Ana içerik

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Ders 1: Kısmi Türev ve Gradyan (Makaleler)

Kısmi türevlere giriş

Kısmi türev nedir, bunu nasıl hesaplarsınız ve ne anlama gelir.

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Çok değişkenli bir fonksiyon için ( $f (x, y) = x^{2} y$ ‍ gibi) kısmi türevlerin hesaplanması böyle gözükür:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} y ’ye sabit gibi davranın; \\ türev alın. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} x ’e sabit gibi davranın; \\ türev alın. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}$ ‍

Bu kıvrımlı $\partial$ ‍ sembolü "del" olarak adlandırılır ve kısmi türevleri normal tek değişkenli türevlerden ayırmak için kullanılır. Yoksa farklılaştırmak mı demeliydim?
Bir fonksiyonun girdisi birden çok değişkenden oluştuğunda, yeni bir tür türevin nedeni, diğerlerini sabit tutarken birini değiştirdiğimizde fonksiyonun nasıl değiştirdiğini görmek istememizdir.
Üç boyutlu grafikler için, $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ kısmi türevini $f$ ‍ grafiğini sabit bir $y$ ‍ değerini temsil eden bir düzlemle keserek ve elde ettiğiniz eğrinin eğimini ölçerek görselleştirebilirsiniz.

Kısmi türev nedir?

Tek değişkenli analizden

\frac{d f}{d x}

sıradan türevine aşina olduğunuzu varsayacağız. Aslında türevin bu gösterimini çok severim, çünkü bunu aşağıdaki gibi yorumlayabilirsiniz:

$d x$ ‍'i " $x$ ‍'te küçük bir değişim" olarak yorumlayın.
$d f$ ‍'yi " $f$ ‍'nin çıktısında küçük bir değişim" olarak yorumlayın, burada anlaşılan şey, bu değişimin girdideki küçük $d x$ ‍ değişiminin sonucu olduğudur.

Aslında,

\frac{d f}{d x}

simgesiyle ilgili bu sezgi, tek değişkenli analizin en önemli ana fikirlerinden biridir, ve kemiklerinizde hissetmeye başladığınızda, türevle ilgili kavramların çoğunun mantığını anlarsınız.

Örneğin, bunu

f

grafiğine uyguladığınızda, bu

\frac{d f}{d x}

''oran''ını

f

grafiğinin yükselmesi veya alçalması bölü sola veya sağa gitmesi olarak yorumlayabilirsiniz, bu durduğunuz noktaya bağlıdır.

Bu çok değişkenli fonksiyonlarda nasıl çalışır?

İki boyutlu girdiye ve bir boyutlu çıktıya sahip bir fonksiyonu düşünün.

$f (x, y) = x^{2} - 2 x y$ ‍

Bizi aynı ifadeyi yazmaktan,

\frac{d f}{d x}

, ve aynı şekilde yorumlamaktan alıkoyan herhangi bir şey yoktur:

$d x$ ‍ hala $x$ ‍ değişkenindeki minik bir değişimi temsil edebilir, bu şimdi girdinizin bir bileşenidir.
$d f$ ‍ hala $f (x, y)$ ‍ fonksiyonunun çıktısında ortaya çıkan değişimi temsil edebilir.

Bununla birlikte, bu başka bir

y

girdi değişkeni olduğu gerçeğini göz ardı eder. Artık girdi uzayının birden fazla boyutu vardır, dolayısıyla girdiyi

x

yönü dışında birçok yönde değiştirebiliriz. Örneğin,

y

'yi küçük bir

d y

değeriyle değiştirsek? Şimdi

d f

'yi bu

d y

kaydırmasının yarattığı küçük değişim olarak yorumlarsak, farklı bir

\frac{d f}{d y}

türevi elde ederiz.

