Ana içerik

Konu: Matematik II > Ünite 3

Ders 6: İkinci Dereceden İfadeleri Gruplama Yöntemiyle Çarpanlarına Ayıralım

Baş Katsayısı 1 Olmayan İkinci Dereceden İfadeleri Çarpanlarına Ayıralım

İkinci dereceden ifadeleri, iki doğrusal iki terimli ifadenin (binom) çarpımı olarak çarpanlara ayırmayı, örneğin, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3) eşitliğini yazmayı öğrenelim.

Bu dersten önce bilmeniz gerekenler

Gruplama yöntemi,

4

terimli polinomları ortak çarpanları birkaç kez dışarı alarak çarpanlara ayırmak için kullanılabilir. Eğer bu konu sizin için yeniyse, gruplayarak çarpanlarına ayırmaya giriş konulu makalemizi gözden geçirebilirsiniz.

Ayrıca, devam etmeden önce baş katsayısı 1 olan ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırma konulu makalemizi okumanızı öneririz.

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Bu makalede,

2 x^{2} + 7 x + 3

gibi, baş katsayısı

1

'den farklı olan ikinci dereceden ifadeleri çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanacağız.

Örnek 1: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ ifadesini çarpanlarına ayıralım

(2 x^{2} + 7 x + 3)

ifadesinin baş katsayısı

2

olduğundan, ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırmak için toplam-çarpım yöntemini kullanamayız.

2 x^{2} + 7 x + 3

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, bunun yerine, çarpımı

2 \cdot 3 = 6

(baş katsayı çarpı sabit terim) ve toplamı

7

(

x

'in katsayısı) olan iki tamsayı bulmalıyız.

1 \cdot 6 = 6

1 + 6 = 7

olduğundan, sayılar

1

6

'dır.

Bu sayıları bulmak için, çarpımları

6

olan tüm sayıların bir listesini yapabiliriz. Daha sonra da, bu listeden toplamları

7

olan sayıların hangileri olduğunu belirleyeceğiz.

Çarpım: $m \cdot n = 6$ ‍	‍	Toplam: $m + n = 7$ ‍
$1 \cdot 6 = 6$ ‍		$1 + 6 = 7$ ‍
$2 \cdot 3 = 6$ ‍		$2 + 3 = 5$ ‍
$(- 1) \cdot (- 6) = 6$ ‍		$(- 1) + (- 6) = - 7$ ‍
$(- 2) \cdot (- 3) = 6$ ‍		$\begin{aligned} (- 2) + (- 3) = - 5 \end{aligned}$ ‍

Bu iki sayı orijinal ifadedeki

x

'li terimi nasıl ayıracağımızı bize söyler. Buna göre, polinomumuzu

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

şeklinde ifade edebiliriz.

Ve artık, polinomu çarpanlara ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & Terimleri gruplayın \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & Ortak çarpan! \\ = (2 x + 1) (x + 3) & 2x+1 parantezine alın \end{aligned}

Polinomun çarpanlarına ayrılmış hali:

(2 x + 1) (x + 3)

Polinomu

2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3

olarak ifade edip aşağıdaki gibi grupladığımızı düşünelim:

$\begin{aligned} 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 6 x) + (1 x + 3) & Terimleri gruplayın \end{aligned}$ ‍

Çarpanlarına ayırma işleminin bu gruplama ile de doğru olacağını fark ettiniz mi?

$\begin{aligned} = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) & Ortak çarpan! \\ = (x + 3) (2 x + 1) & x+3 parantezine alın \\ = (2 x + 1) (x + 3) & Çarpma işlemi değişme özelliğine sahiptir \end{aligned}$ ‍

x

'li terimi ayırmak için doğru yolu bulduğunuz sürece, ilk gruplamaya hangi parçayı ve ikinci gruplamaya hangi parçayı koyduğunuz fark etmez.

Yaptıklarımızı, çarpanların çarpımının

2 x^{2} + 7 x + 3

olduğunu göstererek kontrol edebiliriz.

