Düzlem Denklemindeki Normal Vektör

eğer bu video ile bize bir düzlemin denklemini verdiklerinde bu düzlemin normal bekliyor ürünü nasıl bulacağınızı bildiğimizden emin olmak istiyorum şimdi hemen bir düzlem ele alalım evet bu düzlemin bir parçası düzlemler her yöne uzayıp gidiyor öyle diyeyim evet bu düzlemin bir parçası olsun bu da düzleme normal olan bir vektör ayy artı dj artı c k olarak tanımlayalım evet düzleme normal olan vektör normal vektörün düzleme dik olduğunu söylememe herhalde gerek yok değilim her neyse bu back 4 yüzden üzerinde yer alan diğer tüm vektörleri diktir bir de bu düzlem üzerindeki noktalardan birini bildiğimizi düşünmedim koordinatları da xp ypm zp olsun orijin içinde önce eksenleri çizdiğim değil mi evet eksenleri mizin de bu şekilde olduklarını düşünelim bu sene ekseni buy ev bu xx şu şekilde uzatayım bu noktayı bir konum vektörü ile de tanımlayabiliriz öyle değil mi söz konusu olan konum vektörünü de bu şekilde çiziyor bu kısmı düzlemin arkasında kalacak bu eğer bir konum vektörü ise bunu da ise beee artı yepeje artı zp k olarak tanımlayabiliriz bu vektör düzlem üzerinde yer alan bu noktayı tanımlıyor isterseniz bir isim de verelim evet bu konum vektörünün ismi de mesela p1 olsun evet güzel bir isim bu düzlem üzerindeki nokta bu da p bir vektörü wp bilmek gördü de buna eşit şimdi düzden üzerinden farklı bir nokta daha seçmek istiyorum bu belirli bir nokta ama şimdi seçeceğim düzlem üzerindeki noktalardan herhangi biri olabilir evet bu ix7 ezen ok tası düzlem üzerinde mesela burada en son benzer mantıklı bu noktanın da başka bir konum vektörü ile tanımlayabileceğimiz söyleyebiliriz bu vektörün de bu şekilde çizim mehmet kesikli çizgi ile çiziyorum çünkü düzlemin altından geliyor bu vektörün de belirli konum vektörü olan p1 gibi değil de sadece p olarak adlandıran ve eşittir eksi artı yiyece artı zeka yazıyorum tüm bunları çizmiş olmamın sebebi bana düzlem üzerinde yer aldığını bildiğin belirli bir nokta ve herhangi bir iki siyezen noktası verildiğinde bu düzlem üzerinde yer aldığından emin olduğum bir vektör elde edebilirim öyle değil mi ve daha önce düzlemin denkleminin ne olduğunu bulmaya çalışırken buna benzeyen şeyler de yapmıştık düzlem üzerindeki beddar bu iki vektörün farkına eşittir hemen yazıyorum sarı vektör eksi yeşil vektör bu iki noktayı birleştiren vektörü verir öyle değil mi vektörleri bir miktar öteleme miz gerekecek ama sonuç olarak elde 34 kesinlikle bu düzlem üzerinde yer alacaktır evet bu iki noktanın birinden başlayacak ve buna benzeyen evet böyle bir vektörden bahsediyorum ve düzlem üzerinde bir vektör düzlem üzerindeki v4p eksi p1 eşittir hemen yazıyorum peeks ip h1 ya da bu konum vektörü ile bu konum vektörünün farkı bize bu vektörü verir isterseniz yeşil konum vektörü ile mavi ve görün toplamının sarı konum vektörü eşit olduğunu da düşünebilirsiniz başlangıç ve bitiş noktalarını birleştirdiğimizde bu vektörel de ederiz ve şimdi de bu mavi vektörle pembe vektörü nokta çarpımını alabiliriz sonucun sıfır olacağını da biliyoruz neden mi çünkü bu dört düzlem üzerinde diğeri de düzleme dik evet bu yüzden ilk oldukları için sonuç sıfır olacak ve biz de düzlemin denklemi elde edeceğiz işlemlere geçmeden mavi vektörün bileşenlerin bu istiyorum peeks ipe bir yani mavi vektör bunların bileşenlerinin farkı öyle değil mi yani ilk seksi xp çarpı iyi artı ye eksiye p çarpıcı artı zexes e p çarpı kabul vektörün düzlem üzerinde