İspat: Rasyonel Sayı ile İrrasyonel Sayının Toplamı İrrasyoneldir

Diyelim ki, Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayıyı toplamak istiyoruz. Sizce, bu toplama işleminin sonucu ne olur? Rasyonel mi irrasyonel mi? İçimden rasyonel olur diye cevaplamak geliyor Ama bu cevabın doğruluğundan emin değilim çünkü şu anda sadece fikir yürütüyorum. Sorunun cevabını ararken, varsayımımın doğru mu yoksa yanlış mı olduğunu her birlikte göreceğiz. O halde şimdilik, rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayı toplanırsa sonuç rasyonel olur diyelim. Buraya rasyonel yazalım. Şimdi rasyonel bu sayı, iki tam sayının oranı olacak, Diyelim ki a bölü b İrrasyonel sayıya ise “x” diyelim. Ve toplamları olduğunu düşündüğümüz toplam olduğunu düşündüğümüz rasyonel sayıyı da başka iki tam sayının oranı olarak ifade edelim. Mesela m bölü n diyelim Bunu tekrar yazacak olursak, a bölü b artı x m bölü n’ye eşit! Şimdi a bölü b’yi iki taraftan da çıkaracak olursak, elimizde x eşittir, m bölü n eksi a bölü b kalır. Bu iki kesri birbirinden çıkaracak olursam da, Payda, nb olur. Pay ise, mb eksi an olur. Aslında, burada yaptığım tek şey bu iki kesri birbirine eklemek. Önce ortak paydayı buldum, yani ilk kesri b ile ikinci kesri de n ile çarptım. Ve sonra iki kesri toplayarak, bu ifadeyi elde ettim. Şimdi. Elde ettiğimiz ifadenin paydasına bakarsanız paydanın kesinlikle bir tamsayı olduğunu söyleyebilirsiniz. İki tam sayının çarpımı tam sayıdır, öyle değil mi? Evet, bu bir tam sayı. Paya baktığımızda ise, mb’nin ve na’nin birer tam sayı olduğunu biliyoruz. İki tam sayının fark yine tam sayıdır. O halde, pay da bir tam sayı. Soruyu okuduğumuzda cevap olarak ilk cevap olarak rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamının rasyonel olacağını varsaymıştık. Ama burada bir çelişki var. X irrasyonel bir sayıydı. Ama bulduğumuz sonuç iki tam sayının oranını içeren bir ifade olduğu için, x rasyonel olmalı. İşte çelişki! X’in irrasyonel olduğu varsaymıştık ama şimdi rasyonel olması gerektiği sonucuna ulaştık. O halde, bu durumun tek bir açıklaması var Sorunun başında yapmış olduğumuz varsayım, doğru değil! Evet, bu varsayım kesinlikle yanlış! Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının toplamı kesinlikle irrasyonel olmalı! Demek ki verdiğiniz her cevabı kontrol etmekte, sağlamasını yapmakta fayda var. Bu kadar !