Özet

a x^{2} + b x + c

formundaki ikinci dereceden bir ifadeyi çarpanlara ayırmak için genel olarak aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

Çarpımları $a c$ ‍ ve toplamları $b$ ‍ olan iki sayı bularak başlayın.
Bu sayıları $x$ ‍'li terimi ayırmak için kullanın.
İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayırmak için gruplama yapın.

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍ ifadesini çarpanlarına ayırın.

3 x^{2} + 10 x + 8

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımı

3 \cdot 8 = 24

ve toplamı

10

olan iki tamsayı bulmalıyız.

Bu sayıları bulmak için, çarpımları

24

olan tüm sayıların bir listesini yapabiliriz. Daha sonra da, bu listeden toplamları

10

olan sayıların hangileri olduğunu belirleyeceğiz.

Çarpım: $m \cdot n = 24$ ‍	‍	Toplam: $m + n = 10$ ‍
$1 \cdot 24 = 24$ ‍		$1 + 24 = 25$ ‍
$2 \cdot 12 = 24$ ‍		$2 + 12 = 14$ ‍
$3 \cdot 8 = 24$ ‍		$3 + 8 = 11$ ‍
$4 \cdot 6 = 24$ ‍		$4 + 6 = 10$ ‍

(Negatif bir toplam verecekleri için negatif çarpanları listelememize gerek olmadığına dikkat edin.)

Şimdi

10 x

terimini

4 x + 6 x

şeklinde ayırabilir ve polinomu çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

\begin{aligned} 3 x^{2} + 10 x + 8 \\ = 3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 4 x) + (6 x + 8) & Terimleri gruplayın \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ = x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4) & Ortak çarpan! \\ = (3 x + 4) (x + 2) & 3x+4 parantezine alın \end{aligned}

Polinomun çarpanlarına ayrılmış hali:

(3 x + 4) (x + 2)

2) $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍ ifadesini çarpanlarına ayırın.

4 x^{2} + 16 x + 15

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımı

4 \cdot 15 = 60

ve toplamı

16

olan iki tamsayı bulmalıyız.

Bu sayıları bulmak için, çarpımları

60

olan tüm sayıların bir listesini yapabiliriz. Daha sonra da, bu listeden toplamları

16

olan sayıların hangileri olduğunu belirleyeceğiz.

Çarpım: $m \cdot n = 60$ ‍	‍	Toplam: $m + n = 16$ ‍
$1 \cdot 60 = 60$ ‍		$1 + 60 = 61$ ‍
$2 \cdot 30 = 60$ ‍		$2 + 30 = 32$ ‍
$4 \cdot 15 = 60$ ‍		$4 + 15 = 19$ ‍
$5 \cdot 12 = 60$ ‍		$5 + 12 = 17$ ‍
$6 \cdot 10 = 60$ ‍		$6 + 10 = 16$ ‍

(Bize negatif bir toplam verecekleri için negatif çarpanları listelememize gerek olmadığına dikkat edin!)

Şimdi

16 x

terimini

6 x + 10 x

şeklinde ayırabilir ve polinomu çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

\begin{aligned} 4 x^{2} + 16 x + 15 \\ = 4 x^{2} + 6 x + 10 x + 15 \\ = (4 x^{2} + 6 x) + (10 x + 15) & Terimleri gruplayın \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ = 2 x (2 x + 3) + 5 (2 x + 3) & Ortak çarpan! \\ = (2 x + 3) (2 x + 5) & 2x+3 parantezine alın \end{aligned}

İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali:

(2 x + 3) (2 x + 5)

Örnek 2: $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ ifadesini çarpanlara ayıralım

6 x^{2} - 5 x - 4

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımı

6 \cdot (- 4) = - 24

ve toplamı

- 5

olan iki tamsayı bulmalıyız.

3 \cdot (- 8) = - 24

3 + (- 8) = - 5

olduğundan, sayılar

3

- 8

'dir.

Bu sayıları bulmak için, çarpımları

- 24

olan tüm sayıların bir listesini yapabiliriz. Daha sonra da, bu listeden toplamları

- 5

olan sayıların hangileri olduğunu belirleyeceğiz.