Bu türevlerin ikisi de, girdi biraz değiştiğinde

f (x, y)

fonksiyonumuzun nasıl değiştiğinin tam hikayesini anlatmaz; onun için bunlara kısmi türevler deriz. Bu farkı vurgulamak için, *küçük değişimleri göstermek için artık

d

harfini kullanmayız, bunun yerine yeni bulduğumuz

\partial

simgesini kullanırız**, her bir kısmi türevi

\frac{\partial f}{\partial x}

\frac{\partial f}{\partial y}

, vb. olarak yazarız.

\frac{\partial f}{\partial x}

sembolünü sesli olarak "

f

'nin

x

'e göre kısmi türevi" şeklinde okursunuz.

Örnek: Kısmi türevi hesaplama

Şu fonksiyonu düşünün:

$f (x, y) = x^{2} y^{3}$ ‍

Sizden

(3, 2)

girdisi için

x

'e göre

\frac{\partial f}{\partial x}

'i hesaplamanızı istediğimi varsayın.

"Ne? Ancak henüz nasıl yapılacağını öğrenmedim!"

Endişelenmeyin, bu normal türevle aynı şekilde yapılıyor.

Yukarıdaki açıklamalardan bunun, girdinin

x

bileşenini biraz değiştirdiğimizde, örneğin belki

(3, 2)

'den

(3, 01, 2)

'ye hareket ettirdiğimizde

f

'nin çıktısının değiştiği hızı sormakta olduğunu biliyor olmalısınız.

Sadece

x

yönündeki hareketle ilgilendiğimiz için,

y

değerini sabit gibi kabul edebiliriz. Aslında, herhangi bir türevi hesaplamadan önce

y = 2

koyabiliriz:

$f (x, 2) = x^{2} (2)^{3} = 8 x^{2}$ ‍

Şimdi

f

'nin

x

'te küçük bir kaymaya göre nasıl değiştiğini sormak, sıradan, tek değişkenli bir türevdir.

Kavram kontrolü:

f (x, 2) = 8 x^{2}

fonksiyonunun

x = 3

'te türevi nedir?

Önceden $y$ ‍ değerini bulmadan

Şimdi sizden

\frac{\partial f}{\partial x}

'i bulmanızı istediğimi varsayın, ancak bunu herhangi bir noktada hesaplamanızı istemedim. Başka şekilde söylersek, bana girdi olarak herhangi bir

(x, y)

noktasını alan ve sadece

x

yönünde ilerlediğimizde

f

'nin bu noktanın yakınındaki değişim oranını söyleyen yeni bir fonksiyon vermelisiniz.

y

değerine bir sabit gibi davranarak, aynı şekilde başlayabilirsiniz. Bununla birlikte, bu kez örneğin

y = 2

gibi gerçek bir sabit değer koyamazsınız. Bunun yerine,

y

'nin bir sabit olduğunu düşünün ve türevini alın:

$\frac{d}{d x} f (x, y) = \underset{y ’nin sabit olduğunu varsayın}{\underset{⏟}{\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3})}} = 2 x y^{3}$ ‍

Ya da, bunun çok değişkenli bir fonksiyon olduğunu vurgulamak için,

d

yerine

\partial

sembolünü kullanırız:

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y^{3}) = 2 x y^{3}$ ‍

Kontrol etmek için,

(3, 2)

koyabilir ve yukarıdakiye aynı sonucu elde edip etmediğimize bakabilirsiniz.

"Buna göre $\frac{d}{d x}$ ‍ ve $\frac{\partial}{\partial x}$ ‍ arasındaki fark nedir? İkisi de aynı şekilde kullanılıyor gibi gözüküyor."

Dürüst olmak gerekirse, bu işlemler arasında aslında bir fark yoktur. Bilgiçlik taslayıp bunlardan birinin sadece tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlı olduğunu söyleyebilirsiniz. Ama sezgi ve hesaplama açısından, bunlar aynıdır, ve aradaki fark sadece hangi tür fonksiyonun türevinin alındığını açıklığa kavuşturur.

Kısmi türevleri grafiklerle yorumlama.

