Tam Diferansiyel Denklemlerin İspatlı Konu Anlatımı 1

Şimdi size tam diferansiyel denklemleri anlatacağım. Bu bir çeşit diferansiyel denklem çözme metodudur. Evet şimdi bunu yazalım . Tam diferansiyel denklemler. Size tam denklemin ne olduğunu göstermeden önce bir miktar altyapı vereceğim ki sonra ispata başladığım zaman ya da arkasındaki fikri verdiğim zaman, havadan gelmiş gibi gözükmesin evet. Şimdi farzedelim ki bir x ve y fonksiyonumuz olsun ve buna biz psi diyelim çünkü tam denklemler için bu terim kullanılır. Yani, psi x ve y nin fonksiyonudur. Belki kısmi denklemlere zincir kuralını uygulamayı bilmiyorsunuzdur, size göstereceğim ve biraz fikir de vericem, ama ispat etmicem. Şimdi bunun x e göre türevini alırsam,ki burda y, x in fonksiyonudur,bunu şu şekilde de yazabilirim evet y düzeltiyorum psi.Evet bunu da psi şeklinde yazabilirim, x ve y şeklinde, ve bu x in fonksiyonudur. Bunu tam bu şekilde yazabilirim. Bunlar aynı şeyi iki farklı ifade yollarıdır. Şimdi psi nin x e göre türevini alırsam ve bunlar sadece yapı taşları psi nin x e göre türevini alırsam türev eşittir bu kısmi türevleri kullanan zincir kuralıdır, İspat etmicem ama size genel bir fikir vericem. Böylece bu eşittir psi nin x e göre kısmi türevi artı psi nin y'ye göre kısmi türevi çarpı dy dx. Bu size biraz önsezi kazandırmıştır değil mi.? Bi şekilde x e göre türev alıyorum, ve eğer derseniz,ki diyemiceğinizi biliyorum, çünkü bu y'ye göre kısmi ve dy,aslında iki ayrı şeydir. Fakat bunları sadeleştirirsek, x e göre bir başka kısmi türev elde ederiz. Ve eğer bunları bi şekilde toplarsak, o zaman x e göre tüm türevi elde etmiş oluruz. Evet bu anlayış, bu size umarım biraz anlayış vermiştir. Yeni bir bakış açısı vermiştir.Şimdi burdaki şeyi, psi diyelim, ve psi herzaman bu şekli almaz,ama aynı bu metodolojiyi kullanarak psi yi daha karmaşik şekillere sokabiliriz. Diyelim ki psi, ama ben x ve y nin fonksiyonu diye yazmıcam., x ve y nin fonksiyonu olduğunu biliyoruz. Diyelim ki x in bir fonksiyonuna eşit psi ve biz buna f1diyelim, çarpı y nin bir fonksiyonu. Ve diyelimki böyle bir grup terim var. Böyle n tane terim var ve n inci terim x in n inci fonksiyonu çarpı y nin n inci fonksiyonudur. Psi yi bu şekilde taniımladım ki size bir önsezi vereyim. Şöyleki burda örtülü türev kullanırsam, eğer bunun x e göre türevini alırsam elde ettiğim şey tam buna benzer. O zaman psi nin de x'e göre türevi nedir? Birinci sömestirdeki kalkülüs dersinde örtülü türevleri öğrendiniz ya da umarım öğrenmişsinizdir. Evet şimdi sadece, çarpım kuralını uygulayacağız,tamam mı ? Böylece ilk terim, bunun x e göre türevini alacağız. Elde edilen, f1 in x türevi, çarpı ikinci fonksiyon yani g1 y cinsinden. Bunu ikinci fonksiyonun türevi, çarpı birinci fonksiyonun türevine ekleriz. Artı f1 x cinsinden, ki bu eşittir birinci fonksiyon çarpı ikinci fonksiyonun türevi. Şimdi ikinci fonksiyonun türevi eşittir bu fonksiyon y cinsinden olan. Bunu g1 üstü y cinsinden bu şeklinde yazabilirsiniz. Ama tabii,zincir kuralını uyguluyoruz. Onun için bu çarpı dy dx. Bu size biraz yabancı geliyorsa örtülü türev videolarını tekrar edebilirsiniz. Ama burdaki,şimdi yaptığım, burdaki ifade bunun x'e göre türevidir. Ve böyle n tane terimimiz var. Ve bunları toplamaya devam edersek, dikey olarak yapıcam. Artı,ve bunlardan bir grup var, ve sonuncusu da aynı gözükecek,sadece