Poisson Süreci 1

Bu bir trafik mühendisi olduğunuzu ve sokağın belirli noktasından zamanın belirli bir anında kaç tane araba geçtiğini bulmak istediğinizi düşünün Bir saat içerisinde 5 araba ve yüz araba geçmesinin olasılığını hesaplamak istiyorsunuz bunun için yapmanız gereken ilk şey bulmak istediğiniz şeyi tanımlayan bir rassal değişken yazmaktır Hemen yazalım ilk sırasal değişkenini belirli bir süre de mesela Bir saat içerisinde geçen araba sayısı olarak tanımlayalım amacınız bu rassal değişken in olasılık dağılımının hesaplamak Çünkü bu dağılımı bulduğunuzda Bir saat içerisinde yüz arabayada hiç araba geçmemesinin olasılıklarını da bulmuş olacaksınız bu arada bu videoda da kullanmanız gereken iki varsayımdan bahsetmek istiyorum videonun başlığından da anladığınız gibi poisson dağılımı inceleyeceğiz ve bunu yapabilmek için de iki varsayımda bulunmamız gerekiyor öncelikle bu Sokak için söz o zaman belirli bir saatin herhangi başka bir saatten Farklı olmadığını kabul edeceğiz kulağa çok da mantıklı gelmediğini biliyorum Yani demek istediğim İş çıkışı saatleriyle diğer saatler arasında kesinlikle bir fark olacaktır Örneğin daha gerçekçi olması için bunun bir gün olduğunu da düşünebiliriz ama hayır bunu yapmayalım ve az önce de söylediğim gibi bir arabanın geçmesi olasılığı söz konusu olduğunda saatler arasında Hatta saatlerin Saniyeler arasında bir fark olmadığını varsayalım anlaştık gerçek trafiği düşündüğümüzde pek de gerçekçi bir yaklaşım olmadı ama dediğim gibi devam edebilmek için bu varsayıma ihtiyacımız var diğer varsayım ise bir saat içerisinde birkaç araba geçiyorsa bir sonraki saatte daha az araba geçmeyecek demek istediğim belirli bir saat içerisinde geçen arabaların sayısıyla diğer saat içerisinde geçen arabaların sayısı arasında herhangi bir korelasyon ya da bağıntı yok tamam mı Yani bunlar bağım biz bunları söyledikten sonra bildiklerimizi kullanarak bunun için bir dağılım modelle yapabileceğimizi düşünüyorum yapmamız gereken şeylerden biri hatta nasıl bir dağılımla çalışırsanız çalışın bunu yaparak başlamanızı öneririm ortalama için bir tahminde bulunmak bunu yapmak için de sokakta kendinize serin bir yer seçmeniz ve bir süre boyunca kaç araba geçtiğini sahip Bunların ortalamasını almanız gerekiyor Bu popülasyonun gerçek ortalaması için oldukça iyi bir tahmin verecektir ya da bu bir rassal değişken olduğu için rassal değişken in beklenen değeri diyelim Şimdi bunu yaptığınızı ve rassal değişken in beklenen değerini lan da olarak bulduğunuzu düşünelim lamda saatte Dokuz arabayada 9,3 araba olabilir Evet belki de yüz saat boyunca oturmuş arabaları saymış ortalamalarını almış 9,3 bulmuş ve bunun da iyi bir tahmin olduğunu düşünüyorsunuz dur bunu bulduktan sonra başka ne yapabiliriz binom dağılımı selam söyle değil mi 1010 dağılımına göre rassal bir değişkenin beklenen değeri rassal değişken meydana getiren deneme sayısı bundan önceki videolarda mesela Yazı Tura atıp da gelen Tura sayısını alıyorduk Evet bunun o örnekteki attığımız Yazı Tura sayısı olduğunu düşünebilirsiniz çarpıp her atışta ki başarı olasılığı böyle hesaplanır 1010 dağılımında bunu görmüştük ve belki buradaki trafik örneği için de benzer bir şey yapabiliriz Bu bir saatte geçen araba sayısıyla Öyle değil mi Bir bakalım saatte selam da arabayı buradaki deneme sayısı olarak bir dakika da araba geçmemesini kullanalım bir saatte 60 dakika olduğuna göre deneme ya da deney sayımızda atmış olacak bu denemelerin herhangi birinde başarılı olma olasılığımız ise bunu Eğer bir binom dağılım olarak modellenmiş olsaydık lamda bölü 60 araba bölü dakika olurdu bu Eğer bir 1010 dalı Bu kaydı bu en Bu da olasılık olacaktı Bu arada Bununla çok da kötü bir model elde edeceğimizi de zannetmiyorum Evet bu bir binom dağılımı değil devam edersek rassal değişken in belirli bir değere mesela Kaya eşit olmasının olasılığını K örneği 3 olabilir bu da bir saatte 3 araba geçmesinin olasılığı anlamına gelir eşittir en 60'tan Kağıthane seçeceğiz Evet çarpı başarı Yani herhangi bir dakika da araba geçmesinin olasılığı ise lamda bölü 60 olacak kaç tane başarı istiyoruz Kağıthane olduğu için üzeri K yazıyor çarpı başarılı olamama durumumuz yani hiç araba geçmemesi durumu içinde bir eksi lan da böyle atmış üzeri en eksik A yazıyor Kağıthane başarı varsa en eksi Kağıthane'de başarısızlık vardır Öyle değil mi Evet en 60 olduğuna göre burada 60 eksik a olacak Bunun sonucu Bu gerçekten de fena olmayan bir tahmin elde ederiz 60 dakikamız var Ve bunun bir binom dağılımı olduğunu düşünüyorsak oldukça tatmin