Şu fonksiyonu düşünün:

$f (x, y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3$ ‍,

Bu fonksiyonu dönerken gösteren bir videoyu burada bulabilirsiniz, böylece üç boyutlu doğasını daha iyi anlarsınız.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

f

'nin

x

'e göre, örneğin

(2, 0)

noktasında hesaplanmış kısmi türevini düşünün.

$\frac{\partial f}{\partial x} (2, 0)$ ‍

Grafiğe göre, bu ifadenin değeri bize

f

fonksiyonunun

(2, 0)

noktasındaki davranışına ilişkin olarak ne söyler?

$y$ ‍'yi sabit gib düşünün $\to$ ‍ grafiği düzlemle kesin

Bu değeri hesaplarken ilk adım

y

'yi sabit olarak görmektir. Özellikle, eğer bakış açımızı

(2, 0)

noktasında ne olduğuyla sınırlandırıyorsak, sadece

y = 0

olan noktaların kümesine bakmalıyız. Üç boyutlu uzayda, bu küme başlangıç noktasından geçen ve

y

eksenine dik olan düzlemdir.

Beyazla gösterilen bu

y = 0

düzlemi,

f (x, y)

grafiğinde hafifçe kırmızıyla gösterilen parabolik bir eğriyle kesit yapar.

\frac{\partial f}{\partial x}

'i bu eğrinin teğet doğrusunun eğimini verdiği şeklinde yorumlayabiliriz. Neden? Çünkü,

\partial x

x

yönünde hafif bir itmedir ve

\partial f

z

yönündeki sonuç değişikliktir.

Peki ya aynı

(2, 0)

noktasında

\frac{\partial f}{\partial y}

x = 2

olan noktalar da bir düzlem oluşturur, ancak bu düzlem

x

eksenine diktir ve

x

eksenini

x = 2

noktasında keser. Bu, grafiği yeni eğri boyunca keser ve

\frac{\partial f}{\partial y}

bu yeni eğrinin eğimini verir.

Düşünme Sorusu: Sağdaki resimde,

f (x, y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3

grafiğinin

x = 2

ile tanımlanan düzlemle kesiştiği "eğri", düz bir doğru gibi görünüyor. Bu gerçekten bir doğru mu?

1 cevap seçin:
(A şıkkı)
Evet
(B şıkkı)
Hiçbiri

Herhangi bir

(2, y)

noktasında

\frac{\partial f}{\partial y}

kısmi türevinin değeri,

- \frac{4}{5}

y

ne olursa olsun, bu doğrunun eğimini verir. Aslında, bu fonksiyonun kısmi türevi

y

'ye bağlı değildir:

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y)) \\ = \frac{1}{5} (0 - 2 x) \\ = - \frac{2}{5} x \end{aligned}

Grafiksel olarak, bunun anlamı

x

için farklı değerler seçtikçe ve sabit

x

değerini temsil eden düzlem sola veya sağa kaydıkça, eğimi

y

'ye göre sabit olduğundan, grafiği hep bir doğru boyunca keseceğidir. Ayrıca, bu doğrunun eğimi her zaman

x

'in değerinin

- \frac{2}{5}

katı olacaktır.

Khan Akademi video wrapper

Video metni

İfade ve gösterim

\frac{\partial f}{\partial x}

işlemiyle ilgili duyabileceğiniz bazı ifadeler şunlardır:

" $f$ ‍'nin $x$ ‍'e göre kısmi türevi"
"Del f, del x"
"Kısmil f, kısmi x"
"( $f$ ‍)'nin $x$ ‍ yönünde kısmi türevi"

Alternatif gösterim

İnsanların

\frac{d f}{d x}

yerine

f^{'}

'nü yazmayı tercih etmesi gibi, aşağıdaki notasyonu da kullanabiliriz:

$\begin{aligned} f_{x} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial x} \\ f_{y} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial y} \\ f_{⟨ Bir değişken ⟩} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial ⟨ Aynı değişken ⟩} \end{aligned}$ ‍

Daha biçimsel bir tanım

d x

'i veya

\partial x

x

'teki çok küçük değişiklikler olarak düşünmek faydalı bir anımsatıcı olsa da, bazen bir an durup düşünmek ve bir şeyleri kesin olarak tanımlamanın limit gerektirdiğini hatırlamak sağlıklıdır. Sonuçta

\partial x

hangi küçük sayı olarak belirlenebilir ki? Yüzde bir? Milyonda bir?

