Ana içerik

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6

Ders 7: Karmaşık Sayıların Mutlak Değeri

Karmaşık sayılarda mutlak değer & açı tekrarı

Karmaşık sayıların özellikleriyle ilgili bilginizi tekrar edin: mutlak değer ve açı. Bunlarla bir sayının kartezyen gösterimi arasında dönüştürme yapın.


$a + b i$ ‍'nin mutlak değeri
$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
$a + b i$ ‍'nin açısı
$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
Mutlak değer $r$ ‍ ve $θ$ ‍ açısından dikdörtgensel form
$r \cos θ + r \sin θ i$ ‍

Karmaşık sayıların mutlak değeri ve açısı nedir?

Karmaşık sayıları dikdörtgensel formlarında yazmaya alışkınız; bu, onların

gerçel

imajiner

parçalarını verir. Örneğin,

3 + 4 i

Sayıları karmaçık düzlemde parçalarına göre çizebiliriz:

Grafiksel olarak düşünüldüğünde, karmaşık sayıları özgün şekilde tanımlamanın başka bir yolu daha vardır — bunların

mutlak değerini

açısını

kullanmak:

Mutlak değer

veya

modül

karmaşık düzlemde sayının başlangıç noktasından uzaklığını verir;

açı

veya

argüman

ise sayının pozitif gerçel eksenle oluşturduğu açıdır.

Bir

z

karmaşık sayısının mutlak değeri, bir gerçek sayının mutlak değeri ile benzer şekilde yazılır,

| z |

gibi.

Karmaşık sayıların mutlak değerine ve açısına ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Alıştırma seti 1: Mutlak değeri bulma

Karmaşık bir sayının mutlak değerini bulmak için, parçaların karelerinin toplamının karekökünü alırız (Bu, doğrudan Pisagor teoreminin bir sonucudur):

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Örneğin,

3 + 4 i

'nin mutlak değeri

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

'tir.

Problem 1,1

| 3 + 7 i | =

Kesin bir cevap verin, yuvarlamayın.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 2: Açıyı bulma

Bir karmaşık sayının açısını bulmak için, parçalarının oranının ters tanjantını alırız:

θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

Bu, sayı ile gerçel eksen arasında oluşan dik üçgende trigonometri kullanmanın bir sonucudur.

Örnek 1: Çeyrek Düzlem $I$ ‍

3 + 4 i

açısını bulalım:

\tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

Örnek 1: Çeyrek Düzlem $II$ ‍

- 3 + 4 i

'nin açısını bulalım. İlk olarak,

- 3 + 4 i

'nin Çeyrek Düzlem Quadrant

II

'de olduğuna dikkat edin.

\tan^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

Çeyrek Düzlem

IV

'tedir, Çeyrek Düzlem

II

'de değildir. Ters açıyı elde etmek için

180^{\circ}

eklemeliyiz:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

Problem 2,1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

Eğer gerekirse, cevabınızı en yakın onda birliğe yuvarlayın. $θ$ ‍’yı $- 180^{\circ}$ ‍ ile $180^{\circ}$ ‍ arasında ifade edin.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Alıştırma seti 3: Mutlak değer ve açıdan dikdörtgensel form

Bir karmaşık sayının mutlak değerinden ve açısından bu sayının gerçel ve imajiner parçalarını bulmak için, mutlak değeri açının sinüs veya kosinüsüyle çarparız:

Bu, sayı ile gerçel eksen arasında oluşan dik üçgende trigonometri kullanmanın bir sonucudur.

Örneğin, mutlak değeri

2

ve açısı

30^{\circ}

olan karmaşık sayının dikdörtgensel formu budur:

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

Problem 3,1

| z_{1} | = 3

and

θ_{1} = 20^{\circ}

z_{1} =

i

Cevaplarınızı en yakın binde birliğe yuvarlayın.

Buna benzer başka problemlerle daha fazla alıştırma yapmak ister misiniz? Bu alıştırmayı yapın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Kalkülüse Hazırlık

Konu: Kalkülüse Hazırlık > Ünite 6

Karmaşık sayıların mutlak değeri ve açısı nedir?

Alıştırma seti 1: Mutlak değeri bulma

Alıştırma seti 2: Açıyı bulma

Örnek 1: Çeyrek Düzlem I‍

Örnek 1: Çeyrek Düzlem II‍

Alıştırma seti 3: Mutlak değer ve açıdan dikdörtgensel form

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Örnek 1: Çeyrek Düzlem $I$ ‍

Örnek 1: Çeyrek Düzlem $II$ ‍