Konservatif (Tutarlı) Vektör Alanındaki Kapalı Çizgi İntegrali Örneği 1

Şimdi yeni öğrendiklerimizi kullanarak bazı çizgi integrallerini bulalım. Kapalı bir eğri üzerinde x kare artı y kare çarpı d x artı 2 x y çarpı d y çizgi integralini alalım. c eğrisi parametrik olarak şöyle tanımlanmış olsun. x eşittir kosinüs t ve y eşittir sinüs t. t de 0 ile 2 Pi arasında olsun. Bu bir çember, birim çember. Bunu nasıl bulacağımızı biliyoruz. Son birkaç videoda öğrendiklerimiz bakalım işimizi kolaylaştıracak mı... İlk olarak bu bir çizgi integrali, ama d x ve d y görüyorum, iç çarpım d r görmüyorum, diyebilirsiniz. Bunun bir vektör çizgi integrali olduğundan emin olamayabilirsiniz. Hiç vektör görmüyoruz. Öncelikle bu örneği seçmemin sebebi, size bunun vektör çizgi integralinin başka bir şekli olduğunu göstermek. Bunu göstermek için bir r t olduğunu farketmeniz gerekiyor. Bu, bizim eğrimiz. Fonksiyonları yazmam gerekmiyor bile. Sadece x t çarpı i artı y t çarpı j yazıyorum. Son birkaç videoda d r d t'yi d x d t çarpı i artı d y d t çarpı j olarak yazabileceğimizi görmüştük. Ve d r diferansiyelini elde etmek için her şeyi d t ile çarpacağımızı da görmüştük. Normalde buraya ve şuraya d t koyarım ve şu d r'yi yok ederim. Diferansiyelleri sayı olarak düşünürsek, her şeyi böyle d t ile çarpabiliriz. Sonra da d t'leri ortadan kaldırırsınız. Yani d r eşittir d x çarpı i birim vektörü artı d y çarpı j birim vektörü diyebilirsiniz. Burada bir örüntü de görebilirsiniz. Vektör alanını f x y eşittir x kare artı y kare i artı 2 x y j olarak tanımlarsak, bu nedir? Şuradaki ifade nedir? f iç çarpım d r ne olur? İç çarpım bulurken vektörlerin karşılıklı bileşenlerini çarpıp toplarız. Bu f'nin şu d r ile iç çarpımını alırsanız, i bileşeni, x kare artı y kare çarpı d x artı y bileşeni, 2 x y çarpı bu d y bulursunuz. İç çarpım, bu. Dikkat ederseniz, bu ifade ile şu ifade aynı. Çizgi integralimiz, bu c eğrisi, bu kapalı c eğrisi üzerindeki bu f iç çarpım d r'nin integrali olarak ifade edilebilir. Çizgi integralimizi sadece farklı bir şekilde yazmıştık. Şimdi bunu gördüğümüze göre, bir daha bu diferansiyel notasyonu gördüğünüzde, bunun d r ile iç çarpım olarak düşünülebilecek bir x ve y bileşeninden oluşan bir vektör alanı oluşturduğunu bileceksiniz. Bu d r'nin x bileşeni, bu da d r'nin y bileşeni. Böylece hangi vektör alanının çizgi integralini aldığınızı hemen anlarsınız. Bu x, bu da y. Şimdi bir soru soralım. f konservatif mi? f, büyük F ile ifade edebileceğimiz bir skaler alanın gradyanı mı? Öyle olduğunu varsayalım, gradyanı f olan bir skaler alan bulabilir miyiz bakalım. Bulabilirsek f'nin konservatif olduğu sonucuna varırız. f konservatif ise, herhangi bir kapalı döngü üzerinde f'nin çizgi integralini aldığımızda sonuç 0 olur deriz ve çözümü bitiririz. Yani bunu gösterebilirsek sorunun cevabı 0 olur. Kosinüs t, sinüs t ile uğraşmamıza gerek bile kalmaz. Terstürev almamız bile gerekmez. O zaman gradyanı bu olan bir büyük F bulabilecek miyiz bakalım. Büyük F'nin gradyanının bu olması