Belirlenmemiş Katsayılar 2

Homojen olmayan denklemlere devam edelim. Aynı soruyu alalım, ama sağ tarafı değiştirelim. Çünkü homojen versiyonunun nasıl çözüleceğini bildiğinizi düşünüyorum. Geçen videoda yaptığımız gibi, y'nin ikinci türevi eksi 3 çarpı birinci türev eksi 4 çarpı fonksiyon. Bir önceki örnekteki homojen olmayan kısım, 3 e üzeri 2 x'ti. Üslü fonksiyonlardan sıkıldık artık. O yüzden, trigonometrik bir fonksiyon kullanalım. Eşittir ne diyelim ? 2 sinüs x, diyelim. İlk olarak, daha önce de yaptığımız gibi, homojen denklemi çözüyorsunuz. Sol tarafı 0'a eşitliyoruz. Karakteristik denklem, r kare eksi 3 r eksi 4 eşittir 0. r eşittir 4 ve r eşittir eksi 1 çözümlerini elde ediyorsunuz ve genel çözümü buluyorsunuz. Bunu bir önceki videoda yapmıştık. Homojen denklemin genel çözümünü elde ediyorsunuz. Buna homojen çözüm diyebiliriz. y homojen. c 1 e üzeri 4 x artı c 2 e üzeri eksi x. Bunun yanında, homojen olmayan denklemin de tekil çözümünü bulup, homojen çözümle toplamam gerekiyor. Bu tekil çözümün ikinci türevi eksi 3 çarpı birinci türevi eksi 4 çarpı fonksiyon, 2 sinüs x'e eşit olmak zorunda. Burada yine belirsiz katsayılar kullanacağız. Bir düşünelim, hangi fonksiyonu birinci ve ikinci türevinin katları ile toplarsam, sinüs x elde ederim? Birinci ve ikinci türevleri sinüs x verecek iki fonksiyon biliyorum. Sinüs x ve kosinüs x. Bu iyi bir tahmin. Belirsiz katsayılar yönteminde böyle tahminler kullanıyoruz. Bir tekil çözüm tahmininde bulunuyoruz ve belirsiz katsayılarını buluyoruz. Şimdi, y eşittir, bir katsayı çarpı sinüs x diyelim. Eğer sağ tarafta sinüs x olsaydı, buraya A çarpı sinüs 2 x derdim. Çünkü burada sinüs 2 x ve belki kosinüs 2 x'lerin kalmasını istiyoruz. Burada sinüs 2 x olsaydı, sinüs x'e ne yaparsak yapalım, sinüs 2 x elde edemezdik değil mi. ? Yani, burada ne varsa, şurada da onu istiyoruz. Artı B, bir başka belirsiz katsayı, çarpı kosinüs x. Yine, burada sinüs 2 x olsaydı, şurada da kosinüs 2 x olsun isterdik. Şimdi birinci ve ikinci türevlerini bulalım. Bunun birinci türevi, nedir ? Bunun birinci türevi y üssü eşittir A kosinüs x. Kosinüs x'in türevi, eksi sinüs. Yani, eksi B sinüs x. Ve, ikinci türev , buraya yazalım. İkinci türev neye eşit? Kosinüsün türevi eksi sinüs, yani eksi A sinüs x eksi B kosinüs x. Evet umarım, bir dikkat hatası yapmadım, diferansiyel denklem çözümünün en zor kısmı olduğunu şimdi görmeye başlamışsınızdır. Çözüm, bir sürü cebir ve basit düzeyde analiz içeriyor. Ama, esas olan, dikkat hatası yapmamak. Bunu her söylediğimde de dikkat hatası yapıyorum.Dikkatsizlik yapıyorum ama şimdi çok iyi odaklanacağım ve müthiş konsantre olacağım ve bunları homojen olmayan denklemde yerlerine koyacağız. Şimdi A ve B değerlerini bulmaya çalışalım. İkinci türev, bu. Ne yaptığımı anlamanız için, şimdi bunu baştan yazıyorum. İkinci türevi alıyoruz, y'nin ikinci türevi, eksi A çarpı sinüs x eksi B çarpı kosinüs x. Buna eksi 3 çarpı birinci türevi