Sonsuz Limitler

Limit x sonsuza giderken, kök içinde 100 artı x eksi kök x. Sorumuz bu. Soruyu çözmeye başlamadan önce, isterseniz, soru üstünde biraz düşünelim. x’e çok çok çok büyük bir sayı verdiğimizde yani x sonsuza yaklaştığında ne olur? Buradaki 100 büyükçe bir sayı, diyebilirsiniz ama x yerine çok çok daha büyük bir sayı koyduğumuzda, yani x, milyarlar, trilyonlar olduğunda buradaki kökün içindeki 100 milyarlar trilyonlar yanında oldukça önemsiz kalacak. Yani x çok çok büyük sayılara yaklaştığında, kök içinde 100 artı x, kök içinde x ile, yaklaşık olarak/neredeyse aynı fonksiyon haline gelecek. Çok büyük x’ler için kök içinde 100 artı x yaklaşık olarak kök x’e eşit olacaktır. Buradaki x’leri arttırarak, fonksiyonun bu iki kısmını birbirine yaklaşık olarak eşitliyoruz. Yani x sonsuza giderken bu limitin 0’a eşit olacağını söyleyebiliriz. Çünkü bundan, buna çok yakın bir sayıyı çıkarıyoruz. x çok çok büyük değerler aldıkça, 100’ün değerinin küçük kalacağı, limitin sıfıra gideceği yönünde tahminde bulunduk. Şimdi de bu argümanımızı cebirsel hesaplamalar yaparak kanıtlamaya çalışalım. Sorumuzu tekrar yazalım. Kök içinde 100 artı x eksi kök x. Böyle bir kök eksi kök ifadesi gördüğümüzde aklımıza ilk gelen fonksiyonu kökten kurtarmak olmalıdır. Bunun için de fonksiyonu eşleniği ile çarpmalıyız. Çarptığımız değer fonksiyonun sayısal değerini değiştirmemelidir. Bu yüzden de sadece 1’le veya 1’e eşit bir sayı ile çarpmalıyız. Fonksiyonu 1’e eşit olan olan bir sayıyla çarpacağız ve bu sayı, fonksiyonun eşleniğini içerecek. Kök içinde 100 artı x eksi kök x çarpı, kök içinde 100 artı x artı kök x bölü, aynı sayı yani kök içinde 100 artı x artı kök x Çarptığımız bu kısım 1’e eşit. Çarpan 1'e eşit. Fonksiyonu eşleniği ile çarptık çünkü iki kare farkı özdeşliğinden faydalananacağız. Paydada kök içinde 100 artı x, artı kök x var ve payda ise kök içinde 100 artı x eksi kök x çarpı bu kısım kök içinde 100 artı x artı kök x Burada a+b çarpı a-b eşitliğinden iki kare farkını oluşturduk. Bu üstteki ifade, farklı renk ile göstereyim, bunun karesi eksi, bunun karesi olacak. Peki, kök içinde 100 artı x’in karesi nedir? 100 artı x. Kök x’in karesi nedir? O da x. Böylece pay kısmını sadeleştirdik. 100, artı x, eksi x ve bunun tamamı bölü; kök içinde 100 artı x artı kök x. Buradaki x'ler birbirini götürür. 100 bölü kök içinde 100 artı x artı kök x kaldı. Başta verilen orijinal limiti yeniden yazabiliriz. Bunun yerine burada sadeleştirilmiş halini yazabiliriz. Limit x sonsuza giderken 100 bölü kök içinde 100 artı x artı kök x . Fonksiyonu daha sade bir hale getirdik. Payda sadece sabit bir sayı var, 100 var ama paydada sürekli artan, sınırsız bir ifade var. Pay sabitken paydayı artırdığımızda paydası sürekli artan, sonsuz büyüyen, süper büyük bir fonksiyon olur. Yani fonksiyon 0’a yaklaşır ve bu da baştaki argümanımızla bağdaşıyor.