10^{- 10^{10}}

Analizin temelinde sadece herhangi bir küçük değer kullanmak yerine tüm olası değerleri düşünmek ve bunlar sınırlayıcı bir değere yaklaşırken neler olduğunu analiz etmek yatar. Örneğin, tek değişkenli türev böyle tanımlanır:

$\begin{array}{r} \frac{d f}{d x} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \end{array}$ ‍

$h$ ‍ $d x$ ‍ olarak düşündüğümüz "minik değeri" temsil eder.
Limitin altındaki " $h \to 0$ ‍", $0$ ‍'a yaklaşan çok küçük $h$ ‍ değerleriyle ilgilendiğimizi gösterir.
$f (x_{0} + h) - f (x_{0})$ ‍, girdiye $h$ ‍ eklemenin sonucunda çıktıdaki değişim, $d f$ ‍ olarak düşündüğümüz şeydir.

Kısmi türevin biçimsel tanımı neredeyse aynı görünür. Eğer

f (x, y, \dots)

birden çok girdili bir fonksiyonsa, böyle gözükür:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}, \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}, \dots) - f (x_{0}, y_{0}, \dots)}{h} \end{aligned}$ ‍

Benzer şekilde,

y

'ye göre kısmi türev böyle gözükür:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}, \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + h, \dots) - f (x_{0}, y_{0}, \dots)}{h} \end{aligned}$ ‍

Burada önemli olan, girdi için küçük bir farkı temsil eden

h

, hangi kısmi türevi aldığımıza göre, farklı girdi değişkenlerine eklenir.

İnsanlar buna genelde kısmi türevin limit tanımı derler.

Düşünme Sorusu: Üstteki grafik yorumlama bağlamında bu limit tanımını nasıl düşünebiliriz?

h

nedir?

h \to 0

olması neye benzer?

Özet

Çok değişkenli bir fonksiyon için ( $f (x, y) = x^{2} y$ ‍ gibi) kısmi türevlerin hesaplanması böyle gözükür:
$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} y ’ye bir sabit gibi davranın; \\ türev alın. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} x ’e bir sabit gibi davranın; \\ türev alın. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}$ ‍
Bu kıvrımlı $\partial$ ‍ sembolü "del" olarak adlandırılır ve kısmi türevleri normal tek değişkenli türevlerden ayırmak için kullanılır.
Bir fonksiyonun girdisi birden çok değişkenden oluştuğunda, yeni bir tür türevin nedeni, diğerlerini sabit tutarken birini değiştirdiğimizde fonksiyonun nasıl değiştirdiğini görmek istememizdir.
Üç boyutlu grafikler için, $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ kısmi türevini $f$ ‍ grafiğini sabit bir $y$ ‍ değerini temsil eden bir düzlemle keserek ve elde ettiğiniz kesiğin eğimini ölçerek görselleştirebilirsiniz.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Çok Değişkenli Kalkülüs

Konu: Çok Değişkenli Kalkülüs > Ünite 2

Arka plan

Neye ulaşıyoruz

Kısmi türev nedir?

Bu çok değişkenli fonksiyonlarda nasıl çalışır?

Örnek: Kısmi türevi hesaplama

Önceden y‍ değerini bulmadan

Kısmi türevleri grafiklerle yorumlama.

y‍ 'yi sabit gib düşünün →‍ grafiği düzlemle kesin

İfade ve gösterim

Alternatif gösterim

Daha biçimsel bir tanım

Özet

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Önceden $y$ ‍ değerini bulmadan

$y$ ‍'yi sabit gib düşünün $\to$ ‍ grafiği düzlemle kesin