Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler (Eski Video)

Bu noktada diferansiyel denklemlerin ne olduğunu bildiğinizi varsayarak birkaç tane çözmeye çalışalım. Size ilk olarak anlatacağım diferansiyel denklem grubu ayrılabilir denklemler olacak. Ve göreceksiniz ki aslında yeni bir şey öğrenmiyoruz. İlk senede öğrendiğiniz türev ve entegral bilgilerinizle ayrılabilir denklemleri çözebilirsiniz. Bu denklemlere ayrılabilir denmesinin nedeni şudur x ve y terimlerini ayırıp ayrı ayrı entegral alır ve denklemin sonucuna ulaşırsınız. İşte bu ayrılabilir. Ayrılabilir denklemler. Haydi birkaç tane çözelim de işin püf noktasını anlayın. Bunlar genelde cebir egzersizi olacak. İlk ayrılabilir denklemimiz şudur: dy bölü dx eşittir x kare bölü 1 eksi y kare, evet. Bu noktada bazı terimleri tekrar etmenin tam zamanıdır. İlk olarak bu diferansiyel denklemin derecesi nedir? Denklemdeki en üksek türev birinci dereceden olduğu için denklemin derecesi de 1 dir. Denklemin derecesi birinci derecedir. Adi denklemdir, çünkü sadece düzenli türev var kısmi türev yok. Peki doğrusal mı değil mi? Şimdiii bu doğrusala benziyor diyebilirsiniz. Türevi herhangi bir şeyle çarpmamışım. Ama dikkatle bakarsanız bazı enteresan durumlar olduğunu görürsünüz. İlk olarak y nin karesi var. y bir bağımlı değişken. y , x in fonksiyonu. Bu nedenle y nin karesini aldığımız için doğrusal olmuyor. Eğer bu herhangi bir y olsaydı, ve siz denklemin her iki tarafını da 1 eksi y ile çarpsaydınız ve bir önceki denklemde gösterdiğim şekle soksaydınız 1 eksi y nin karesi olurdu. Bu aslında yapmamız gereken ilk şey ,onun için bunu yazacağım. Şimdi denklemin her iki tarafını da 1 eksi y nin karesi ile çarparsak 1 eksi y nin karesi çarpı dy dx eşittir x kare. Şimdi hemen gördüğünüz gibi burada kare olmasaydı da y' yi, dy dx ile çarptığımız için yine doğrusal olmayacaktı. Çünkü bağımlı değişkeni kendi türevi ile çarpıyoruz. Bu da onu doğrusal olmayan denklem yapıyor. Neyse biz tekrar çözüme dönelim.Bu ilk adım. İki tarafı da 1 eksi y nin karesi ile çarpıyorum. En sonunda yapmak istediğim x'leri ve y'leri ayırıp iki tarafın da ayri ayrı entegralini almak. Şimdi yapmak istediğim ise bu denklemin her iki tarafını da dx le çarpmak böylece burada bir dx oluyor ve şuradaki dx den de kurtuluyoruz. Şuraya geleyim yer ziyan etmek istemiyorum, evet. 1 eksi y karesi dy eşittir x karesi dx. Böylece x ve y değişkenleri ve türevlerini ayırmış oldum. Tüm yaptığım denklemin her iki tarafını da dx ile çarpıp sonuca gitmek oldu. Şimdi her iki tarafın da entegralini alabilirim. Haydi bunu yapalım. Bir denklemin bir tarafına ne yaparsan diğer tarafa da aynısını yapmamız gerekir, değil mi? Bu düz denklemler için olduğu gibi diferansiyel denklemler için de geçerlidir. Her iki tarafın da entegralini alacağız. Bu ifadenin y ye göre entegrali nedir? Bakalım. 1'in entegrali y, y karenin entegrali,bakalım bu eksi y nin 3.