Vektör Toplamlarının Büyüklüğü

3 tane vektörümüz var, a, b ve c vektörleri. a vektörü artı b vektörü, c vektörüne eşit. Şimdi, bunun üzerinden size bazı sorular sorayım. Bir tanesi şu, c vektörünün büyüklüğünün, a vektörünün büyüklüğü artı b vektörünün büyüklüğüne eşit olduğu bir senaryo yaratabilir misiniz? Diğer sorumuz da şu, a, b ve c vektörlerini kullanarak, c vektörünün büyüklüğünün, a vektörünün büyüklüğü artı b vektörünün büyüklüğünden daha büyük olduğu bir senaryo olur mu? Öyle a ve b vektörleri bulun ki, bunları topladığınızda, büyüklüklerinin toplamı, toplam vektörünün büyüklüğüne eşit olsun. Ve yine, öyle a ve b vektörleri seçin ki, toplam vektörünün büyüklüğü, bu iki vektörün büyüklüklerinin toplamından büyük olsun. Evet, biliyorum, ilk bakışta, ilk duyduğunuzda biraz karışık gelmiş olabilir ama cevap çok basit, azıcık düşündüğünün ve cevabı kolaylıkla bulacaksınız. Hatta buldunuz, değil mi? İkinci senaryo biraz başınızı ağrıtmış olabilir ama bunun da üstesinden geldiğinize eminim. İsterseniz bazı vektörler çizerek başlayalım. Mesela, a vektörü böyle olsun, b de böyle. a artı b’yi bulmak için ne yapıyoruz? b vektörünü kopyalıyoruz, şuradan kopyalıyoruz ve a’nın bitiş noktasına yapıştırıyoruz. Bu durumda, a artı b, yani c, böyle bir şey olur, değil mi? Bu 3 vektörün her zaman bir üçgen oluşturacağını fark ettiniz, değil mi? Ve eğer bir üçgeniniz varsa, 1 kenarın, diğer iki kenarın toplamından daha uzun olamayacağını, biliyorsunuz. Ya da bilmiyorsunuz. Fark etmez, bilmiyorsanız da, bir düşünün. Eğer bu kenarın daha uzun olmasını istiyorsanız, bu kenarı, bu ucundan, dışarıya doğru ittirebilirsiniz. Yani b vektörünü değiştirerek, c vektörünü uzatabilirsiniz. Mesela, b vektörü bu olursa, c vektörü baya uzun olur ama yine de, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamından kısadır. Üçüncü kenarın uzunluğunun, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamına eşit olması için, bu iki vektörün aynı yönde olması gerekir. a vektörü bu şekildeyse, b vektörünün yönünü değiştirmeniz, ya da, a ile aynı yönde olan bir b vektörü oluşturmanız gerekir. İşte ancak bu durumda, c vektörünün büyüklüğü, a ve b vektörlerinin büyüklerinin toplamına eşit olur. Kısacası, toplam vektörü, maksimum büyüklüğünü, ancak ve ancak vektörler aynı yöndeyken alır. Evet buraya, aynı yönde olmaları gerekir diye not düşebiliriz. Peki ya bu? Az önce gördüklerimize dayanarak, bunun imkansız olduğunu söyleyebiliriz. Nedenini tekrar edelim. Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu hiçbir zaman, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından büyük olamaz. Bir de şu senaryoya bakalım. Toplam vektörün büyüklüğü, bu iki vektörün büyüklüklerinin toplamından küçük olsun. Olabilir mi? Tabi ki! Zaten hemen hemen her zaman bu durum budur. Bu, vektörlerin aynı yönde olmadığı her durumda doğrudur. Mesela birisi böyle bir vektör çizse, daha düz çizmesi gerekirdi... Bir tane de böyle. Bu iki vektörün yönleri aynı olmadığı için, toplam vektörünün büyüklüğü, bu iki vektörün büyüklüklerinin toplamından küçük olur. Eğer bu vektörün büyüklüğü 5, bunun da 3’se, toplamları, ne olacağını hemen gösteriyorum, şöyle kopyala, yapıştır. Bir saniye, kesip yapıştırayım, görüntü kirliliği olmasın. Kes, yapıştır. Bu drurmda, toplam vektör, bu ve büyüklüğü de, 5 artı 3’ten yani 8’den küçük olur. Büyüklüğün maksimum değeri olan 8’e ulaşmasının tek yolu ise, bu iki vektörün yönlerinin aynı olmasıyla mümkündür.