Evrişim (Konvolüsyon) ve Laplace Dönüşümü

o evrimine olduğu ile alakalı bir fikriniz olduğuna göre sıra size evrişim teoreminden bahsetmeye geldi bu noktada farklı evrişim teoremleri olabileceği için size bahsedeceğim teoremin diferansiyel denklemler ve lapras dönüşümü ile ilişkili olan evrişim Teoremi olduğunu hemen eklemek istiyorum Evet bu videolar Plus dönüşümlerine uygulanan evrişim Teoremi üzerine olacak Hadi bakalım bu teoreme göre elimizde bir efte fonksiyon olduğunu düşünelim bu fonksiyonun naplast dönüşümün Büyük Efes ile gösterildiğini biliyorsunuz bir fonksiyonu muz daha olduğunu düşünelim ve bu da GT olsun Bununla blas dönüşümü de büyük GS ye eşit olsun Şimdi bu iki fonksiyonun evrişim inin evet ev ve Ege'nin evrişim inin yine Tenin bir fonksiyonu olacağını da görmüştük bundan önceki videoyu düşünün hatırladığınız değilim sizde kostümü nevresim bu ve sonuçta yeni bir fonksiyon uydu Evet bununla Plus dönüşümü ci zaten teorem de bununla alakalı bu iki fonksiyonu nevresimin Atlas dönüşümü fonksiyonların lapras dönüşümlerinin çarpımına eşittir hemen o dediğin Büyük Efes çarpı büyük gez ilk gördüğünüzde bunun son derece soyut ve anlaşılması zor bir şey gibi göründüğünü Farkındayım bunun içinde Bir örnek üzerinden ilerlemek istiyorum Hatta isterseniz örneğimiz ters lapras dönüşümü ile alakalı olsun örneğe geçmeden size bir şey daha söylemek isterim bu eğer doğru ise bunun tersi de doğrudur demek istediğim evegen intenin bir fonksiyonu olan evre şimi renk değiştireceğim Evet Efes çarpı gesin ters lapras dönüşümüne eşittir işte böyle Peki bunu neden söyledim ter bu dönüşümü almayı biliyoruz öyle değilmiş Öyle diyeyim şimdi size bu ifadenin ya da fonksiyonun hemen yazayım Aşk etsin 2es bölü eskare artı birin karesi ne eşit olduğunu söylediğini düşünün uzun süren diferansiyel denklemler çözümlü sonunda böyle bir ifade bulup bunun ters Laplace dönüşümünü aldığımızı hatırlıyorsunuz değil mi şimdi a.ş. sinter slab las dönüşümünün neye eşit olduğunu bulmak istersek bunun ters Laplace dönüşümünün ne eşit olduğunu bulmamız gerekir öyle değil hemen yazıyorum 2es bölümü eskare artı birin karesi nin ters Laplace dönüşümü bunu bildiğimiz İkile ablas dönüşümünün çarpımı olarak yazabilir miyiz acaba deneyelim bunu Ah Bu arada buraya ters inatla dönüşümü yazmam gerekiyordu Evet şimdi olduk buraya bir daha değilim iki e s bölümü eskare artı birin karesi Nicky Çağrı bir bölümü eskare artı bir çarpıp Es bölümü eskare artı bir olarak da yazabiliriz Öyle değil mi paydaki ifadeleri çağır önce bir çarpı iki çarpı es2 eder bunların çarpımında eskare artı 1'in karesine eşittir bununla bu aynı ifade olduğuna göre bunun ters Laplace dönüşümünün neye eşit olduğunu bulmak için bunun ters Laplace dönüşümü de bulabiliriz böyle yazdığımda nereye varmaya çalıştığını daha net anlamış olduğunuzu düşünüyor Bunlar Eğer ayrı ayrı yazılmış olsalardı yani Mesela bunun büyük Efesi eşit olduğunu düşünelim Bu bir fonksiyonun lapras dönüşümü ise bu fonksiyonun hangi fonksiyon olduğunu bulabiliriz