üncü kuvveti bölü 3. Ben buraya artı c yazıp size bir şey göstereceğim. ama sizin aslında her iki tarafa da artı c yazmanız gerekmiyor. y' ye göre artı bir sabit diyelim. y entegrasyonu Bunu bir kalkülüs dersinde göremezsiniz ama bir noktaya değineceğim. Size göstereceğim şu ki bizim artı c biz geleneksel entegrallerimizi alırken de hiç yok olmamıştı. Ve bunun türevi nedir? Bu x in üçüncü kuvveti bölü üç. Bunun da x değişkeni nedeniyle artı c si olacak. Bunu niye mor yapıp böyle işaretledim? Çünkü denklemin bir tarafına artı c yazmak zorundasınız. Ve bu size mantıksız geliyorsa, cy'yi iki taraftan da çıkaralım ve y eksi ynin üçüncü kuvveti bölü 3 eşittir. X'in üçüncü kuvveti bölü 3 artı xin entegralini aldığımız zamanki sabit eksi y'nin entegralini aldığımız zamanki sabit. Bu iki sabit değer sadece iki sabit değer. Demek istediğim şu ki ne olduklarını bilmiyoruz. Rastgele iki değer. Onun için buraya genel bir c yazarız. Bir sabit olması lazım ama denklemin her iki tarafında olmasa da olur. Çünkü keyfi olarak seçiliyorlar. cx eksi cy de bir başka sabit değere eşittir. Eğer bu denklemi daha da basitleştirmek istiyorsak her iki tarafı da 3 ile çarparız böylece daha güzel gözükür. Böylece şu çıkar: 3y eksi y nin üçüncü kuvveti eşittir, x in üçüncü kuvveti artı buraya 3c yazabiliriz. Burada c yine rastgele bir sabittir. 3 çarpı herhangi bir sabit bir başka sabite eşittir. c yi buraya yazıyorum İşte çıktı. Bu diferansiyel denklemi çözdük. Gerçi şu anda biraz üstü kapalı bir şekilde ama bu şekilden çıkarmak biraz zor. c'yi tek tarafa koyarsak,çözüm 3y eksi y'nin üçüncü kuvveti eksi x' in üçüncü kuvveti eşittir c olur. Çözüm budur. Dikkat ederseniz çözüm tıpkı entegral aldığınız zamanki gibi cevap bu soruda üstü kapalı fonsiyonlar sınıfı Neden mi sınıf.. çünkü burada bir sabit değer var. Buraya koyduğun sayıya gore yeni bir çözüm elde edilecektir. Buraya koyacağımız herhangi bir sabit değer yukarıdaki başlangıçtaki diferansiyel denkleme de uyacaktır. Başlangıçtaki diferansiyel denklem buydu. Bu sabit değeri bulmak için,size bir başlangıç koşulu verilmesi lazım. Birinin demesi lazım ki, x 2 olunca y 3 olur. Ve sonra c yi bulacaksınız. Bize bir başlangıç koşulu veren bir örnek yapalım. Bu biraz, baştan başlayacağım. Net bir görüntü farklı renkler, evet yeterli alanım var. Bu ilki ynin x' e göre birinci dereceden türevi eşittir 3x kare artı 4x artı 2 bölü 2 çarpı y eksi 1. Bu bir parantez bu arada mutlak değer değil. Burada bize başlangıç koşulu veriyorlar. y' nin x 0 iken değeri eksi 1 dir. Bu diferansiyel denklemi çözünce ki bu bir ayrılabilir diferansiyel denklemdir. Bu başlangıç koşulunu kullanabilirsiniz. X 0 olunca y 1 olur,ve sabit değeri buluyorsunuz. İlk olarak bu denklemi ayıralım. Her iki tarafı da 2 kere y eksi 1 le çarpalım. 