Ana içerik
Konu: Geometri (tüm içerik) > Ünite 7
Ders 9: İleri Düzey Üçgenlerin AlanlarıBir Dikdörtgenin Köşegenlerinden Oluşan Üçgenlerin Alanları Eşit Olur
Salman'ın bir dikdörtgenin köşegenlerinin oluşturduğu üçgen çiftlerinin alanlarının eşit olduğunu ispat etmesini izleyin. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.
Tartışmaya katılmak ister misiniz?
Henüz gönderi yok.
Video açıklaması
Bir dikdörtgenimiz olduğunu ve iki köşegenimiz olduğunu varsayalım. Bu dikdörtgenin yüksekliğine de "y" diyelim. Genişliği ise "g" olsun. Bu videoda buradaki dört üçgenin alanlarının eşit olduğunu göstereceğiz. İspat edeceğiz. Bu dikdörtgene baktığınızda aşağıdaki ve yukarıdaki üçgenlerin alanlarının eşit olduğu zaten çok açık. Genişlikleri birbirine eşit uzunlukları aynı çünkü buradaki yükseklik tam olarak dikdörtgenin yüksekliğinin yarısı kadar. Bu iki üçgen simetrik yani eşit iki üçgen. Aynı şekilde sağ ve soldaki üçgenlerin birbirine eşit olduğunu da rahatça anlayabiliriz, değil mi? Peki alt ve üstteki üçgenlerle sol ve sağdaki üçgenler eşit mi? Peki bu üçgenlerin alanlarını hesaplayalım o zaman. Önce alt ve üstteki üçgenlerden başlayalım. Bir üçgenin alanı 1 bölü 2 çarpı üçgenin tabanı çarpı üçgenin yüksekliğine eşittir, değil mi? Şimdi bu formülü kullanarak üçgenin alanını hesaplayalım. Alttaki üçgenin tabanı "g". Yani 1 bölü 2 çarpı "g". Ve bir de yükseklik var. Alttaki ve üstteki üçgenlerin yüksekliklerinin dikdörtgenin yüksekliğinin yarısı olduğunu zaten söylemiştik. Yani 1 bölü 2 çarpı "y". Elimizde 1 bölü 2 çarpı, 1 bölü 2 çarpı, "y" çarpı "g" var. Yani 1 bölü 4 çarpı "y" çarpı "g". Şimdi bunun sağ ve soldaki üçgenlerin alanına eşit olup olmadığına bakalım. Eğer bu üçgene bakarsak buradaki uzunluğun "y" ye eşit olduğunu görebiliriz. Peki üçgenlerin yüksekliği ne olur? Bu üçgenlerin yüksekliği "g" nin yarısı olur değil mi? Buradaki nokta dikdörtgenin tüm kenarlarının orta noktası. Yani buradaki uzunluk 1 bölü 2 çarpı "g". Yani bu iki üçgenin yüksekliği dikdörtgenin genişliğinin 1 bölü 2'si kadar. Üçgenimizin yüksekliği "g" nin 1 bölü 2'sine eşitti. Yani üçgenin alanı 1 bölü 2 çarpı, 1 bölü 2, çarpı "y", çarpı "g". Yani kısaca 1 bölü 4 çarpı "y" çarpı "g". Yani sağ ve soldaki iki üçgenin alanı alt ve üstteki üçgenlerin alanına eşit. Bu yüzden şekildeki her bir üçgenin dikdörtgenin alanının dörtte birine eşit olduğunu söyleyebiliriz. Evet, umarım eğlenmişsinizdir.