demek, büyük F'nin x'e göre kısmi türevinin şuna eşit olması demek. x kare artı y kareye eşit olmalı. Büyük F'nin y'ye göre kısmi türevi de 2 x y olmalı. Küçük bir hatırlatma: Bir fonksiyonun, bir skaler alanın gradyanı eşittir büyük F'nin x'e göre kısmisi çarpı i artı büyük F'nin y'ye göre kısmisi çarpı j. Bu nedenle örüntü eşlemesi yapıyorum. Bu şunun gradyanı ise, bu şuna eşit olmalı, bu da şu olmalı, diyorum. Şimdi bu iki koşulu sağlayan bir f bulmaya çalışalım. İki tarafın terstürevini alabiliriz. y ve y kareye sabit gibi davranmamız gerektiğini unutmayın. O zaman f eşittir x karenin terstürevi, x küp bölü 3 deriz. Sonra y karenin terstürevini alırız - x'e göre terstürev alıyoruz. y kare sanki sayıymış gibi davranırız. Yani bu çarpı x olacak. Artı x çarpı y kare. Bir de y'nin bir fonksiyonu olabilir. Artı g y diyelim. Bu fonksiyon sadece y cinsinden bir fonksiyon ise, x'e göre kısmisi yok olur. Terstürevi aldığımızda ise tekrar ortaya çıkar. Büyük F'nin x ve y cinsinden bir fonksiyon olduğunu belirtmek istiyorum. x'e göre terstürevi bulduk. Şimdi de y'ye göre terstürevi alıp bu iki terstürevi bağdaştırmaya çalışalım. y'ye göre terstürev alıyoruz. Şimdi de x'e sayıymış gibi davranıyoruz. k, m veya 5 gibi düşünebiliriz. Sadece sayı. 2 y'nin terstürevi eşittir y kare. x sadece bir sayı ise, bunun y'ye göre terstürevi eşittir x y kare. Bunun y'ye göre kısmisini alın. Bana inanmıyorsanız. x sabitmiş gibi hareket edin. 2 x y elde edersiniz. Ve y'ye göre terstürev aldığınız için, burada x cinsinden bir fonksiyon olabilir. Buna göre, f x y şöyle bir ifadeye eşit olacak. f x y şöyle olacak. Bu ikisini bağdaştıran bir f x y bulabilir miyiz bakalım. Burada x y kare var, şurada da x y kare var. İyi. İyi görünüyor. Burada sadece x cinsinden bir fonksiyon var. Şurada da sadece x cinsinden bir fonksiyon var. Bu ikisi aynı ifade olabilir. Burada sadece y cinsinde bir fonksiyon olabilir demiştik, ama aynı fonksiyon burada çıkmadı. O zaman bu 0'dır diyebiliriz. 0, y cinsinden bir fonksiyondur. g y eşittir 0 diye bir fonksiyon tanımlayabilirsiniz. Böylece büyük F x y eşittir x küp bölü 3 artı x y kare deriz. Bunun gradyanı f'ye eşit olur. Bunu daha önce söylemiştik. İyice pekiştirmek için, gradyanı bulalım.Burada yaptıklarıma inanmıyorsanız, gradyanı alalım Büyük F'nin gradyanı, bazen buraya küçük bir vektör işareti konur, sonuçta vektör elde edileceği için. Gradyan işareti üzerine vektör işaretini koyabilirsiniz. Büyük F'nin gradyanı ne olacak? Bunun x'e göre kısmisi çarpı i. Bunun x'e göre kısmisi. 3 bölü 3 eşittir 1. Sadece x kare artı şunun x'e göre türevi, y kare, çarpı i artı y'ye göre kısmi. Bunun y'ye göre kısmisi 0, şunun y'ye göre kısmisi 2 x y veya 2 x y üzeri 1. 2 x y çarpı j. Bu da tam olarak f'ye eşit. Böylece f'nin bir skaler fonksiyonun gradyanı olarak yazılabildiğini göstermiş olduk. Yani f konservatif ve buna göre de, bu kapalı eğri üzerindeki çizgi integralinin 0 olduğunu söyleyebiliriz. İzin parametrik denklemlerine bakmamıza gerek bile kalmadan sonucu bulduk.