Nokta ile Doğru Arasındaki Uzaklık ve Açıortaylar

Bu videoda açı ortaylardaki noktalar üzerine biraz daha konuşacağım ama öncelikle bir nokta ile bir doğru arasındaki mesafeden tam olarak neyi kastettiğimizi anlamanızı istiyorum. Diyelim ki bu A noktası. Burada da bir doğru var. BC doğrusu olsun. Eğer iki nokta arasındaki mesafeyi alıyorsanız basit bi şekilde, bir noktadan diğerine bir doğru çizersiniz ve bu doğrunun uzunluğunu bulursunuz. İki nokta arasındaki uzunluk çok kolay anlaması çok kolay. Peki ya bir nokta ve doğru arasındaki uzunluk nasıl olacak. Çünkü bir doğru üzerinde sayısız nokta vardır. Belki siz bu uzunluğu bulacaksınız ya da bu uzunluğu ya da şuradaki uzunluğu ve bu uzunlukların hepsi de birbirinden farklı olucak. O zaman nasıl tek bir uzunluğumuz olabiliyor? Buradaki düşünce sistemimiz şu, bunu ayrıca ileriki matematik derslerinde özellikle cebir ve vektörlerde göreceksiniz bir nokta ve doğru arasındaki mesafe en kısa mesafedir. Ve bu en kısa mesafe, noktadan doğruya dik olarak indirilir. Bu uzunluk nokta ve doğru arasındaki mesafe ve de doğruya dik. Bu mesafenin en kısa mesafe olduğunu görebilmek için doğru üzerindeki başka bir noktaya bakın. Doğru üzerinde bir nokta alalım. E noktası diyelim buna. Bu rastgele bir nokta. E'yi buraya da çizebilirdim. Buraya ya da ya da başka bir yere farketmez. E'yi nereye konumlandırdığınıza bakmaksızın eğer A ve E arasında bir doğru parçası oluşturursanız bir dik üçgen oluştuğunu göreceksiniz. A noktasından E ve dikmenin bulunduğu noktaya, F noktası olsun bir üçgen oluşuyor. Bu noktaya F diyelim. Her zaman E ve F noktalarının farklı olduğunu kabul ederek bir dik üçgen çizmelisiniz. Bu durumda d uzunluğunun turuncu uzunluktan daha uzun olduğunu göreceksiniz çünkü turuncu olan hipotenüs. Hipotenüs her zaman üçgenin en uzun kenarıdır. d kare ve bu uzunluğun karesini aldığınız zaman hipotenüsün karesini de elde edersiniz. Umarım bu size neden dikme indirdiğinizde bir nokta ve doğru arasındaki en kısa mesafeyi elde ettiğinizi anlamanız konusunda biraz yardımcı olmuştur. bunu dışında açı ortaylarla ilgili biraz daha düşünelim. Buraya bir açı çizelim. Bu A noktası olsun. B noktası ve C noktası. Açı ortay aslında bir açıyı iki eş açıya bölen bir doğru, doğru parçası ya da ışındır. Daha önce bununla ilgili konuşmuştuk. Örneğin ABC açısını bölmek istiyoruz. Yani bu açıyı iki eş açıya bölmek istiyoruz. Burası D noktası olsun. Bu bir ışın ya da doğru parçası olabilir. Artık DBC ve DBA açılarının eşit olduğunu biliyoruz. DB'nin ABC açısını böldüğünü söyleyebiliriz. DB doğru parçası, üstündeki çizgiyi ışın ya da doğru da yapabilirdik ABC açısını ikiye bölüyor. Bu kadarı yeterli. Nokta ve doğru arasındaki mesafeyi anlatan bu videoyu hazırlamamın sebebi açı ortaydaki her bir noktanın açının kenarlarına eş uzunluk uzaklıkta olduğunu göstermek. Sonra da tam tersinden gideceğiz. Açının kenarlarına eşit uzaklıktaki her nokta demek ki açı ortayın üzerindedir. Açı ortay üzerinden herhangi bir nokta alalım. Bu noktayı alalım. E noktası olsun. E noktası açı ortay üzerindeki herhangi bir nokta. E noktası ve BC doğru parçası ve E noktası ile