Konik Kesitleri Açık Denklemlerinden Tanıma: Çember ve Parabol

Bakalım bir kaç tane daha konik tanımlama problemleri yapabilecek miyiz. Elimizde x kare artı y kare eksi 2x artı 4y eşittir 4 işlemi var. İlk yapmanız gereken şey bunun hangi tür konik arakesit olduğunu bulmaktır. Bu benim x kare terimim, bu da y kare. Bunlar denklemin aynı tarafındalar ve pozitif katsayıları var. Yani uğraştığımız şey bir elips. Bu durumda katsayılar eşittir. İkisi de artı 1. Bu bana bunun bir çember olduğunu gösterecek. O zaman bunu standart şekle sokalım. Sonra da grafiğe yansıtalım. Yani kareyi tamamlamaya çalışacağız. x değerlerini alalım. Çünkü çemberi tamamlamak için elimizde x kare eksi 2x artı bir şey olacak. Artı, ve şimdi de y kare değerlerini yapalım. y kare artı 4y artı bir şey eşittir 4'e. Ve şimdi neredeyiz? Eksi 2'nin bir bölü ikisini alıyoruz, o da eksi 1 eder. Bunun da karesini alıyoruz. O da artı 1 eder. Yani 1 ekliyoruz. Burada dışarıda olan bir şey yok, bu yüzden 1'i denklemin sol kısmına ekledik. Yani sağ tarafa da 1 ekleyeceğiz. Ve 4'ün bir bölü ikisini alıyoruz. O da 2 etti. 2'nin karesi. Buraya 4 koyduk. Yani sağ tarafa da 4 eklememiz lazım. 4 ekledik çünkü 4'le çarpılan hiçbir şey yok şu anda. Yani bu x eksi 1'in karesi artı y artı 2'nin karesi eşittir 4 artı 1 artı 4 yani 9, 9'a eşit. Ve şimdi bulduk. Elimizde çemberin standart biçimdeki denklemi var. Hatırlayın, eğer çemberin merkezi 0 ise, standart biçim x kare artı y kare eşittir r kare. Yani bu r kare, yarıçapın karesi. Yani yarıçap da 3'e eşit. Ve merkezi de 1'e eksi 2 noktasında. Peki neden? Çünkü neyin bu denklemi 0 yapacağını düşünmeliyiz. Bu 0 noktasıydı. Ama şu an x koordinatı 1. Ve bu denklemi sıfır yapacak şey, y eşittir sıfırdır. Yani bu durumda y eşittir eksi 2. Çemberimiz bu. Yarıçap da bu, şimdi çemberi grafiğe dökmeye hazırız. 1'e eksi 2 noktasında olacak. Yani burada. Yani bu çember burada başlayacak. Bu 1 noktası olacak. Yani merkeze çok yakın. İşte merkezde. 1'e eksi 2 noktasında ve yarıçapı da 3. Yani bu uzaklık her yönde 3. çok kolay bir problemdi. Çemberler zaten bazı açıdan bazı yönlerden aslında en kolayıdır. Bu arada hatırlayın, bu bir elips olacak demiştim. Yani bu, elips için standart formül. Yani iki tarafı da 9'a bölerseniz ne elde edersiniz? x eksi 1 karesi bölü 9 artı y artı 2 bunu karesi bölü 9 eşittir 1'e. Yani yatay eksen, ya da yatay çap 3 olacak. Ya da yatay, yada yatay yarıçap 3 olacak. Ve dikey yarıçap da 3 olacak. Çünkü bu elipste yarıçap değişmez. Yani gerçekten bir çember. Evet hadi bir tane daha yapalım. Bunları bildiğinize öğrendiğinize emin olalım. Elimizde 2x kare artı y artı 12x artı 16 eşittir 0 var. Peki önce x kare ve y kare değerlerine bakalım. 0 kareli bir terimdir. Ama y kare terimi yok. Yani bu bir tip bilmece. Bu bizi konik kesitlerimizin dördüncüsüne götürecek. İlk videoda bahsetmiştik ama üstünde durmamıştık. Bu bir parabol, parabol bu. Peki parabol olduğunu nereden anladım? İlerideki videolarda parabollerin değişik biçimlerine değineceğim. Ve bütün noktaların nasıl bir noktaya ve bir doğruya eşit uzaklıkta olduğuna değineceğim. Ama biliyorsunuz ki en basit parabol y eşittir x karedir. Parabol buna benzer. Tepe noktası orijindir. Ya da x eşittir y kare dersek buna benzer. Yanlamasına şekildedir. Böyle yanlamasınadır. Tepe noktası yine orijindir. Bunun bir parabol olduğunu biliyoruz çünkü y ve x kare değerlerimiz var. Bunlar farklı dereceler. y'nin ikinci derece terimi yok. Bunu size tanıdık gelecek bir forma sokmak için, sol taraftan y dışında her şeyi çıkaralım. yani y eşittir eksi 2x kare eksi 12x eksi 16. Bu şimdi sizin bildiğiniz form. Daha alışık aşina olduğunuz form Bu parabolun şimdi sıfırlarını bulmayı biliyorsunuzdur değil mi şimdi bunu yapalım. Bu denklem ne zaman bakalım x ekseni ile kesişiyor? y eşittir sıfır ise. Yani bu, sıfıra eşittir. 