Ters Fonksiyonu Bulalım: Doğrusal

Fonksiyonumuz şu: "f x" eşittir; "eksi x" artı 4. "f x" fonksiyonumuzun grafiği de işte bu şekildedir. Şimdi gelin, "f"nin tersini bulmaya çalışalım. Ben bu fonksiyonun tersini şöyle bulurum: "f x"i, "y"ye eşitlerim. Aynen yazıyorum şimdi. "y", eşittir, "eksi x" artı 4. Burada "y"yi, x cinsinden yazdım. Fonksiyonun tersini bulmak için, şimdi bunun tam tersini yapacağız. Yani x'i, "y" cinsinden bulacağız. Önce her iki yandan da 4 çıkaralım.Ne olur? "y" eksi 4, eşittir, "eksi x". x'i bulmak için, bu denklemin her iki yanını "eksi 1" ile çarpalım. O ne oldu? "eksi y" artı 4, eşittir, x oldu. Tabii, bağımlı değişkeni genelde denklemin sol yanına yazdığımız için, bu denklemi şöyle de yazabiliriz: x, eşittir, "eksi y" artı 4. Bir diğer yazım şekli de şu olur: "f y"nin ters fonksiyonu, eşittir, "eksi y" artı 4. Bu yazdığımız, ters fonksiyondur. Onu, "y"nin bir fonksiyonu olarak yazdık ama "y" yerine x yazarak, x'in fonksiyonu yapabiliriz. Gelin, öyle yazalım. "y" yerine x yazarsak; "f x"in tersi, eşittir, "eksi x" artı 4. Bu iki fonsiyon birbirinin aynıdır. İlk fonksiyonda,bağımsız değişken olarak "y" kullandık. İkincideyse x kullandık. Ama ikisi de aynı fonksiyondur. Şimdi de gelin, ters fonksiyonun grafiğini çizip, burada çizili olan grafikle olan ilişkisini inceleyelim. İki fonksiyona baktığınız zaman aynı olduklarını görürsünüz. İkisi de "eksi x" artı 4 tür. Aynı fonksiyonlar. İki fonksiyonun, eksenleri kestiği noktalar da bire bir aynı olacak. Fonksiyon, kendisinin tersine eşittir. Grafiklerini çizdiğimizde, ikisinin grafiği üst üste olur. Bu konu üzerinde oturup düşüneceğimiz bazı noktalar var. Ters fonksiyonlar hakkındaki ilk videoda, bir fonksiyonun, tersiyle olan ilişkisini anlatmıştım. Grafiklerinin, "y eşittir x" doğrusuna göre simetrik olduğunu söylemiştim. "y eşittir x" doğrusu nerede peki? "y eşittir x" doğrusu şudur. "eksi x" artı 4 doğrusu, "y eşittir x" doğrusuna diktir. "y eşittir x"e göre yansımasını düşündüğümüzde, "eksi x" artı 4, kendi üzerine katlanır gibi düşünebilirsiniz. Yine aynı doğrudur.Yani, yansıması, kendisiyle aynıdır. Şimdi daha iyi anlamanız için bir örnek vereyim. Fonksiyonun kendisini ele alalım. x yerine 2 koyarsak, fonksiyon bizi 2'ye götürür. x yerine 4 koyarsak, fonksiyon bizi sıfıra götürür. Peki, ters fonksiyonda ne oluyor? x yerine 2 koyarsak, 2'ye götürür. İkisinde de 2'ye götürdü değil mi ? Çok makül. Fonksiyonun kendisi, 4 koyarsak, sıfıra götürüyor.Ters fonksiyon, sıfır koyduğumuzda 4'e götürüyor. Tam da olması gerektiği gibi. Başka türlü düşünelim.Fonksiyonda... En iyisi, açık açık yazayım