Çarpım: $m \cdot n = - 24$ ‍	‍	Toplam: $m + n = - 5$ ‍
$1 \cdot (- 24) = - 24$ ‍		$1 + (- 24) = - 23$ ‍
$- 1 \cdot 24 = - 24$ ‍		$- 1 + 24 = 23$ ‍
$2 \cdot (- 12) = - 24$ ‍		$2 + (- 12) = - 10$ ‍
$- 2 \cdot 12 = - 24$ ‍		$- 2 + 12 = 10$ ‍
$3 \cdot (- 8) = - 24$ ‍		$3 + (- 8) = - 5$ ‍
$- 3 \cdot 8 = - 24$ ‍		$- 3 + 8 = 5$ ‍
$4 \cdot (- 6) = - 24$ ‍		$4 + (- 6) = - 2$ ‍
$- 4 \cdot 6 = - 24$ ‍		$\begin{aligned} - 4 + 6 = 2 \end{aligned}$ ‍

Şimdi

- 5 x

terimini

3 x

ile

- 8 x

'in toplamı olarak yazabilir ve polinomu çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & Terimleri gruplayın \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Sadeleştirin \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & Ortak çarpan! \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & 2x+1 parantezine alın \end{aligned}$ ‍

İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali:

(2 x + 1) (3 x - 4)

Yaptıklarımızı, çarpanların çarpımının

6 x^{2} - 5 x - 4

olduğunu göstererek kontrol edebiliriz.

Dikkatli olun: Yukarıdaki

(1)

. adımda, üçüncü terim negatif olduğundan, ifadenin orijinal ifadeyle denk olmasını sağlamak için gruplar arasına bir "+" konduğuna dikkat edin. Ayrıca,

(2)

. adımda

2 x + 1

ortak çarpanını elde etmek için ikinci gruptan negatif bir en büyük ortak çarpanı dışarı almamız gerekti. Kullandığınız işaretlere dikkat edin!

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

3) $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍ ifadesini çarpanlarına ayırın.

2 x^{2} - 3 x - 9

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımı

2 \cdot (- 9) = - 18

ve toplamı

- 3

olan iki tamsayı bulmalıyız.

Bu sayıları bulmak için, çarpımları

- 18

olan tüm sayıların bir listesini yapabiliriz. Daha sonra da, bu listeden toplamları

- 3

olan sayıların hangileri olduğunu belirleyeceğiz.

Çarpım: $m \cdot n = - 18$ ‍	‍	Toplam: $m + n = - 3$ ‍
$(- 1) \cdot 18 = - 18$ ‍		$(- 1) + 18 = 17$ ‍
$1 \cdot (- 18) = - 18$ ‍		$1 + (- 18) = - 17$ ‍
$(- 2) \cdot 9 = - 18$ ‍		$(- 2) + 9 = 7$ ‍
$2 \cdot (- 9) = - 18$ ‍		$2 + (- 9) = - 7$ ‍
$(- 3) \cdot 6 = - 18$ ‍		$(- 3) + 6 = 3$ ‍
$3 \cdot (- 6) = - 18$ ‍		$3 + (- 6) = - 3$ ‍

Şimdi

- 3 x

terimini

3 x - 6 x

şeklinde ayırıp, polinomu çarpanlara ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

\begin{aligned} 2 x^{2} - 3 x - 9 \\ = 2 x^{2} + 3 x - 6 x - 9 \\ = (2 x^{2} + 3 x) + (- 6 x - 9) & Terimleri gruplayın \\ = x (2 x + 3) + (- 3) (2 x + 3) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & Sadeleştirin \\ = x (2 x + 3) - 3 (2 x + 3) & Ortak çarpan! \\ = (2 x + 3) (x - 3) & 2x+3 parantezine alın \end{aligned}

İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali:

(2 x + 3) (x - 3)

4) $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍ ifadesini çarpanlarına ayırın.

3 x^{2} - 2 x - 5

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımı

3 \cdot (- 5) = - 15

ve toplamı

- 2

olan iki tamsayı bulmalıyız.

Bu sayıları bulmak için, çarpımları

- 15

olan tüm sayıların bir listesini yapabiliriz. Daha sonra da, bu listeden toplamları

- 2

olan sayıların hangileri olduğunu belirleyeceğiz.