2x kare eksi 12x eksi 16 elde ettik. Bu genelde yaptığımızdan farklı. Normalde kareyi tamamlamaya çalışırdım. Ama bu sefer ilk önce parabolun sıfırlarını bulmalıyım. Sıfırlarını bulmalıyım. Yani sıfır eşittir eksi 2 çarpı eksi 2'yi çarpanlarına ayırırsak x artı 6x artı 8 elde ederiz. Yani bu sıfır, eksi 2 çarpı x artı 2 çarpı x artı 4'e eşittir. Yani her şeyin sıfır olabilmesi için, ya bu sıfırdır ya da bu sıfır olmalıdır. Yani ya x artı 2 sıfıra eşittir, ya da x artı 4 sıfıra eşittir. Yani x eşittir eksi 2 ve x eşittir eksi 4. Bu parabolun iki sıfırı bunlardır. Şimdi bu parabol ile ilgili bir şeyi kesin biliyoruz, ki bunu bunu cebir sınıflarınızda yapmışsınızdır. x eksenini çizseydik, parabol x eksenini 1 ve eksi 2 noktalarında, ya da 3 ve eksi 4 noktalarında keserdi. Şu ana kadar bunu biliyoruz. Bakalım bu parabol hakkında daha çok şey öğrenmek için kareye tamamlama becerimizi becerilerimizi kullanabilir miyiz? Bunu tekrar yazacağım şimdi. Yani y eşittir Şimdi x değerlerini olduğu gibi alalım ve eksi 2'yi ayıralım. Eksi 2 çarpı x kare artı 6x. Ve bir şey daha ekleyeceğim. Ve şimdi eksi 16 çıktı, eksi 16 elde ettim. Tam kare elde etmek için 6'nın bir bölü ikisini almalıyım. Yani 3. 3'ün karesi 9. Eğer denklemin sağ tarafına 9 eklersek ama sadece 9 eklemedim. Bu 9 çarpı eksi 2. Çıkarırsam, bu eksi 18 eğer sağ tabi taraftan 18 çıkarıyorsam sol taraftan da çıkarmalıyım. Yani eksi 18. Ve şimdi denklem y eksi 18 eşittir eksi 2 çarpı x artı 3'ün karesi x artı 3 karesi eksi 16. Şimdi bunu bildiğimiz bir formata forma sokalım. İki tarafa da 16 ekleyelim. Şimdi İki tarafa da 16 eklersek y eksi 18, artı 16. Bu y eksi 2 olacak, ama çevresine parantez koyacağım. Eşittir eksi 2 çarpı x artı 3 kare. Şimdi neden bu forma soktum diye soracaksınız. Çünkü bu bize yardım edecek, diğer konik kesitlerde de bu tipi görürüz. Size şimdi y eşittir x kareyi grafiğe dökün desem. Bunun gibi bir şeye benzerdi. Buraya biraz eksen çizelim. y eşittir x kare bunun gibi bir şeye benzer. Bir parabole benziyor. Aslında bu bir parabol, tepe noktası da 0. Tepe noktası bu arada parabolun en yüksek ya da en alçak noktasıdır. Ufak bir hatırlatma. Hesaplamaya geçtiğimizde bununla ilgili çok daha fazla şey öğreneceksiniz, göreceksiniz. Ama hatırlayabilirsiniz, U'nun altı ya da üstü. y eşittir eksi x kareyi çizseydim, bazı noktaları işaretleyebilirdiniz. Ama bunun gibi bir şeye benziyor. Eğer y eşittir 2x kareyi grafiğe dökmeyi deneseydim y eşittir x kare gibi olurdu biraz benzerdi ama iki kat daha hızlı yukarı çıkardı. Buna benzerdi mesela yine tepe noktası orijindir. Eğer y eşittir eksi 2x kareyi çizseydik de bunun gibi bir şey olurdu. Aşağı doğru açılırdı ve iki kat hızlı aşağı giderdi. Bu denklem, y eşittir eksi 2x kare ile aynı şey. Aynı ana hatlara sahip. Ama ama tepe noktası değişmiş durumda yani orijinde değil. Peki hangi y değeri bu terimi sıfır yapar? y eşittir 2. Peki neden sıfır yapan değeri arıyoruz? Çünkü orijindeyiz. Orjin. Hangi x değeri bunu sıfır yapar? x eşittir eksi 3. Bu bize tepe noktasının nerede olduğu ile ilgili bilgi verir. Tepe noktası x eşittir eksi 3, y eşittir 2 koordinatındadır, koordinatlarındadır. Yani olduğu yer x eşittir 1,2,3. Ve y eşittir 1,2. Bu iki noktayı çoktan biliyoruz, çünkü bunun 0 olduğunu bulduk. Bilmeseydik bile, y eşittir eksi 2x kare ile aynı şekle sahip olduğunu biliyoruz. Yani aşağı doğru açılacak. Bunun gibi. Ve y eşittir eksi x kareden daha hızlı olacak. Buna benzeyecek. Ve bu noktalardan geçtiğini de biliyoruz. İşte böyle. Artık her konik kesit türüne değindik. İlerki iki videoda, konik kesit teorisi konik kesit teorisi hakkında daha derinlere ineceğim. Fakat bence bir cebir testinde karşınıza çıkacak pek çok soruyu artık şu anda cevaplayabilirsiniz. Hoşçakalın.