünmek istiyorum ekranda ye eşittir e üzeri ixion grafiğinin bir kısmını görüyorsunuz buraya yazdığım ifade ise eüzü O gitsin x göre türevini ne kendisine eşit olduğunu söylüyor Düşünsenize bu grafik Üzerindeki herhangi bir noktaya teğet olan doğrunun eğimi fonksiyonun O noktada ki değerini eşit Harika değil mi Mesela burada fonksiyonun değeri bir ise heyetine imide birdir fonksiyonun bu noktadaki değeri ve bu noktadaki teğetin eğimi birbirine eşit ve 2 ye eşittir fonksiyon bu noktada 4 değerini alıyor ve bu noktadaki teğetin eğimi de yine tart bu şekilde istediğim kadar devam edebilirim Evet bu enenin muhteşem olarak nitelendirebileceğimiz özelliklerinden biridir ve kalkülüse ilerledikçe buna benzer başka özellikleri de Göreceğiz şimdi isterseniz Isparta geçelim bunun için türevin tanımlarından birini kullanacağım Ee üzeri X'in x 3D türevini limit Delta ilk sıfıra giderken e üzeri x artı deltanox eksi e üzeri x bölü delta2 x olarak tanımlayalım Şimdi de ifadenin bu kısmıyla oynayıp bunu bizim için daha anlamlı bir hale getirmeye çalışacağım eşittir limit Delta ilk sıfıra giderken hiçbir adımı da atla mayıp her şeyi detaylı bir şekilde yazacağım Evet e üzeri x çarpı e üzerinde taiex bu üstten ifadelerini özelliklerinden biri biliyoruz değil mi eksi e üzeri X ve bölü t'etais daha iyi anlaşılması adına üstler ifade özelliklerini kullanarak bunu bu şekilde ifade ettiğimde bir kere daha söylemek istiyorum şimdi de Payı e üzeri x parantezine alacağım bu arada delta2 eve giderken e üzeri x durumdan etkilenmeyeceği içine üzeri eksi de limitin dışına alabilirim Hadi bakalım Ey üzeri ikisi alalım 50 MİT'in dışına çıkaralım Ne de olsa üzeri ixion Delta ilk sene olduğuyla hiçbir alakası yok yazıyorum Ne eşittir e üzeri x çarpı limit Delta ilk sıfıra giderken e üzeri deltabox eksi 1 bölü Delta iks bu noktada limitimiz de havalı bir şeyler yapacağız yapacağımız şey değişken değiştirme şöyle düşünün bunun limitini doğrudan bulabilmenin bir yolu olmadığı için bunu daha önce gördüğümü Hatta belki de buradaki formlardan birine sokmaya çalışacağız Bunun için de bir bakayım şuraya yazalım n eşittir e üzeri Delta ilk seksi bir değişken değiştirmesini uygulayalım Ben buradan Delta ixion neye eşit olduğunu bulmak için iki tarafa Brad diyelim Böylece ne artı bir eşittir e üzeri Delta eksder taksi ne eşit olduğunu bulmak için iki tarafın Bir de doğal logaritma sını almam lazım Evet ne artı 1'in doğal logaritması eşittir Delta exe harika bu durumda pay yerine ne yazabilirim paydada buna eşit olur peki ya limit Delta ilk sıfıra giderken neyin hangi değeri yaklaşacağını bulmamız gerekiyor Evet Delta ixion sıfıra yaklaşmasın enin hangi değere yaklaşması anlamına gelir Bakalım Delta ilk sıfıra giderken burasını Ee üzeri sıfır olarak değerlendirebiliriz bu durumda da bir eksi birden 0 elde ederiz başka bir değişle Delta ilk sıfıra giderken ne de sıfıra gidiyormuş aynı sonucu Buradan da elde bu ne sıfıra giderken sıfır artı bir yani birinin doğal logaritma sıfıra eşittir delta2 sıfıra giderken ne sıfıra ben ne sıfıra giderken de deldi ek sıfıra gidiyormuş o halde buradaki değişken değişimini yaptığımızda Delta ilk sıfıra gidiyor yerine ne sıfıra gidiyor diyebiliriz bunu baştan yazmak istiyorum Bu arada bu ispatla yapacağımız belki de en havalı şey gerçekten de bu değişken değişimiydi e üzeri x çarpı limit en sıfıra giderken en bölümü elenen artıp bir bebek Şimdi ne yapacağız pay ve paydayı neye bölelim Hadi bunu bir deneyelim bunun için pay ve paydayı bir bölü en ne çarpıyorum Evet bunu yapınca ay bire paydada Üstel ifadelerin ya da logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi baştan yazıyım e üzeri x çarpı Believe o kendi sıfıra giderken bir bölümü logaritma özelliklerini kullanacağım demiştim şuraya not edeyim a çarpı Elen be Evet Elen be üzeri aya eşittir Öyle değil mi bu durumda bunu da elenen artı bir ya da bir artı en üzeri bir bölü en olarak yazabilir ve işte bu noktada ellerinizin kaşınmaya başladığını hissediyorum karşınızdaki ifadet bir yerlerden gözünüzü ısırıyor Öyle değil mi burada logaritmanın içindeki ifade Evet bunun aynısı İkisinde de en sıfıra giderken limit almamız da cabası ve burada da limit özelliklerini kullanabiliriz Çünkü pay durumdan etkilenmeyecektir etkilenecek tek şey buradaki yani logaritmanın içindeki ifade O halde eşittir e üzeri x çarpı Bu arada sonra çok az kaldı bir bölü o elini yazıp şurada Kendime biraz yer açim limit en sıfıra giderken bir artı en üzeri bir bölü Evet ilginç bu neye eşitti bana paydaki ifadenin bu kısmının neye eşit olduğunu söyleyin evet bu öğenin tanımlarından biri işte burada Aynen videonun başında Size söylediğim gibi Bu e y eşittir Bu durumda sonuç ne olur nereye varmaya çalıştığını Anladınız değil mi Evet bu arada Umarım sizde En az benim kadar eğleniyorsunuz dur e üzeri x çarpı bir bölü Ele Ne peki elde etmek için en hangi kuvvetini almamız lazım tabii ki de birinci bu biri eşit olduğu için de Sonuç olarak Ey üzeri iksi buluruz size Evet e üzeri ikisini x göre türevinin üzere iki eşit olduğunu ispatladım çok keyifliydi E sayısı ne kadar da harika bir sayı Öyle değil mi abone ol