öyle değil ha etrafını şu şekilde çiğ var bunun sinüste nin Atlas dönüşüm olduğunu hatırlıyor olmalısınız benzer şekilde bunun da etrafını çiziyorum ve bu da Cosinüs teninle Plus dönüşümüdür O halde Bunun yerine Yani bunun ters tablas dönüşümü yerine evde eşittir sinüste yazabiliriz bu durumda Eğer bunun da genin Atlas dönüşümü olduğunu söylersek gtd kosinüs Teye eşit olur tersn Abbas dönüşümü alırken bu iki dışarıya da alabiliriz ve sonuç olarak bunun ters Laplace dönüşümünün Ya da şöyle yazayım aslına bakarsanız ikiye dışarıya almadan bunun tamamının etrafını çizim ve bunun büyük Efes'e eşit olduğunu düşünelim bu durumda evde iki çarpı sinüste ye eşit olur kafanızı karıştırmasın diye ikiyi buna dahil etmenin daha iyi olacağını düşünüyorum Evet Böylelikle t oy nefes ve gees çarpımı elde edebiliyoruz O halde bu ifade iki sinüste ile Cosinüs Tenin naplast dönüşümlerinin çarpımına eşit olur ve videonun başında bahsettiğim evrişim Teoremi de bize bunu söylüyor iki fonksiyonun Abbas dönüşümlerinin ters lapras dönüşümünü almak istersek yapacağımız ki aslında bildiğimiz şeylerle Bunlar arasındaki benzerliklerden yola çıkmak ve bunu neye eşit olduğunu bildiğim iki lapras dönüşümünün çarpımı olarak yazabilmek Bu ikisini üstenin Bu da kosünüs Tenin Atlas dönüşümü ve biz de bunları Efes ve gees olarak tanımladık o halde elimde bunun gibi bir ifade olduğunda ters Laplace dönüşümü alırsam orjinal fonksiyonları nevresimini bulur genin tersi ile After senin evrişim bunu veya istersen bakın efteni Nefesin bu ters Laplace dönüşümü olduğunu biliyoruz aynı şekilde gtd yeşille yazayım gtg senin ters lapras dönüşümüne eşit buradan yola çıkarak evrişim teoremini bu arada bu size yardımcı olmaktan çok kafanızı karıştıracak belki ama elimden geldiği kadar açık olmaya çalışıyorum burada kullandığım renkleri kullanırsam daha anlaşılır olabilir evet Efes çarpı g Esin ters Laplace dönüşümü buradaki evrişim teoreminin farklı bir şekilde ifade edeceğim bu Efes'in ters Laplace dönüşümü ve G Esin ters ne ya Plus dönüşümün evrişim i n eşittir evet faydalı olup olmadığını bilmiyorum yani Umarım olmuştur veya örnek üzerinden ilerlemeye devam edersek belki de olabilir bu Efes'e eşittir yazıyorum 2 bölü eskare artı bir ev bunu nefese ne var saymıştık vgs ise Es bölü eskare artı bir Bu arada bu yaptığım bu kesri Alışık olduğum iki kesrin çarpımı ifade etmekten başka bir şey değil Ve bu ikisini çarptığım zaman bunu yani ters Laplace dönüşümünü almaya çalıştığım ifade elde ediyor evrişim teoremine göre bunun ters lapras dönüşümü 2 bölü eskare artı 1'in ters Laplace dönüşümü ve Es bölü eskare artı bir intersil ablas dönüşümünü nevresimine eşittir bunların neye eşit olduklarını da biliyoruz size ne olduklarını da söyledim ama Zaten siz de bunların ne eşit olduklarını biliyorsunuz değil mi bu iki çarpı sinüste Evet senin isteğinin Atlas dönüşümü bir bölü Özkara artı bile eşittir sonra bir de buradaki iki ile çarparız ve bunu elde ederiz Bu ve bu ifadenin şu an Atlas dönüşümünü nevresimi de Heh