olduğunu biliyoruz demiştik normal vektörü de düzleme dik olduğu için bunların ikisinin nokta çarpımları sıfıra eşit olacak bunu da yazıyım ne ile peeks ipe bir nokta çarpımı sıfıra eşit olacak ama aynı zamanda bununla bunun çarpımına da eşit güzel bir renk seçim ha çarpı bu yani aeksi aix be artı be çarpı bu yani bey'e eksi b y b artı c çarpı bu yani cz eksik csp eşittir sin şimdi de bunu bir daha yazmak istiyorum kullanmadığım bir renk bulursam da ne olacak ilk siz terimleri alayım bu arada düzlem üzerindeki herhangi birisinin bunu sağlayacağını da eklemek istiyorum ama exe bey'e ve cz bunları sağ tarafta bırakmak istiyorum aaax artı bey'e artı c z eşittir bunları iki taraftan çıkarınca ama bir saniye çok hızlı ilerliyorum değil mi adım adım yapayım son tarafa taşımak için iki tarafa ait beklemem lazım aix be artı aynı yeşili bulayım evet b y b artı c zp buna eşit olacak bundan önceki videolarda düzlemin denklemini bulmak için bunu yapmıştık yani elimizde normal vektörü ve koordinatları xp ypv zp olan bir nokta olduğunda denklemi bulmak için çok kısa bir yol bulmuştuk ama ben bu defa bunun tersini yapmak yani bize bir düzlemin denklemi verildiğinde hemen not edeyim haax artı bey'e ara bu beze eşittir de bu düzlemin denkleminin genel ifadesidir evet bize buna benzeyen bir denklem verdiklerinde bunu kullanarak normal vektörünü bulmak istiyorum peki bunu nasıl yapabiliriz dersiniz bakın buradaki aix artı bey'e artı cezvenin buna çok benzediğini görüyorsunuz değil mi daha iyi anlaşılması için bir daha yazayım ama exe artı bey'e artı c z eşittir sol taraftaki ileride bu tarafa yazayım başka bir değişle denklemin taraflarını değiştirdim ama şimdi bu anın buna bu beğenin buna ve bu ceninde bu j e eşit olması gerektiğini görüyorsunuz demimde hisse tüm buna yani bir sayıya eşit olacak normal vektörü ne olduğunu a b ve c lerin ne olduğunu bildiğiniz de ve elinizde de belirli bir diğer olduğunda bunun bir sayıya eşit olacağını biliyor olmalısınız bu bu nedir düzleminde eklemini bu şekilde elde edebiliyoruz düzlemin denkleminden normal vektörünü bulabilir miyiz normal vektör bu ama bu ara bu be bu bey'e ve bu cd bu c ye karşılık geliyor işin başında düzleme normal olan vektörün bileşenleri de a b ve c de öyle değil mi o halde düzlemin denklemi verildiğinde bu düzleme normal olan ve 4 bu ağa çarpı iyi artı bu be çarpıcı ve artı bu c çarpık eye eşit olur ne kadar kolay olduğunu görüyorsunuz değil mi evet bize bir düzlemin denklemini verdiklerinde isterseniz hemen bir örnek görelim 3 boyutta bir düzlem olduğunu düşünelim daha fazla boyutta da olabilir ama olsun evet -3 eksi artı karekök içinde ikiye ve artı 7z eşit dür hep iyi olsun ben size 3 boyutta bu düzleme verdiklerini ve normal vektörünü bulmamızı istediklerini düşünelim yapmanız gereken tek şey bu katsayıları almak ve bu düzleme normal olan vektörlerden birini -3 iyi artı karekök içinde 2j artı 7k olarak tanımlamak değil görmezden gelebiliriz bunu görmezden gelebilme mizin sebebi bunun düzlemi sadece ötelemesi dir demek istediğim bu ve 4 burası piyerin ee ya da yüze eşit olsada düzleme normal olur anlaştık neden çünkü bu düzlemin hepsi bir miktar ötelenmiş tir sadece başka bir değişle aynı yönde uzanırlar normal vektörlerinin aynı yönde olmasının sebebi de budur evet umarım faydalı bir video olmuştur sıradaki videoda bunu kullanarak 3 boyutta herhangi bir nokta ile düzlem arasındaki çok kısa uzaklığı bulmaya çalışacağız