İleri Seviye Kalkülüs Soru Çözümü: Taylor Serisi Yakınsamasında 0'daki Altıncı Türevi Hesaplama

C kısmı: f'nin altıncı türevinin 0'daki türevini bulunuz. f'nin altıncı türevini bulmak isteseniz, herhalde sonsuza kadar sürerdi. Sonra da 0'daki değerini bulmak, burada x kare var. Yani çarpım kuralını ve zincir kuralını defalarca kullanırdık ve iyice karışık bir çözüm olurdu. Ama burada önemli bir ipucu var. f'nin 0 etrafındaki Taylor serisinin ilk dört terimini bulmamızı istedikleri için altıncı türevin 0'daki değerini daha kolay bir şekilde bulabileceğimizi düşünüyorum. Bir önceki soruya dönelim. f'nin Taylor serisinin sıfır dışı ilk dört terimini bulmuştuk. Ve buradaki Taylor serisi tanımına bakarsak, (bu serinin anlamını bir başka Khan Akademi videosunda işliyoruz) serinin her teriminin katsayısının bu türev olduğunu görüyoruz. Bu Taylor serisi 0'ı merkez almış, soruda da bu isteniyor. Katsayının türev bölü derecenin faktöriyeli olduğunu görüyoruz. Buna göre ikinci dereceden terimin katsayısı, f'nin 0'daki ikinci türevi bölü 2 faktöriyel. Dördüncü dereceden terimin katsayısı, f'nin 0'daki dördüncü türevi bölü 4 faktöriyel. Buna göre, altıncı dereceden terim... Neyi bulmaya çalıştığımızı hatırlayalım. f'nin altıncı türevinin 0'daki değerini bulmamız isteniyordu 0'ı merkez olarak alan Taylor serisini düşünürseniz, serinin altıncı terimi, f'nin altıncı türevinin 0'daki değeri çarpı x üzeri 6 bölü 6 faktöriyeldir. Taylor serisinin altıncı terimi budur. İstediğimiz terim karşımızda duruyor. Altıncı dereceden terim bu. Bir önceki soruda bunu bulduk. Buradaki terim, altıncı dereceden terim. Burada x üzeri 6 var. x üzeri 6. Burada 6 faktöriyel var. 6 faktöriyel. Buna göre, bu eksi 121, f'nin altıncı türevinin 0'daki değeri olmalı. Cevabımız bu. Bu, eşittir eksi 121. Cevabı bulduk. Şahane