Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 4

Ders 2: Skaler Fonksiyonların Çizgi İntegrali (Makaleler)

Bir eğri boyunca integral alma gösterimi

Yay uzunluğu integrallerini ifade etmenin çok sade bir şekli vardır, bu da çizgi integrallerini yazmak için bir temel oluşturur.

Arka plan:

Neye ulaşıyoruz

Yay uzunluğu integrali
$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍
alternatif olarak şöyle yazılabilir
$\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}$ ‍
burada $C$ ‍ eğriyi temsil eder, ve $d s$ ‍ $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍'nin kısaltılmışıdır, eğri boyunca minicik bir adımın uzunluğunu temsil eder.
Parametrik eğri bir $\vec{r} (t)$ ‍ vektör değerli fonksiyonuyla $a \leq t \leq b$ ‍ aralığında verildiğinde, yay uzunluğu integrali şuna benzer
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}$ ‍
Başka bir deyişle, eğri boyunca $d s$ ‍ küçük adımı, $\vec{r} (t)$ ‍ türevinin büyüklüğüdür
Bu, çizgi integralleri için standart gösterimdir, ve bir sonraki makalede tanıtılacaktır.

Yay uzunluğunu kısaca yazma

Fonksiyon grafiklerinin yay uzunluklarını ve parametrik eğrilerin yay uzunluğunu bulmayı konuşurken, şu şekilde bir integral kurmakla başladık

$\begin{array}{r} \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}} \end{array}$ ‍

Her zaman yay uzunluğunda minik bir değişimi

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

olarak göstermek yerine, yaygın bir kuralı bu minik değişimi

d s

olarak ifade etmektir.

d s

'yi bahsettiğimiz eğri boyunca minik bir adım olarak düşünürsünüz,

d x

'in

x

-yönünde veya

d y

'nin

y

-yönünde minik bir adım olması gibi.

Sınır koyma zorluğu

Bu son birkaç makalede, integrallere sınır koymayı erteledik

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

(artık bunun sadece

\int d s

olarak yazabileceğimizi biliyoruz.)

İntegralin içindeki her şey

x

cinsinden yazılsaydı, limitler

x

değerlerini yansıtırdı. Her şey

t

cinsinden olsaydı, limitler

t

değerlerini yansıtırdı, vb.

Bu integralin bu kadar çıplak durmasından rahatsızlık duyuyorsanız, ama hangi değişkenin sınırlara sahip olduğuyla ilgili bir taahhütte bulunmak istemiyorsanız, şöyle yaparsınız. Şöyle dersiniz,

" $C$ ‍ şöyle tanımlanan eğri olsun . . ."

ve eğrinizi tanımlamaya devam ederseniz. Sonra, integralinizi altta küçük bir

C

ile yazarsınız:

$\begin{array}{r} \int_{C} d s \end{array}$ ‍

Bu, bunu okuyan kişiden

C

eğrisinin tanımlı olduğu yeri bulmasını, sonra hesaplama zamanı geldiğinde, ilgili sınır değerlerini koymasını ister.

Bir yandan, bu gösterim o kadar basittir ki, neredeyse anlamsızdır. Şöyle okuyabilirsiniz

" $C$ ‍'nin yay uzunluğu, $C$ ‍'de küçük adımlar boyunca $C$ ‍ üzerindeki integraldir"

Saçma, değil mi? Bu yay uzunluğu problemini çözmenin detaylarını siler,

d s

'yi genişletir ve

C

'nin tanımını integrale kodlar.

Ancak, esase amaç budur. Yay uzunluğu integrallerinden bahsetmenin nedenlerinden biri de, çizgi integralleri için ortamı hazırlamaktır. Çizgi integrallerine geldiğimizde, eğrinin ve minik yay uzunluğu

d s

'nin detaylarının gösterimine kaymasını istemiyoruz. Uğraşmamız gereken başka şeyler olacak. Bu bağlamda, yay uzunluğunu

\int_{C} d s

kadar basit bir şeye soyutlamak istediğimizden fazla bir sadeleştirme olur.

Vektör analizi dilinde

Vektör analizinde, parametrik bir eğriyi bir parametrik denklem kümesi gibi görmekten uzaklaşırız

$x (t) = t \cos (t)$ ‍

$y (t) = t \sin (t)$ ‍

Bunun yerine, bu eğrileri tek vektör değerli fonksiyonun çıktıs olarak düşünürüz,

$\begin{array}{r} \vec{r} (t) = [\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

Bunun gibi vektör değerli bir fonksiyonun türevi, başka bir vektör değerli fonksiyon verir,

$\begin{array}{r} {\vec{r}}^{'} (t) = [\begin{array}{c} x^{'} (t) \\ y^{'} (t) \end{array}] \end{array}$ ‍

Bu bize, eğri boyunca minik bir adımın uzunluğu olan

d s

'yi ifade etmenin çok güzel bir yolunu verir:

$d s = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t$ ‍

Bu neden doğrudur? Bunun bir yolu,

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

'yi açmak ve sadeleştirmektir. Bunu deneyin!

Alternative olarak, vektör-türevlerini nasıl yorumladığımızı düşünelim. Parametre uzayı olarak da bilinen girdi uzayında bir

t_{0}

noktasında durduğunuzu, ve

d t

boyutunda minik bir dürtme aldığınızı gözünüzde canlandırın, sizi

t_{0} + d t

noktasına taşısın.

{\vec{r}}^{'} (t)

türev vektörü, eğri boyunca çıktı uzayındaki sonuç "itmesidir". Bu miktarı minik bir

d t

miktarıyla çarptığımızda

${\vec{r}}^{'} (t) d t$ ‍,

bunu eğri boyunca, minik bir adım düşünmek faydalıdır.

Teknik olarak, bu teğet yönünde minik bir adımdır, bu da eğriden biraz uzakta olabilir. Ancak,

d t

0

'a yaklaştıkça, teğet yönünde bir adımla eğri boyunca bir adım aynı şey olarak görülebilir.

Bu vektörün büyüklüğü eğri boyunca küçük adımımızın boyutudur,

d s

$d s = | {\vec{r}}^{'} (t) d t | = | {\vec{r}}^{'} (t) | d t$ ‍,

Bu,

\vec{r} (t)

fonksiyonunun

t = a

ile

t = b

arasında tanımlanan parametrik eğrisi için yay uzunluğunun şu şekilde olduğu anlamına gelir

$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} | {\vec{r}}^{'} (t) | d t \end{array}$ ‍

Aslında bunu hesaplamak, bu eğrileri bir denklem kümesi olarak düşündüğümüz durumla aynıdır, çünkü

| {\vec{r}}^{'} (t) | d t

hep

\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

şeklinde açılır. Ancak, insanlar genelde bu gösterimi tercih ederler. Birincisi bu daha toplu bir gösterimdir, ve ikincisi de daha büyük boyutlara iyi genellenir.

Çizgi integrallerine doğru ileri!

Bu gösterim, ve bunun eğri boyunca minik adımlar gösterdiği bilgisinin gücüyle, artık çizgi integrallerini öğrenmeye hazırsınız.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.