şuraya çok bariz olduğu için yazmam gereksiz gelebilir ama olur ya hani anlamadıysanız, bence yine bir yardımı dokunacaktır. "f 5" fonksiyonunu ele alalım."f 5" fonksiyonu, "eksi 1"e eşittir. Şöyle de diyebiliriz: "f" fonksiyonu bizi 5'ten "eksi 1"e götürür. Peki, "f"nin tersi ne yapar? "f eksi 1"in tersi nedir? "f eksi 1"in tersi,5 'tir. 5'e eşittir. Fonksiyon bizi "eksi 1"den alıp 5'e götürür. Bu fonksiyonların tanım kümelerini ve değer kümelerini düşünün. Bu, "f"nin tanım kümesi, bu da değer kümesi olsun. "f" bizi 5'ten alıp "eksi 1"e götürür. "f" fonksiyonu böyle yapar. "f"nin tersi de, bizi "eksi 1"den alıp 5'e götürecektir. Çok makul. Bir örnek daha çözelim. Bu, "g x" fonksiyonu. "g x", "eksi 2 x" eksi, 1'e eşit. Önceki örnekte olduğu gibi, şimdi bu fonksiyonu yine "y"ye eşitliyorum. Yani, "y" eşittir "g x", o da eşittir, "eksi 2 x" eksi, 1. Fonksiyonu x'e göre çözelim."y" artı 1, eşittir, "eksi 2 x". Her iki yana da 1 ekledim.Denklemin her iki yanını da "eksi 2"ye şimdi bölelim. Ne olur? "eksi y" bölü 2, eksi, "1 bölü 2", eşittir, x. Şöyle yazabiliriz: x, eşittir, "eksi y" bölü 2, eksi, "1 bölü 2". Şöyle de yazabiliriz: "f y"nin tersi, eşittir, "eksi y" bölü 2, eksi, "1 bölü 2". "y" yerine şimdi x yazarsak ne olur? "f"nin tersi... Düzeltiyorum bu arada fonksiyon, "f" değil biraz önce "g" dedik değil mi fonksiyona? Hemen düzeltelim onu. "g y"nin tersi olacak. "g y"nin tersi, eşittir, "eksi y" bölü 2, eksi, "1 bölü 2". İlk başta "g x" fonksiyonu olarak yazmıştık, "f x" dememiştik. Fonksiyon isimlerine dikkat edelim. "y"nin yerine x yazıp şöyle diyebiliriz: "g x"in tersi, "eksi x" bölü 2, eksi, "1 bölü 2". Şimdi de grafiğini çizelim. "y" eksenini kestiği nokta, eksi "1 bölü 2". İşte burası. Doğrunun eğimi de eksi "1 bölü 2". eksi "1 bölü 2" den başlarsak ve artı yönde 1 birim gidersek, "1 bölü 2" birim aşağı ineceğiz. 1 birim daha gidersek, "1 bölü 2" birim daha aşağı ineceğiz. Eksi yönde gidersek de böyle olur. Doğrumuz da, şimdi elimden geldiğince iyi çizmeye çalışırsam, yaklaşık olarak böyle bir şeydir.Tabii her iki yönde de devam ediyor. Bakalım, bu iki doğru, "y eşittir x" doğrusuna göre simetrik mi? "y eşittir x" doğrusu nasıldı ? Söyleydi değil mi ? Gördüğünüz gibi simetrikler. Mavi doğrunun simetriği, turuncu doğrudur. Konuyu ana hatlarıyla şöyle özetleyebiliriz: Bir fonksiyonumuz var. Bu fonksiyonda, "y"yi x cinsinden ifade ediyoruz. Biraz cebir kullanıyoruz ve x'i "y" cinsinden ifade eder hâle getiriyoruz. Bu işlem, ters fonksiyonunu, "y"nin bir fonksiyonu olarak yazabilmemizi sağlıyor. Sonra da, fonksiyonu, x'in bir fonksiyonu olarak değiştiriyoruz.