Limit Problemleri

Bu videoda, çok önemli bir konu olan limit konusuna giriş yapacağız. Limit, gerçekten de tüm cebrin temelidir. Bu kadar önemli olmasına rağmen çok ama çok ama çok kolay bir konudur. Önce bir fonksiyon yazayım. Bir fonksiyon tanımlayayım. Basit bir fonksiyon olsun. f x eşittir, x eksi 1 bölü, x eksi 1. Şöyle diyebilirsiniz: "Hem payda, hem de paydada aynı ifade var. O zaman "Bir şeyi kendisine bölersem, sonuç 1'dir. Basitçe f x eşittir 1 diyelim. Ben de size şöyle derim: " Evet kısmen haklısınız. f x eşittir 1 ile bu ifade arasındaki fark, bu ifadenin,f x 1'e eşitken tanımsız olmasıdır." Gelin size şöyle açıklayayım. f 1 için, pay 1 eksi 1, yani 0 olur. Paydada da 1 eksi 1, yani 0 var. 0 bölü 0 da dâhil, 0'a bölünen her ifade tanımsızdır. 0 bölü 0'da dahil. 0'a bölünen her ifade tanımsızdır. Sadeleştirme yapabilirsiniz. Bu ifadenin, f x eşittir 1 ile aynı şey olduğunu söyleyebilirsiniz ama "x 1'e eşit olamaz" koşulunu eklemelisiniz. Bu iki ifade birbirine eşittir. İkisi de, 1 dışındaki tüm x değerleri için 1'e eşittir.Ama x 1 olduğunda, her ikisi de tanımsızdır. Peki bu fonksiyonun grafiği nasıldır? Size çizeyim. Bu, "y eşittir f x" ekseni. Bu da x ekseni. Burası x eşittir 1 noktası. Burası da x eşittir eksi 1 noktası. y eşittir 1 noktası burada y eşittir eksi 1 de burada ama soruyla alakası yok. Grafiği çizelim. 1 dışındaki tüm xler için, f x, 1'e eşit olacak. Aynen şöyle bir grafik. Ama 1 dışında. f x, 1'de tanımsız. Bu nedenle, araya bir boşluk koyuyorum. Bu çember, bu fonksiyonun bu noktada tanımsız olduğunu belirtiyor. Fonksiyonun x eşittir 1'deki değerini bilmiyoruz.Tanımlanmamış. Fonksiyonun bu tanımı, 1'deki durumu söylemiyor. x 1'e eşitken, fonksiyon tanımsız. Fonksiyonun grafiği işte bu. Fonksiyonun 1'deki değeri sorulursa, x eşittir 1'de bir boşluk olduğunu, bu nedenle de tanımsız olduğunu söylersiniz. Gereksiz olacak ama tekrar yazayım. f 1 fonksiyonu tanımsız. Peki şunu sorsam: "x eşittir 1 iken, fonksiyon neye yaklaşır?" İşte burada, limit konusuna giriş yapmış bulunuyoruz. x, 1 değerine giderek yakınlaşsın. Peki fonksiyon bu sırada neye yakınsar? Sol tarafta, tam olarak 1'de olmadığınız sürece, ne kadar yaklaşırsanız yaklaşın, f x eşittir 1'dir. Sağ tarafta da aynı durum söz konusu. Daha fazla örnek çözdükçe, konuyu daha iyi pekiştireceksiniz. "lim", evet bu limitin kısaltması olmak üzere, x 1'e yaklaşırken f x'in limiti... 1'e inanılmaz derecede yakınlaştığınızı düşünün, ama asla tam olarak 1'de değilsiniz Fonksiyonumuz da 1'e giderek yaklaşacaktır.Aslında tüm değerler için zaten hep 1'deydi. x 1'e yaklaşırken f x'in limiti 1'dir. Yine karmaşık gibi görünen bir gösterimle karşı karşıyayız. x 1'e yaklaşırken, fonksiyon neye yaklaşır, onu gösteriyor. Bir eğri grafiği çizeceğimiz başka bir örnek yapalım ki konu iyice pekişsin. Fonksiyonumuz f x olsun.Yok, fonksiyonumuz g x olsun. g x fonksiyonumuzu şu şekilde tanımlayalım: x 2'ye eşit olmadığında x kare; x 2'ye eşit olduğunda da 1 olsun. Yine ilginç bir fonksiyon var.Gördüğünüz gibi "tamamen sürekli" değil. Süreksizlik var. Çizmeye başlayayım. Bu, y eşittir g x eksenim. Bu da x eksenim.Burası x eşittir 1, burası da x eşittir 2 noktası. Burası eksi 1, burası