Ana içerik

Konu: İstatistik ve Olasılık > Ünite 3

Ders 4: Popülasyon Varyansı ve Standart Sapma

Kavramı Anlama: Standart Sapma

Standart sapmayı daha iyi anlamanıza yardımcı olacak altı soru.

Giriş

Aşağıdaki sorular standart sapma ve formülü hakkında daha derinlemesine düşünmeniz için tasarlanmıştır.

Khan Academy'deki çoğu sorunun aksine, bu soruların bazıları bilgisayar tarafından notlanmamaktadır. "Açıklama"ya tıklamadan önce her bir soruyu cevaplamaya çalışmanız konuyu daha iyi öğrenmenizi sağlayacaktır.

Formül (hatırlatma amacıyla)

Standart sapmanın (SS) formülü şöyledir:

$SS = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

burada

\sum

işareti "toplam"ı ifade ederken;

x

, veri kümesinde bir değer;

\bar{x}

, veri kümesinin ortalaması ve

n

de veri kümesindeki değerlerin sayısıdır.

1. Bölüm

Basit bir veri kümesini,

{1, 4, 7, 2, 6}

, düşünün.

$7$ ‍ yerine $12$ ‍ geldiğinde standart sapma nasıl değişir?

Bunu standart sapma formülünde nasıl görebiliriz?

Standart sapma nasıl değişir?

Veri noktalarının aralığı genişlediğinde standart sapma artar:

Bunu standart sapma formülünde nasıl görebiliriz?

Bunu formülde şu şekilde görebiliriz

$SS = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

çünkü

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

, her veri noktasının ortalamaya uzaklığının karelerinin toplamıdır. Veri aralığı açıldıkça,

\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}

değeri artar.

Merak ediyorum, verilen örnekteki gerçek standart sapma değerleri nelerdir?

{1, 2, 4, 6, 7}

'nin standart sapması yaklaşık olarak

2, 28

'dir.

{1, 2, 4, 6, 12}

'nin standart sapması yaklaşık olarak

3, 90

'dır.

2. Bölüm

$4$ ‍ veri noktalı, standart sapması $0$ ‍ olan bir veri kümesi oluşturmak mümkün müdür?

Eğer mümkünse, bunu sağlayan bir veri kümesi yapın da görelim! İki farklı veri kümesi oluşturabilir misiniz? Peki ya üç?

Evet, bu mümkündür!

Aslında, bunu mümkün kılan sonsuz sayıda veri kümesi bulunur.

İşte onlardan biri:

$5, 5, 5, 5$ ‍

Bu da bir başkası:

$8, 8, 8, 8$ ‍

Tüm veri noktalarının aynı olduğu herhangi bir veri kümesinin standart sapması

0

'dır çünkü veri noktalarının ortalamaya olan uzaklığı

0

'a eşittir.

${5, 5, 5, 5}$ ‍ veri kümesi için hesaplamayı gösterelim.

Adım 1: Ortalamayı bulun

\bar{x} = \frac{5 + 5 + 5 + 5}{4} = \frac{20}{4} = 5

Adım 2: Her bir veri noktasının ortalamaya olan uzaklığının karesini bulun

$x$ ‍		$\| x - \bar{x} \|^{2}$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$5$ ‍		$\| 5 - 5 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍

Adım 3: Formülü uygulayın

\begin{aligned} SS & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}} \\ = \sqrt{\frac{0 + 0 + 0 + 0}{4}} \\ = \sqrt{\frac{0}{4}} \\ = \sqrt{0} \\ = 0 \end{aligned}

3. Bölüm

Standart sapma negatif olabilir mi?

Neden negatif olabilir veya olamaz?
İpucu: Formülü düşünün.

Hayır, standart sapma negatif olamaz!

Nedenini anlamak için, kökün içindeki pay ve paydayı düşünün:

$SS = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

n

'nin her zaman pozitif olacağını biliyoruz. Bu, veri noktalarının sayısıdır ve eksi sayıda veri noktası olamaz!

Ayrıca

\sum | x - \bar{x} |^{2}

ile de bir sayının karesinin alındığı ifade edilmektedir. Bir sayının karesini aldığımızda, negatif olmayan bir değer elde ederiz.

Hem payda hem de pay pozitif olduğundan, ifadenin tamamı da pozitif olmalıdır.

4. Bölüm

Standart sapma, veri dağılımının yayılımının bir ölçüsüdür.

Sizce sapmanın anlamı ne olabilir?

5. Bölüm

İşte her ikisi de yayılım ölçüleri olan standart sapmanın (SS) ve ortalama mutlak sapmanın (OMS) formülleri:

$SS = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

$OMS = \frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |}{n}$ ‍

Formüller arasındaki benzerlikler nelerdir? Farklar nelerdir?

Benzerlikler nelerdir?

Formüller aslında çok benzerdir! İkisi de her veri noktasının ortalamaya olan uzaklığı yani

| x - \bar{x} |

değeri ile ilgilidir ve ikisinde de veri noktası sayısı

n

ile bölme yapılmaktadır.

Farklılıklar nelerdir?

İki formül arasındaki fark, standart sapmayı hesaplarken, her veri noktasının ortalamaya uzaklığının karesini almamız ve sonra formülün son adımı olarak da karekök almamızdır.

Hangisi daha iyidir?

Standart sapma daha karmaşıktır, ama istatistikçilerin yayılım ölçüsü olarak onu seçmelerine sebep olan bazı güzel özellikleri vardır.

6. Bölüm

Standart sapmayı hesaplamak için kullandığımız formül budur:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - \bar{x} |^{2}}{n}}$ ‍

Bu da istatistikçilerin kullandığı formüldür:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Bu iki formül birbirine denk midir?

Formüllerin arasındaki fark nedir?

Biz, kullandığımız formülde,

x - \bar{x}

'in mutlak değerini alıyoruz:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} {| x - \bar{x} |}^{2}}{n}}$ ‍

İstatistikçilerin kullandıkları formülde ise

x - \bar{x}

parantez içindedir:

$\sqrt{\frac{\sum_{}^{} (x - \bar{x})^{2}}{n}}$ ‍

Bu formüller birbirine denk midir?

Evet, iki formül birbirine denktir!

İstatistikçiler, kare almanın uzaklığı pozitif yaptığını bildikleri için mutlak değer işaretiyle uğraşmaz ve onun yerine parantez kullanırlar.

Örneğin,

x = 2

\bar{x} = 5

için

| x - \bar{x} |^{2}

(x - \bar{x})^{2}

değerlerini bulalım:

$| x - \bar{x} |^{2} = | 2 - 5 |^{2} = | - 3 |^{2} = 3^{2} = 9$ ‍

$(x - \bar{x})^{2} = (2 - 5)^{2} = (- 3)^{2} = 9$ ‍

İkisi de pozitiftir! İkisi de

9

'dur! Ve dolayısıyla birbirlerine denktir!

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.