If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:6:21

Düzgün, düzlemsel bir eğrinin yay uzunluğu ve gidilen mesafe

Video açıklaması

mı belirli integraller ile alan bulmuştuk Bu videoda belirli integralleri yay uzunluğu bulmak için kullanıp kullanamayacağını za araştırmak istiyor şimdi Acaba ne demek istedim bir fonksiyonun grafiği üzerinde Bu noktadan başlayıp bu noktaya geldiğini düşünelim aradaki Bu parça bir doğru değil bir doğru olsaydı uzunluğu kolayca bulabilir dik öyle değil ama bu defa buradaki eğrinin bu kısmının uzunluğu ne olduğunu bulmamız lazım Evet bu kısma bir ip yerleştirdiğimiz düşünürsek kullandığımız ipin uzunluğu ne olur dersiniz yay uzunluğu anlatmak istediğim tam olarak bu uzunluk eğri üzerinde Exo eşittir aile ilk eşittir be arasındaki uzunluk Evet biraz düşünelim integrali ya da integral kalkülüsü düşündüğümüzde bu şekilde değişen bir şeyi sonsuz derecede küçük parçalara ayırabileceğimiz biliyoruz doğrular ya da dikdörtgenler bu tahmini değerler elde edebileceğimiz ölçüde küçük parçalardan bahsediyor Daha sonra da sonsuz derecede küçük olan Bu parçaların sonsuz toplamını alabiliriz aynı mantıkla buradaki yay uzunluğunu da sonsuz derecede küçük yay uzunluklarına ayırırsın şu şekilde bu küçük yay uzunluklarına a dersem ya da ya da de Esi kullanalım Evet bu arada bunları olduklarından çok ama çok daha büyük çizdiğimde bilmelisiniz size diferansiyelin nasıl görüneceğini göstermek için bu şekilde çiziyorum Belki bunu de esteri ayırmak ne anlama geliyor olabilir Burası Eğer bir de essei yerlerinde farklı renklerle çizelim yay uzunluğunun yine çok küçük bir kısmı Burası da yay uzunluğundaki bir başka küçük parça yada değişim olur Ve şimdi eğer bu de eseri toplarsam yay uzunluğu elde ederim öyle değilim Evet ya Uzun Evet bu aralıktaki tüm de eslerin toplamına eşit s şu şekilde ifade edilebilir edebiliriz ancak buradaki ifade de es yani yay uzunluğunun diferansiyeli olarak ifade edildiğinden çok fazla işimize yaramıyor Ne de olsa biz her şeyi değil xd y türünden kullanmayı biliyoruz Peki bunu değil x değer türünden ifade etmenin bir yolu olabilir mi şimdi burada çok ufak bir ölçekle çalıştığımızda eğrinin bir doğru ile yaklaşımını alabiliriz öyle değil mi alanın dikdörtgenlerle yaklaşımını almak gibi bir şey ve bu dikdörtgenlerin sonsuz derecede küçük ve sonsuz sayıdaki leriyle Aslında dikdörtgen olmayan bir alan için tahmini bir değer elde edebildiğimiz gibi elimizde sonsuz derecede küçük ve sonsuz sayıda doğruluğunda da aslında Doğru olmayan bir eğrinin uzunluğu için tahmini bir değer elde edebiliriz Şuradaki doğ bu ele alacak olursak buradaki uzunluğu dxd y türünden ifade etmeye çalışacağım buradaki uzunluk değiştir Öyle değil mi xd ki sonsuz derecede küçük bir değişim aynı mantıkla Burası da de ye bu noktada şu anda çok da ciddi bir ispat yapmadığımı ve size işin mantığını yani yay uzunluğu formülü nereden geldiğini anlatmaya çalıştığını bir kere daha hatırlatmak istiyorum burada oluşan üçgeni kullanarak de es kareyi de x kare artı de y kare olarak yazabiliriz O halde de eski ve karekök içinde de x kare artı de ye kareye eşit olur ve buraya da yani de esin yerine karekök içinde Evet de x'in karesi artıp beğenin karesi yazabiliriz bu Pisagor teoreminin uygulanmasından başka bir şey değil Şimdi işlerin işletmeye başladı bu deeside xd y türünden ifade ettik ama burada kareleri alınmış ve bir de karekök işareti var şimdi ne yapacağız başka bir değişle Sizce bunu integralini almayı bildiğimiz bir forma getirebilir miyiz bunu de x kare parantezine alabiliriz değil mi integral karekök içinde Dex kare çarpı bir artı de ye bölü de x'in karesi bunun Bununla aynı şey olduğunun farkındasınız değil mi Bunu dextere parantezini alınca bunu elde ettik ve şimdi de devam edelim dek spreyi karekökün dışına çıkarabiliriz 5 İttir ve beyaz renk kullanayım karekök içinde bir artı de ye bölüp de x'in karesi Bu arada diye bölü diye hiçsin fonksiyonun türevi olduğu da gözümüze çarpmış olmalı Değil scaret dışarı çıkarınca Dex bu ederiz bunu İki sınır değer arasında değerlendirmeyi biliyoruz Öyle değil mi sınır değerlerini de a ve b olarak belirlemişti queue artık karşımızda Dex var yani x göre integral alıyoruz O halde bunlar da iki çeşittir avex eşittir be olacak bu ifadenin ne eşit olduğunu bulduğumuzda da yay uzunluğu elde etmiş oluruz ve bu yay uzunluğu formülün ta kendisidir biraz göz korkutucu bir formül gibi görünse de bir sonraki videoda çok kolay bir uygulamasını göreceğiz işin matematik kısmı bazen kontrolden çıkabiliyor ama o kadar da olur bunu biraz farklı bir şekilde ifade etmemi isterseniz iki çeşittir aile ilk eşittir ve arasında karekök içinde bir artı burada değeri bölü de iksiri nefis seks yazabilirim Öyle değil mi hafif üstü ilksin karesine deeps Evet şimdi elimizde Eğer fonksiyonlar bu x göre türevini Sonra da türevin karesini alın bir ekleyin ve aile be arasındaki belirli integralinin neye eşit olduğunu olun az önce de söylediğim gibi bunu bir sonraki videoya bırakıyor
AP® sınavı College Board kurumunun tescilli markasıdır ve College Board bu kaynağı kontrol etmemiştir.