x üssü n'nin fonksiyonu. Burası fn üstü x cinsinden çarpı ikinci fonksiyon gn y cinsinden artı birinci fonksiyon fn x cinsinden çarpı ikinci fonksiyonun türevi. y cinsinden ikinci fonksiyonun türevi sadece y cinsinden g üstü çarpı dy dx e eşittir. Bu sadece zincir kuralıdır. dy dx Şimdi iki tane n terimi var. Burda n terimleri var, değil mi, ki her bir terim x cinsinden f çarpı y cinsinden g veya x cinsinden f1 çarpı y cinsinden g1 ve sonra da x cinsinden fn çarpı y cinsinden gn'ye kadar Şimdi bunların herbiri için, iki tanesini çarpım kuralını işlerken bulmuştuk. Eğer terimleri toplarsak, Eğer terimleri gruplarsak,içinde dx dy olmayan terimleri gruplarsak ne buluruz? Tüm bunları toplarsak,hepsini sol tarafa alalım, sadece yeniden düzenliyorum, elde ettiğimiz x cinsinden f1 üstü çarpı y cinsinden g1 artı f2 g2 x cinsinden fn üstü çarpı y cinsinden gn. Tüm bunların toplamı artı tüm bunların toplamı.İçinde dx dy olan terimler. Onları başka renk yapıcam. Tüm bu terimler başka bir renk olucak Başka bir parantezde yapıcam. Artı x cinsinden f1 y cinsinden g1 üssü ve dy dx i sonra yapıcam .Evet bunları dağıtıcağım. Artı ,n tane terimimiz var, artı x cinsinden fn y cinsinden gn üstü ve sonra tüm bu terimler dy dx ile çarpılır. Şimdi burda enteresan birşey var. Biz başta psi yi , burdakini, bunun gibi tanımladık, Ama bu yeşil terim nedir? Şimdi yaptığımız şu. Tüm bu terimleri aldık ve bu yeşil terimler onların x e göre alınmış türevleri oluyor. Çünkü eğer siz bunun sadece x e göre türevini alırsanız, o zaman y ye bağlı fonksiyon sadece bir sabit değer olur değil mi? O zaman bunun türevi x e bağlı f üstü çarpı y'ye bağlı g1 olur çünkü y'ye bağlı g1 sadece bir sabit değerdir. Ve böyle devam eder. Tüm bu yeşil terimler x e göre psi nin kısmi türevleridir. Biz y bir sabit değermiş gibi davrandık. Aynı mantığı kullanarak,eğer bunu göz önüne almazsak, sadece bu sağ tarafa bakarsak, bu nedir? Psi yi aldık, x in fonksiyonlarını birer sabit kabul ettik ve y'ye göre kısmi türev aldık. Bu nedenle üstler hep g lerde. Ve sonra bunu dy dx ile çarptık. Onun için bunu yazabilirsiniz, bu eşittir bunu yeşil yapıcam burayı. Bu yeşil psi nin x e göre kısmi türevi ile aynı şey. Artı , bu mor da ne, bu mor kısım? Başka bir renk yapayım, evet eflatun. Burdaki,psi nin y'ye göre kısmi türevi çarpı dy dx. Evet şimdilik size göstermek istediklerim bu videoda bu kadar çünkü zamanım dolmak üzere. Burdaki herhangi bir değişkene göre zincir kuralı, ama fonksiyondaki ikinci değişken aynı zamanda x e bağlı bir fonksiyondur, zincir kuralı şudur. Eğer psi x ve y ye bağlı bir fonksiyonsa , ve kısmi türev almıyorsam, psi nin x e gore türevini alıyorsam, türev eşittir psi nin x e göre kısmi türevi, artı psi nin y'ye gore kısmi türevi çarpı dy dx. y , x e bağlı fonksiyon olmasaydı, y ,x den bağımsız olsaydı o zaman dy dx 0 olurdu. Bu terim 0 olurdu. Psi nin x e göre türevi sadece psi nin x e göre kısmi türevi olurdu. Neyse şunu aklınızda tutmanızı istiyorum. Bu videoda bunu ispat etmedim ama ümit ederim ki bir fikir vermişimdir. Umarım aklınızı karıştırmadım. Bundan sonraki videolarda bu özelliği kullanarak tam diferansiyel denklemleri biraz daha anlamaya çalışacağız. Bu videoda size bu konuda bir fikir verdiğimi düşünüyorum. Daha tam denklemlerın size ne olduğunu tam olarak söylemedim, bir sonraki videoda görüşmek dileği ile.