ekleyeceğim. Sinüslü terimleri ve kosinüslü terimleri alt alta yazacağım ki kafalar karışmasın. Eksi 3 çarpı bu. Artı 3 B sinüs x eksi 3 çarpı bu. Yani, eksi 3 A kosinüs x. Ve, eksi 4 çarpı orijinal fonksiyonumuz. Yani, eksi 4 A sinüs x. Öyle değil mi? Eksi 4 çarpı şu. Eksi 4 B kosinüs x. Sol taraftaki terimlerin tamamının toplamı, 2 sinüs x'e eşit. Terimleri bir satır boyunca yazabilirdim, ama kafanız karışmasın, diye böyle alt alta yazdım çünkü bu şekilde sinüs x ve kosinüs x'leri toplamak daha kolay. Hala kosinüs x diyemiyorum bu arada. Sinüs x'in katsayılarını toplayınca, eksi A artı 3 B eksi 4 A değil mi? eksi A artı 3 B eksi 4 A elde ederim. Yani, eksi 5 A artı 3 B sinüs x artı şimdi buradaki katsayılar neler? Eksi B eksi 4 B, yani eksi 5 B eksi 3 A. Eksi 3 A eksi 5 B kosinüs x. Kosinüs x buraya yazılacak. Peki, A ve B'yi nasıl bulurum? Eksi 5 A artı 3B, bu taraftaki sinüs x'in katsayısına eşit olmalı. eksi 5 A artı 3 B bu taraftaki sinüs x'in katsayısına eşit olmalı. Yani eksi 5 A artı 3 B eşittir 2. Eksi 3 A eksi 5 B, kosinüs x'in katsayısı. Bu ifade, sağ taraftaki kosinüs x'in katsayısına eşit olmalı. Sağ taraftaki kosinüs x'in katsayısı 0. İki bilinmeyenli iki denklem kuruyoruz. Doğrusal bir denklem sistemi, bu. Eksi 5 A artı 3 B eşittir 2. Eksi 3 A eksi 5 B eşittir 0. Bakalım, bunu sadeleştirebilecek miyiz. İki bilinmeyenli iki denklem. Üstteki denklemi 5 bölü 3'le çarpalım. Eksi 25 bölü 3 A artı 5 B eşittir 5 bölü 3 çarpı bu. 5 bölü 3 çarpı 2 eşittir 10 bölü 3. Alttaki denklem, eksi 3 A eksi 5 B eşittir 0. Şimdi iki denklemi toplayalım. 10 bölü 3, bunlar sadeleşir. Eksi 25 bölü 3 eksi 9 bölü 3 A eşittir 10 bölü 3. Sayılar biraz karışıyor, ama biz yine de devam edelim. Eksi 25 eksi 9. Eksi 25 eksi 9 nedir? 34. 34 bölü 3 A eşittir 10 bölü 3. İki tarafı 3'le çarpalım. 34'e bölelim. A eşittir 10 bölü 34, ikisinide ikiye bölersek 5 bölü 17. Şimdi de B'yi bulalım. Bakalım. Eksi 3 çarpı A, yani eksi 3 çarpı 5 bölü 17 eksi 5 B eşittir 0. Yani, eksi 15 bölü 17 eşittir 5 B. Bunu aldım ve sağ tarafa taşıdım. İki tarafı 5'e böldüm. Burada bir dikkat hatası yaptığımı fark ettim. Eksi 25 eksi 9. Eksi 34 bölü 3. Yani, eksi 34 A eşittir 10. Biz biraz önce eksi 34 demedik. A eşittir eksi 10 bölü 34 veya eksi 5 bölü 17. Yani, eksi 3 çarpı eksi 5 bölü 17. 15 bölü 17 eşittir 5B, öyle değil mi? Buradan da, B eşittir 3 bölü 17 elde ettik. Bayağı karışık bir sonuç çıktı. Dikkat ederseniz, eksi işaretlerini tutabilmek, işin en zor tarafıydı. Neyse, denklemin tekil çözümünü elde etmiş olduk. Tekil çözüm, A, eksi 5 bölü 17 sinüs x öyle değil mi? Sinüs x'in katsayısı buydu artı B, artı 3 bölü 17 çarpı kosinüs x. Orijinal soruya bakarsak, homojen olmayan denklemin genel çözümü şöyle olur homojen denklemin şuradaki genel çözümü artı, belirsiz katsayılar yöntemiyle bulduğumuz tekil çözüm. Bunu şuna eklersek, denklemi çözmüş oluruz ve yine çok uzatmışım. Bir sonraki videoda görüşmek dileği ile.