edici bir sonuç elde edeceğimizi Söyleyebilirim ama burada önemli bir nokta var Bu modelde yani bulmak istediğimizi bir binom dağılımı ile model dediğimizde bir saatte birden fazla araba geçerse ne olur Pardon bir dakika da birden fazla araba geçerse ne olur demek istedim bakın burada başarıyı dakikada bir araba geçmesi olarak tanımladık ve sayıyor Sak Bu bir başarı sayılır dakika da 5 araba geçse bile bu noktada Tamam anladım ne yapmam gerektiğini biliyorum dönüş olabilirsiniz daha küçük çalışmam lazım diye düşünüp burada dakika yerine saniye kullanmalıyım diyebilirsiniz yazıyorum Kağıthane başarı elde etmemiz in olasılığı bu durumda 60 yerine 3600 denememiz olacak 3600 saniyede Kağıthane başarılı saniye olması olasılığı ya da 3600 saniyede bir arabanın geçtiği bu evlerin sayısı da diyebilirim bu 3600'den Kağıthane seçmek demektir Evet çarpıp herhangi bir saniyede bir araba geçmesi olasılığı bir saatte beklenen araba sayısı ya nilland da bölü saniye sayısı yani 3600 üzeri kalk başarısız olduğumuz durumlarda unutmayalım buraya da 3600 eksik a yazacağız Bu çok daha iyi bir tahmin verir Evet çok daha iyi bir sonuç verir ama yine bir saniye içinde iki arabanın peş peşe geçme olasılığı da söz konusudur öyle değil Bunu yaptıktan sonra da böyle bir sorunla karşılaşınca daha da küçük ölçeklerde çalışmamız gerektiğini yani buradaki sayının büyümesi gerektiğini anlamış olmalısınız mantığınız doğru ve bunu yapmaya devam ederseniz boys'un dağılımını elde edersiniz bu noktada bunun ilgi çekici bir şey olduğunu Yani polisim dağılımının bir formülü olduğunu ve bu formülü doğrudan kullanabileceğim ne demek istiyorum Ama bunun Aslında 1010 dağılımından farklı bir şey olmadığını ve binom dağılımında Yazı Tura atmanın arkasında yatan mantıktan ortaya çıktığını bilmelisiniz her şey zaten bir noktada Yazı Tura atma ya bağlanır bunun limitini alıp da farklı bir renk kullandığım Evet bu sayı sonsuza giderken limiti aldığımızda bunun toysun dağılımına dönüşeceğini is patlamadan size kullanışlı olabilecek birkaç matematiksel araç göstermek istiyorum Bunlardan ilki ki artık bu noktada Alışık olduğunu düşündüğüm bir şey yazıyorum Limited x sonsuza giderken bir artı A bölümü 2x üzeri iksi ne üzeri Ağa Çarpı x eşit olması Ama pardon özür dilerim buna değil Ee üzeri aya eşittir Evet bunun doğru olduğunu ispatlamak için bir bölü enina böyle 2x eşi oy kullanacağım buradan X'in en çarpı aya eşit olduğunu söyleyebiliriz şimdi ilk sonsuza giderken anne yapar da yine özür dilerim ilk sonsuza giderken Neye ne olur demem gerekiyor Next böyle aya eşittir ve bunun eninde sonsuza gideceği anlamına gelir Öyle değil mi Bunu Bunun yerine kullanırsam limit en sonsuza giderken bir artı ama böyle iksiri n11en yazacağım xd en çarpı aile eşit üzeri en çarpı A bu limit en sonsuza giderken bir artı bir bölü en üzeri en üzeri aya eşittir Burada en olmadığı için önce limiti alıp sonra da üzeri abi hesaplayabiliriz söylediğim o halde limit en sonsuza giderken bir artı bir bölü en üzeri en üzeri ad ne yazabilirim ve eğer hatırlarsanız bu enenin limit tanımlarından biridir bileşik faiz konusunda hazırladığımız videoları izlediyseniz hemen hatırla mısınızdır Evet bu şekilde elde ederiz Eğer kontrol etmek isterseniz hesap makinenizi alın En için giderek artan değerler seçin Sonuç olarak eyi elde edeceğinizi göreceksin eşittir iç kısımda ne gelecek ve üzeri a yapınca da Ee üzeri ayı elde edeceğiz bunun e150a eşit olduğu konusunda hemfikir sake devam edelim bilmenizi istediğim şeylerden bir diğeri de bunun ispatını da belki önümüzdeki videoda yaparım Evet x faktöryel bölümü eksik a faktöriyelini x çarpı ilk seksi bir çarpık -2 ile başlayıp ilk seksi ka artı 1'e eşit olduğunu aklınızda tutmanız bunu daha önce defalarca yaptık Belki bu kadar net olarak ilk kez yazıyorum ama size burada ben buna Kağıthane Terim olacağını göstereyim bu birinci Bu ikinci Bu üçüncü terimdir budaka numaralı terimdir olsun dağılımı için Buna da ihtiyacımız olacak gerçek bir örnek vermem gerekirse mesela 7 faktöryel bölü 7 -2 Doktor yel diyelim 7 çarpı altı çarpı 5 çarpı dört çarpı üç çarpı iki çarpı 1/2 çarpı bir pardon 7 ex25 eder bölü 5 çarpı dört çarpı üç çarpı iki çarpı 1E eşittir Bunlar sadeleş ince de geriye 7 çarpı altı kalır bir terim 7 son terimi S7 eksik artı birden alt Aynen Buradaki gibi yedi eksi iki artı bir Burada ikide ve gördüğünüz gibi sonuç olarak da iki Terim elde ettik bunları hazırladıktan sonra artık koysun da alıp için hazırız ama bunu bir sonraki videoya bırakmak istiyorum görüşmek üzere abone ol