Boş Uzay'ın Dik Tümleyeni

Bir A matrisim var. Birkaç video önce satır uzayının devriğinin sütun uzayıyla aynı olduğunu öğrenmiştik. Bu, A'nın satır uzayı. Bunun dik tümleyeni, yani buna dik olan tüm vektörlerin kümesi, A'nın boşuzayıdır. A ile A'nın devriğini değiş tokuş ederseniz, A'nın sütun uzayının dik tümleyeninin de A'nın soldan boşuzayına eşit olduğunu öğrenmiştik. Bu da A'nın devriğinin boşuzayıdır. Terminolojiyi anlamak için, soldan boşuzayın A'nın devriğinin boşuzayı olduğunu yazabiliriz. Şimdi A'nın boşuzayının dik tümleyeni nedir? A'nın satır uzayı olarak tahminde bulunabilirsiniz, ama bir önceki videoya kadar bunu bulmak için gerekli bilgilere sahip değildik. Bir önceki videoda şöyle yazayım dik tümleyenin dik tümleyenini aldığımızda, başlangıçtaki altuzayı elde ettiğimizi gördük. Şimdi ne yapalım? A'nın boşuzayının dik tümleyenini alıyoruz. A'nın boşuzayı burada. Bu eşittir A'nın boşuzayının dik tümleyeni. Ama A'nın boşuzayını şöyle belirtmiştik. Satır uzayının dik tümleyeni olarak belirtmiştik. Yani dik tümleyenin dik tümleyenini alıyoruz. Bir önceki videoda öğrendiğimiz özelliği kullanabilir ve bunun A'nın satır uzayına eşit olduğunu söyleyebiliriz. Bu da A'nın devriğinin sütun uzayıyla aynıdır. Yani satır uzayının dik tümleyeni boşuzaydır ve boşuzayın dik tümleyeni de satır uzayıdır. Bu tarafta da aynı özelliği kullanabiliriz. A'nın soldan boşuzayının dik tümleyeni nedir? Bu nedir? Bu da bunun dik tümleyenine eşit olacak. Çünkü A'nın soldan boşuzayı buna eşit. Yani sütun uzayının dik tümleyeninin dik tümleyenini alıyoruz. Ve bir önceki videoda öğrendiğimize göre, dik tümleyenin dik tümleyenini aldığınızda orijinal altuzayı elde edersiniz. Yani bu, A'nın sütun uzayına eşittir. Burada güzel bir simetri gözlemliyoruz. Boşuzay, satır uzayının dik tümleyeni ve satır uzayı da boşuzayın dik tümleyeni. Aynı şekilde soldan boşuzay da sütun uzayının dik tümleyeni. Ve sütun uzayı da soldan boşuzayın dik tümleyeni. Bir önceki videoda öğrendiklerimizi kullanarak bu simetrik özellikleri ispatlayabildik. Güzel...