Doğrusal Sistemleri Matrislerle Çözme

Arttırılmış bir matrisi, satır indirgenmiş basamak matrisine çevirerek, bu denklem sistemini çözeceğiz. Bu denklem sisteminin arttırılmış matrisi nedir? Üç bilinmeyenli üç denklem. Katsayıları yazmam yeterli. x terimlerinin katsayıları, 1, 1, 1. y terimlerinin katsayıları, 1, 2, 3. z terimlerinin katsayıları, 1, 3 ve 4. Arttırılmış olduğunu göstereyim. Buraya 3, 0 ve eksi 2 yazıyoruz. Şimdi, bu arttırılmış matrisi satır indirgenmiş basamak matrisine çevirmek istiyorum. İlk olarak, burada pivot eleman olarak 1 var. Bu sütundaki diğer her şeyi 0 yapalım. İlk satırımı değiştirmiyorum. 1, 1, 1 çizgi 3. Şimdi, bunu 0 yapmak için, ikinci satırın yerine birinci satır eksi ikinci satırı yazalım. 1 eksi 1 eşittir 0. 1 eksi 2... Bir dakika. Buranın 1 olmasını istediğim için, şu satırı ikinci satır eksi birinci satırla değiştirelim. İki türlü de olur. İkinci satır eksi birinci satır. 1 eksi 1 eşittir 0. 2 eksi 1 eşittir 1. 3 eksi 1 eşittir 2. Ve, 0 eksi 3 eşittir eksi 3. Şimdi, bunu 0 yapmak istiyorum. O zaman, bunu, bu satır eksi şu satırla değiştireyim. Yani, 1 eksi 1 eşittir 0. 3 eksi 1 eşittir 2. 4 eksi 1 eşittir 3. Eksi 2 eksi 3 eşittir eksi 5. Tamam. Pivot elemanım burada. Şurada bir pivot eleman daha var. Diğerinin sağında. Satır indirgenmiş basamak matris formuna da uygun. Şİmdi, bu ve şu elemanlara bakalım. Onları 0 yapmalıyım. Şimdi bunu gerçekleştirelim. İkinci satırımı aynı tutayım, ikinci satırım da 0, 1, 2 ve arttırılmış kısımda, eksi 3 var. Burayı 0 yapmak için, birinci satırı birinci satır eksi ikinci satırla değiştirebilirim. Yani, 1 eksi 0 eşittir 1. 1 eksi 1 eşittir 0. 1 eksi 2 eşittir eksi 1. Ve 3 eksi, eksi 3, yani artı 3 3 artı 3 eşittir 6. 1 eksi 0 eşittir 1. 1 eksi 1 eşittir 0, eksi 1. Ve, 3 eksi, eksi 3 6. Evet, bir dikkat hatası yapmayalım. Bir kontrol edelim. Şimdi şu elemanı sıfırlayalım. Bunun için, üçüncü satırın yerine, üçüncü satır eksi 2 çarpı ikinci satırı yazıyorum. Yani, 0 eksi 2 çarpı 0'ı alıyorum. Burası 0. 2 eksi 2 kere 1, yani 2 eksi 2 eşittir 0. 3 eksi 2 çarpı 2, 3 eksi 4 demek eşittir eksi 1. Ve, sonunda, eksi 5 eksi, 2 çarpı eksi 3. Şunu yazayım. Yani, eksi 5 eksi, eksi 6. eksi 5 artı 6 eşittir 1. Evet, yanlış yapmayalım. Bu, 1'e eşit. Neredeyse bitti, ama daha satır indirgenmiş basamak matris haline getiremedim. Bunu 1 yapmam gerekiyor. 1'den farklı bir şey olamaz. Satır indirgenmiş basamak matrisin kuralı böyle. Ve, bunların da 0 olması gerekiyor. Şu satırı hemen eksi 1'le çarpalım. O zaman bu artı 1 olur, ve şu da eksi 1 olur. Şimdi de, şu iki sayıyı sıfıra çeviriyorum. Üçüncü satırı aynı tutayım. Üçüncü satırım 0, 0, 1 eksi 1. Şimdi, bunu sıfırlayalım. Birinci satırın yerine, birinci ve sonuncu satırın toplamını yazıyorum. Şu ikisinin toplamı 0 olacak.Şimdi işlemi yapalım. 1 artı 0 eşittir 1. 0 artı 0 eşittir 0. Eksi 1 artı 1 eşittir 0. 6 artı, eksi 1 eşittir 5 Şimdi şu satırı sıfırlayalım. Bunun için, yerine, ikinci satır eksi 2 çarpı birinci satırı yazalım. Yani, 0 eksi 2 çarpı 0 eşittir 0. 1 eksi 2 çarpı 0 eşittir 1. 2 eksi 2 çarpı 1 eşittir 0. Eksi 3 eksi 2 çarpı eksi 1. Bunu yazayım. Eksi 3 eksi 2 çarpı eksi 1. Evet, dikkat hatası yapmayalım. Buna bu neye eşit? Eksi 3, eksi eksi 2 veya eksi 3 artı 2, o da eşittir eksi 1. Yani, bu, eksi 1. Şimdi, arttırılmış matrisimi, satır indirgenmiş basamak matrisine çevirmiş oldum. Pivot elemanların sütunlarında başka her şey 0. Her pivot eleman, bir önceki satırdakinin sağında yer alıyor. Ve, serbest değişken yok. Her sütunda pivot eleman bulunuyor. Şimdi, arttırılmış matrisi bırakıp, değişkenlerimize geri dönelim. Sonuç nedir? x artı 0 y artı 0 z eşittir 5. Bu satır böyle. Ve, 0 x artı 1 y artı 0 z eşittir eksi 1. Bu da şuradaki satır. Ve, son olarak, 0 x artı 0 y artı 1 z eşittir eksi 1. Bu da, şu satır. Bu şekilde, üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan sistemimizi çözmüş olduk. Çözüm burada. Satırları yansıtmak için böyle yazdım, ama tabii ki, değişkenleri eşit işaretine daha yakın yazabilirdim. Evet, umarım, bu örnek faydalı olmuştur.