Karmaşık Sayıların Modülü (Mutlak Değeri)

3 ekis 4 i karmaşık sayısını karmaşık düzlemde işaretledik. Gerçek bölümün 3 olduğunu görüyoruz, bu sebeple gerçek sayıların bulunduğu yatay düzlemde 3'ü işaretledik. İmajiner kısım ise eksi 4, bu sebeple dikey eksende de aşağıya doğru 4 birim saydık ve işaretledik. Bu noktamız tam burası 3 eksi 4 i noktası. 3 eksi 4i'nin mutlak değerinin ne olduğunu düşüneceğiz. İsterseniz mutlak değerin ne olduğunu kısaca hatırlayalım: Gerçek veya karmaşık bir sayının sıfır noktasına olan uzaklığı. Yani 3 eksi 4i'nin mutlak değeri, karmaşık düzlemin başlangıç noktası olan sıfır ile bu nokta arasındaki uzaklık olacak. Burada çizdiğim uzaklık, bu uzaklık 3 eksi 4i'nin mutlak değerine eşit olacak. Bunu nasıl düşünebiliriz? Bunu düşünmenin yollarından birtanesi, dik üçgen olarak ele almak, konuyu dik üçgen olarak ele almak ve sonra pisagor teoremini kullanmak. O zaman hemen bir dik bir üçgen oluşturalım. Burası üçgenimizin yüksekliği olsun burası 4 birim. Üçgenimizin tabanı ise sıfırla üç arasındaki uzaklık yani 3. Burası dik açı, burası yatay çizgi burası da dikey çizgi. Şimdi pisagor teoremini kullanarak 3 eksi 4i 'nin mutlak değerini bulabiliriz. Mutlak değer, bu nokta ile sıfır arasındaki uzaklık olacak. Yani bu dik açılı üçgenin hipotenüsü. O zaman şimdi pisagor teoremini kullanalım ve mutlak değerimizi bulalım. Bu kenarın karesi artı bu kenarın karesi 3 eksi 4i'nin mutlak değerinin karesine eşit olacak. 3'ün karesi artı 4'ün karesi eşittir 9 artı 16 yani 25. 25 eşittir 3 eksi 4i'nin mutlak değerinin karesi. Bir sayının mutlak değerinin pozitif olduğunu biliyoruz çünkü mutlak değer sıfıra olan uzaklığı ifade ediyor ve bir uzaklıkda negatif olamaz değil mi. Dolayısı ile eşitliğin bu tarafının, 25 sayısının da pozitif kökünü kullanacağız. Şimdi iki tarafın da karekökünü alalım. 25'in pozitif karekökü 5'tir bu da eşittir 3 eksi 4i'nin mutlak değeri. Başka bir şekilde söyleyecek olursak,bu ifade 5'e eşit olacak. Buradaki uzaklık 5 olacak. Bunu çizmeden, sadece düşünebiliriz. Sayımızın gerçek kısmı ve imajiner kısmı var. Bu iki kısmın karelerini alabilir, toplayabilir ve toplamın karekökünü alabilirim. Eğer bunun hepsini çizmek istemezseniz, bu kısa yolu da kullanabilirsiniz, ama nereden geldiğini mutlaka hatırlayın. Gerçek kısmın karesini aldık imajiner kısmın karesini aldık, bunları topladık ve toplamın karekökünü aldık. 9 artı 16'nın toplamının karekökü. Bu da 5'e eşit.