eksi 2. x'in 2'ye eşit olduğu nokta dışında, fonksiyon x kareye eşit. Çizmeye başlayayım. Parabol olacak.Yani yaklaşık böyle bir şey. En iyisi daha düzgün bir parabol çizeyim. Yaklaşık olarak şöyle bir şey. Paraboller tarihinin en güzel parabolü değil belki ama parabolün nasıl bir şey olduğunu size göstermiştir, evet. Simetrik olmalı. Durun yeniden çizeyim. Evet berbat oldu.Bu daha güzel.Tamam. Bu, "x kare"nin grafiği. Ama x 2'ye eşit olunca, fonksiyonumuz, "x kare"y eşit olmuyor. x 2'ye eşit olunca, burada bir süreksizlik var. Bu yüzden bir boşluk çiziyorum. x 2'ye eşit olduğunda, fonksiyon 1'e eşit oluyor. Eksenlerin ölçeği aynı değil. Grafiğin üzerinde burası 4, burası 2, burası 1, burası da 3 olsun. x 2'ye eşitken, fonksiyon 1'e eşit. Biraz tuhaf bir fonksiyon ama bu şekilde tanımlanabilir. Bir fonksiyonu nasıl isterseniz öyle tanımlayabilirsiniz. Grafik, g x eşittir x kare fonksiyonunun grafiğine çok benziyor.Ama x eşittir 2'ye gldiğinizde, bir boşluk var. Çünkü x 2'ye eşitken, x kare fonksiyonunu kullanmıyoruz. g x eşittir 1 fonksiyonunu kullanıyoruz. Tam olarak x eşittir 2 noktasındayken, fonksiyon 1 oluyor. Diğer tüm noktalarda "x kare" olarak tanımlı. Şöyle bir soru sorayım: Fonksiyonun 2'deki değerini bulmak istersem, ne yapacağız? Tanıma bakacağım. x 2'ye eşitken, bu tanımı kullanacağım. O da bana, fonksiyonun 1'e eşit olduğunu söylüyor. Daha ilginç bir soru sorayım. x 2'ye yaklaşırken, g x'in limiti nedir? Gösterimi biraz karmaşık gelebilir ama yanıtı çok ama çok basit. x 2'ye yaklaştıkça evet... Çok öyle özenli bir çizim yapmıyorum. Önümüzdeki videolarda yaparım. x 2'ye yaklaştıkça, g x neye yaklaşır? 1,9 olduğunda, 1,999 olduğunda, 1,999999 olduğunda, yada 1,99999999 olduğunda, g x neye yaklaşır? Peki ya artı taraftan yaklaşırsak? 2,1 iken; 2,01 iken; 2,001 iken. 2'ye yaklaştıkça, peki fonksiyon neye yaklaşır? Grafiğe bakınca görsel olarak da anlayabilirsiniz. x 2'ye yaklaştıkça, yani grafik üzerinde ilerlerseniz, 4'e yaklaştığını görürsünüz. Fonksiyon burada tanımlı olmasa da, fonksiyon o noktada 1 değerini alsa da, x 2'ye yaklaştıkça g x'in limiti 4'tür. Bunu hesap makinası kullanarak, sayısal olarak da hesaplayabilirsiniz. Hemen, göstereyim. Bence bu ilginizi çekecek. Hemen hesap makinasını açalım. Nerede benim cici makinam, buradaymış. x 2'ye yaklaşırken, fonksiyonun neye yaklaştığını, kolaylıkla söyleyebileceksiniz. x eşittir 1,9 için üstteki koşulu kullanacağız. 1,9'un karesi 3,61. 2'ye daha da yaklaşırsak? 1,99. Onun da karesini alalım. 1,999, 3,96. 1,999 alırsak, bunun karesini alalım. 3,996. Evet gördünüz mü? Şimdi gittikçe 4'e yaklaşıyoruz. 2'ye iyice yaklaşırsam. 1,9999999 99999'un karesini alalım. Bakalım neymiş. Aslında tam olarak 4 değil ama hesap makinası yuvarladı çünkü 4'e çok ama çok ama çok ama çok ama çok yakın bir sayı. Artı yönünden bir sayıyla da yapabiliriz. Aşağıdan ya da yukarıdan yaklaşsak, farketmez ulaşacağımız sayı aynı olacak. 2,1'in karesi, 4,4. 2,0001 alalım.2'ye çok daha yakın. Tabii karesi de 4'e çok daha yakın. 2'ye yaklaştıkça, 4'e de yaklaşıyoruz. Fonksiyon süreksiz olduğu için tam olarak 2 noktasında 1'e eşit olsada, x 2'ye her iki yönden de yaklaştıkça, fonksiyon 4'e yaklaşıyor.