Çarpım: $m \cdot n = - 15$ ‍	‍	Toplam: $m + n = - 2$ ‍
$(- 1) \cdot 15 = - 15$ ‍		$(- 1) + 15 = 14$ ‍
$1 \cdot (- 15) = - 15$ ‍		$1 + (- 15) = - 14$ ‍
$(- 3) \cdot 5 = - 15$ ‍		$(- 3) + 5 = 2$ ‍
$3 \cdot (- 5) = - 15$ ‍		$3 + (- 5) = - 2$ ‍

Şimdi

- 2 x

terimini

- 5 x + 3 x

şeklinde ayırabilir ve polinomu çarpanlara ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

\begin{aligned} 3 x^{2} - 2 x - 5 \\ = 3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5 \\ = (3 x^{2} - 5 x) + (3 x - 5) & Terimleri gruplayın \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ = x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5) & Ortak çarpan! \\ = (3 x - 5) (x + 1) & 3x-5 parantezine alın \end{aligned}

İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali:

(3 x - 5) (x + 1)

5) $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍ ifadesini çarpanlarına ayırın.

6 x^{2} - 13 x + 6

ifadesini çarpanlarına ayırmak için, çarpımı

6 \cdot 6 = 36

ve toplamı

- 13

olan iki tamsayı bulmalıyız.

Bu sayıları bulmak için, çarpımları

36

olan tüm sayıların bir listesini yapabiliriz. Daha sonra da, bu listeden toplamları

- 13

olan sayıların hangileri olduğunu belirleyeceğiz.

Sayıların toplamı negatif olduğu için her iki çarpanın da negatif olduğu durumları dikkate almalıyız.

Çarpım: $m \cdot n = 36$ ‍	‍	Toplam: $m + n = - 13$ ‍
$(- 1) \cdot (- 36) = 36$ ‍		$(- 1) + (- 36) = - 37$ ‍
$(- 2) \cdot (- 18) = 36$ ‍		$(- 2) + (- 18) = - 20$ ‍
$(- 3) \cdot (- 12) = 36$ ‍		$(- 3) + (- 12) = - 15$ ‍
$(- 4) \cdot (- 9) = 36$ ‍		$(- 4) + (- 9) = - 13$ ‍
$(- 6) \cdot (- 6) = 36$ ‍		$(- 6) + (- 6) = - 12$ ‍

Şimdi

- 13 x

terimini

- 4 x - 9 x

olarak ifade edip, polinomu çarpanlarına ayırmak için gruplama yöntemini kullanabiliriz:

\begin{aligned} 6 x^{2} - 13 x + 6 \\ = 6 x^{2} - 4 x - 9 x + 6 \\ = (6 x^{2} - 4 x) + (- 9 x + 6) & Terimleri gruplayın \\ = 2 x (3 x - 2) + (- 3) (3 x - 2) & En büyük ortak çarpanları dışarı alın \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & Sadeleştirin \\ = 2 x (3 x - 2) - 3 (3 x - 2) & Ortak çarpan! \\ = (3 x - 2) (2 x - 3) & 3x-2 parantezine alın \end{aligned}

İfadenin çarpanlarına ayrılmış hali:

(3 x - 2) (2 x - 3)

Bu yöntem ne zaman yararlıdır?

Bu yöntem,

a \neq 1

olduğunda dahi,

a x^{2} + b x + c

formundaki ikinci dereceden ifadeleri çarpanlara ayırmak için yararlı olur.

Bununla birlikte, bu formdaki ikinci dereceden bir ifadeyi bu yöntemi kullanarak çarpanlara ayırmanın her zaman mümkün olmadığını da bilmelisiniz.

Örneğin,

2 x^{2} + 2 x + 1

ifadesini ele alalım. İfadeyi çarpanlarına ayırmak için, çarpımı

2 \cdot 1 = 2

ve toplamı

2

olan iki tamsayı bulmalıyız. İsterseniz deneyin, böyle iki tamsayı bulamayacaksınız.

O halde, yöntemimizin

2 x^{2} + 2 x + 1

ve diğer bazı ikinci dereceden ifadeler için işe yaramadığını söyleyebiliriz.