2 kere y eksi 1 çarpı dx dy eşittir 3x kare artı 4x artı 2 olur. Her iki tarafı da dx ile çarpalım.Evet, bu da aslında bir cebir egzersizi değil mi?. Bunu da dışarı çarpabilirim, 2 y eksi 2 olur, bu sadece dy olur. Her iki tarafı da dx ile çarptım.3x kare artı 4x artı 2 dx. Denklemleri ayırdım. Bağımsız değişkeni bağımlı değişkenden ayırdım, ve de ilgili türevlerini ve şimdi entegral alabilirim. Ve mor renkte entegral alıcam.Evet, mor entegral. Bu ifadenin y ye göre entegrali nedir? Evet, şimdi bakalım. y kare eksi 2 y dir.Artı c yazmayacağım,sadece sağ tarafta yapacağım. Bu, 3x kareye eşittir. Entegral eşittir x in üçüncü kuvveti artı 2 x kare artı 2 x artı c. Ve bu c her iki taraf için de sabit değer yerine geçer ki bunun neden böyle olduğunu ümit ederim ki son örnekten anlamışsınızdır. c' nin ne olduğunu bulmak için başlangıç koşulu olan y nin 0 daki değeri eksi 1dir bunu kullanabiliriz. Şimdi bakalım. x 0 olunca y eksi 1 oluyor. Böylece y yerine eksi 1 koyalım. Eksi 1 karesi eksi 2 kere eksi 1 ,bu y nin değeri oluyor, eşittir x eşittir 0 olduğu zaman. X 0 olduğu zaman,0 ın üçüncü kuvveti artı 2 kere 0 kare artı 2 kere 0 artı c. Bu bayağı basit. Bütün bunlar, hepsi 0. Bu, şimdi bakalım evet, eksi 1 karesi yani 1 eksi 2 kere eksi 1 bu da 2dir, eşittir c. c eşittir 3. Bu denklemin cevabı ,diferansiyel denklemin cevabı, hatırlarsınız ki bu bir sınıf olmayacak. Çünkü bize bir başlangıç koşulu verdiler. Cevap y karesi eksi 2 y eşittir x in üçüncü kuvveti artı 2 x kare artı 2x artı 3. c' nin ne olduğunu bulmuştuk. Eğer isterseniz bunu kareyi tamamlayarak daha açık bir şekilde yazabilirsiniz. Burası sadece cebir, evet. Tamamız. Bu örtülü şekli. Bunu açık şekle sokmak için her iki tarafa da 1 ekleriz. Kareyi tamamlıyorum. y kare eksi 2y artı 1 O tarafa 1 eklersek bu tarafa da 1 eklememiz gerekir, değil mi?, x in üçüncü kuvveti artı 2x kare artı 2x artı 4 olur. Her iki tarafa da 1 ekledim.Peki bunu neden yaptım? Çünkü bu tarafın y cinsinden tam kare olmasını istedim. Bu tarafı şu şekilde yazabilirim: y eksi 1 karesi eşittir x in üçüncü kuvveti artı 2x artı 4. O zaman diyebiliriz ki y eksi 1 eşittir artı yada eksi karekökü x in üçüncü kuvveti artı 2x kare artı 2x artı 4. Her iki tarafa da 1 eklersek, y eşittir artı yada eksi karekökü x in üçüncü kuvveti artı 2 x kare artı 2 x artı 4. Burada artı ya da eksi var ve birini seçmemiz gerekirse başlangıç koşuluna dönmemiz gerekir. Başlangıç koşuluna göre y nin 0 için değeri eşittir eksi bir. x in yerine 0 koyarsak, y eşittir 1 artı ya da eksi 0 artı 4. Yani 1 artı ya da eksi 4. Eğer bu eksi 1 e eşitse o zaman bu 1 eksi 2 olur. Evet, böylece başlangıç koşullarını karşılayan açık şeklimiz.Burada biraz fazla olduk. Artıdan kurtulabilirsiniz,1 eksi bütün bunlar. Bu başlangıç koşuluna uyuyor. Nerede uyduğunu bulabilirsiniz, hangi alanda uyduğunu. Bu terim pozitif olunca denklem doğru olur. Bu eksi olur ve gerçek sayılarda geçersiz olur, ve tüm bunlar. Neyse zamanım bitti. Bir sonraki videoda görüşürüz.