Bu arada bununda Koşun üste olduğunu biliyoruz Sonuç olarak elde ettiğimiz de yazıyor ama burada yaptığımız gibi zaman zaman geri adım atıp yaptıklarımızı neden ve nasıl yaptığımızı araştırmanın son derece önemli olduğunu düşünüyorum sol üst köşedeki ifadenin ters Laplace dönüşümü yazıyorum 2es böyle eskare artı birin karesi nin ters l'atlas dönüşümü Evet bunun neye eşit olduğunu bulduk Bu arada bununda kıvrık bir parantez olması gerekiyor Evet eşittir Bu yani iki çarpı sinüste ve Cosinüs Tenin evrişim Tüm bunları yaparken ev işi mi ne demek olduğunu Aklımızdan çıkmış olabileceğinden isterseniz bunun neye eşit olduğunu da hemen bulalım evrişim in kullandığımız tanımını bir kere daha yazayım ev ve Ege'nin evrişim bu Tenin bir fonksiyon olacak ama ben kısa bir şekilde ifade etmek var bunun sıfır dante'ye evke eksi tavuğu çarpı GTA u d-town belirli integralini eşit olacağını biliyoruz ikisini TV kosünüs Tenin ev işi mi o zaman Nötr bir renk seçim sıfırdan ty2 sinüste eksi tavuğu çarpı kosinüs tau ve de tavuğun belirli integral i n eşittir eğer bundan önceki video izlediyseniz bunu ya da buna çok benzeyen bir ev resimin neye eşit olduğunu bulduğumuzda hatırlayacaksınız iki integralin dışına alalım ilki çağırdı sıfır dante'ye Evet sinüste eksi tau çarpı kosinüs tau de TAV Evet bir önceki videoda ney eşit olduğunu bulduğumuz evrişim bulduk Bu sinir bu ne ile kosünüs Tenin ev işi midir Ve bir önceki videoda bu arada Eğer o videoyu izlemediyseniz Şimdi de izleyebilirsiniz bunun 1/2 te sinüste ye eşit olduğunu bulmuştuk bu Eğer buna eşitse bunun ne Yaşı dolduğunu bulmak için bunu bir de 2 ile çarp mamız lazım bunu yapınca da 2es bölü eskare artı birin karesi nin ters Laplace dönüşümünün ikisini üst eve koşunuz teni nevresimine Yani iki çarpı buna eşit olduğunu buluruz bunu ikiyle çarparsa iki ve 1/2 bir birini götürür ve geriye T çarpı sinüste kalır bu kadar uzun işlemler sonucunda bunları yapmaya çalıştığınızda bu işlemlerin hepsini yapmak zorunda olmadığınızı da göreceksiniz ama önemli olanın bunu lapras dönüşümünün neye eşit olduğunu bildiğimiz iki ifadenin çarpımı olarak ifade edebilmek oldu Bu gördüğünüz diyeyim bunu lapras dönüşümün ne olduğunu bildiğimiz iki ifadenin çarpımı olarak ifade ettik Bu iki çarpısı üstenin Bu da kosinüs Tenin lapras dönüşü müydü Bu durumda da orjinal ifadenin ters Laplace dönüşümü bununla bunu nevresimine eşit oldu bundan önceki videoyu izlediyseniz Evrim hesabının kolay olmadığını ama yapılamayacak kadar da zor olmadığını görmüşsünüzdür yani tam olarak neye eşit olduğunu Bulamazsanız bile cevabı bir integral olarak bulabilirsiniz size evrişim teoremin ispatını yapmadım Bunu başka bir videoya bırakmak istiyorum ama bu video sayesinde ters lapras dönüşümünün nasıl alabileceğimiz konusunda size bir fikir verebildiğini Düşünüyor bu noktada ters Laplace dönüşümü almamızın ve bunu yapabilmek için de bir sürü özellik öğrenmemizin sebebinin lapras dönüşümünün bir falan siyel denklem çözümünün son adımı olması olduğunu bu eklemek istiyorum ya