BA doğru parçası arasındaki mesafeye şimdi bakalım. Önceden de söylediğimiz gibi bir doğru ve bir nokta arasındaki en kısa mesafe bir dikme indirdiğiniz zaman oluşur. Buraya bir dikme indirelim. Bu biri, diğerini de çizelim. Kanıtlamak istediğim şey E ve BC arasındaki bu turuncu çizgi ile E ve BA arasındaki bu çizginin eşit uzunlukta olduğu. Öncelikle aynı açıyı paylaşan iki üçgenimiz olduğunu görmemiz gerekiyor. İkisi de aynı açıya sahipler, paylaşmıyorlar ama ABE açısı ve CBE açısı birbirine eşit. DB bu açıyı ikiye böldüğü için eşit olduklarını biliyoruz. İkisi de dik üçgenler oldukları için aslında iki eş açıları var. Bu da 3 tane eş açıları olması demektir. Ayrıca bu kenarları da ortak. 3 tane eş açıları var ve bir ortak kenarları var. BE iki üçgenin de hipotenüsü. Bu üç açı ve kenara bakarak bu iki üçgenin eş olduğunu söyleyebilirsiniz. Birkaç noktayı isimlendirelim. EBF ve EBG üçgenlerinin eş olduklarını söyleyebiliriz. Açı Açı Kenar eşitliğini kullanarak yöndeş açılar eşit ise üçüncü açının da eşit olduğunu biliyoruz. Bu açı da aynı olabilirdi ve Açı Kenar Açı benzerliğini kullanabilirdik ama iki türlü de iki üçgen eş olacak. Eğer iki üçgen eş ise o zaman karşılıklı kenarları da eş olur. O zaman da EF doğru parçası EG doğru parçasına eş eşit olacaktır. EF'nin uzunluğu ile EG'nin uzunluğu birbirine eşittir. Ve bu iki doğru parçası iki kenarın da nokta ile arasındaki mesafeler. İlk durumda bir nokta açı ortay üzerinde yer alıyorsa açının iki kenarına da eşit uzaklıkta demiştik ve bunu kanıtladık. Şimdi tam tersinden gidelim. Bir açı daha çizeyim A,B,C. Herhangi bir E noktası seçelim. E noktasının BC ve BA doğru parçalarıne eşit uzaklıkta olduğunu varsyarak başlıyoruz. Ve kanıtlamak istediğimiz, E noktasının açı ortay üzerinde olduğu. Burada açı ortay üzerindeyse kenarlara eşit uzaklıkta olduğunu gösterdik burada da kenarlara eşit uzaklıkta ise açı ortay üzerinde olduğunu göstereceğiz. Eğer E noktası BC ve BA kenarlarına eşit uzaklıkta ise bu dikme ile bu dikme birbirlerine eşit olacaktır. Noktaları isimlendirelim. D ve F noktaları. Buraya BE doğru parçasını çizelim. Eğer iki dik üçgenimiz varsa biliyoruz ki iki kenarı birbirine eşittir. İkisi de aynı hipotenüsü paylaşıyorlar. Pisagor teoreminden bildiğimiz gibi eğer bir üçgenin iki kenarını biliyorsak üçüncüyü de bulabiliriz. İkisinin de iki kenarı birbirine eşit. O zaman üçüncü kenar da eşit olmalı. Böylece Kenar Kenar Kenar benzerliğinden bu iki üçgenin eş olduğunu gösterebiliriz. Ya da bir dik üçgende birbirine eşit bir kenar çifti ve eşit hipotenüsler varsa bu şekilde de eşliği kanıtlayabilirsiniz. Her iki şekilde de EBD ve EBF üçgenlerinin eş olduğunu biliyoruz. Kenar Kenar Kenar benzerliğini kullanabilirsiniz ama Açı Kenar Kenar benzerliğiyle de bunu gösterebilirsiniz. Eğer bir dik üçgenin iki kenarı eşit ise bu üçgenler kesinlikle eştir. Ve biliyoruz ki eğer iki üçgen eş ise karşılıklı açıları da eşittir. Ve bu durumda EBD açısı EBF açısına karşılık geliyor. EBD ve EBF açılarının eşit olması gerektiğini biliyoruz. Eğer bu iki açı eşit ise bu demektir ki EB doğrusu CBA açısını ikiye bölmektedir ve işte bitti.