Bununla birlikte, eğer bu yöntem işe yaramıyorsa, ifadenin

(A x + B) (C x + D)

şeklinde çarpanlara ayrılamayacağını aklımızdan çıkarmamalıyız (burada

A

B

C

D

tamsayıdır).

Bu yöntem neden işe yarıyor?

Bu yöntemin neden işe yaradığını anlamak için derinlere dalalım. Burada pek çok harf kullanmak zorunda kalacağız, bizi lütfen hoş görün!

İkinci dereceden

a x^{2} + b x + c

ifadesinin

(A x + B) (C x + D)

şeklinde çarpanlara ayrılabildiğini varsayalım, burada

A

B

C

D

tamsayıdır.

Eğer parantezi açarsak, ikinci dereceden

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

ifadesini elde ederiz.

Bu ifade

a x^{2} + b x + c

ile denk olduğundan, iki ifadede karşılık gelen katsayılar birbirine denk olmalıdır! Bu, bilinmeyen tüm harfler arasında aşağıdaki ilişkinin olduğunu belirtir:

Şimdi,

m = B C

n = A D

eşitliklerini tanımlayalım.

Bu tanıma göre...

$m + n = B C + A D = b$ ‍ ve
$m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c$ ‍.

Buna göre,

B C

A D

bu çarpanlarına ayırma yöntemini kullandığımızda aradığımız iki tamsayıdır!

Yöntemde

m

n

'yi bulduktan sonraki adım,

x

'in katsayısını

(b)

m

n

'ye göre ayırmak ve gruplamayı kullanarak çarpanlara ayırmaktır.

Gerçekten, eğer

x

terimini

(B C + A D) x

(B C) x + (A D) x

olarak ayırırsak, ifademizi

(A x + B) (C x + D)

olarak çarpanlara ayırmak için gruplamayı kullanabileceğiz.

Sonuç olarak, bu bölümde...

Açılmış genel bir ifade olan $a x^{2} + b x + c$ ‍ ve bunun genel çarpanlarına ayrılmış genel formu olan $(A x + B) (C x + D)$ ‍ ile başladık,
$m n = a c$ ‍ and $m + n = b$ ‍ olacak şekilde iki sayı bulduk ( $m$ ‍ ve $n$ ‍), $($ ‍bu sayıları $m = B C$ ‍ ve $n = A D$ ‍ eşitliklerini tanımlayarak elde ettik $)$ ‍,
$x$ ‍'li terimi $b x$ ‍'i $m x + n x$ ‍ olarak ifade ettik ve açılmış ifadeyi $(A x + B) (C x + D)$ ‍ şeklinde çarpanlarına ayırdık.

Bu süreç, eğer bir ifade gerçekten

(A x + B) (C x + D)

olarak çarpanlara ayrılabiliyorsa, yöntemimizin bunun çarpanlara ayrılmış formu bulmamızı neden garantileyeceğini gösterir.

Sonuna kadar bizimle olduğunuz için çokkk teşekkürler!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Erol Yurt
2 ay önce önce paylaşıldı. Erol Yurt kullanıcısının ''Burada çok fazla harf işi'...' gönderisini görmek için direkt link
Burada çok fazla harf işin içine girdiği için anlatım biraz karışmış. Aslında bu bölümün ilk videosunda yapılan ispat gayet basit, net ve açıklayıcı ama genede işin temel mantığı anlatıldığı için değerli. Çok teşekkürler <3
Bu düğme kayıt sayfasına yönlendirirBu düğme kayıt sayfasına yönlendirir
(1 oy)
Cevap

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Matematik II

Konu: Matematik II > Ünite 3

Bu dersten önce bilmeniz gerekenler

Bu derste neler öğreneceksiniz?

Örnek 1: 2x2+7x+3‍ ifadesini çarpanlarına ayıralım

Özet

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Örnek 2: 6x2−5x−4‍ ifadesini çarpanlara ayıralım

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Bu yöntem ne zaman yararlıdır?

Bu yöntem neden işe yarıyor?

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ ifadesini çarpanlarına ayıralım

Örnek 2: $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ ifadesini çarpanlara ayıralım