Karmaşık sayılarla çarpma işleminin görselleştirilmesi

Artık iki karmaşık sayıyı hem kartezyen hem de kutupsal formda çarpmayı biliyoruz. Özellikle, kutupsal formda bizden büyüklükleri çarpmamız ve açıları toplamamız isteniyor:

Karmaşık sayılarla çarpma işlemini sayıların kutupsal gösterimiyle düşünmenin avantajlı tarafı, neler olduğunu görselleştirmemizi sağlamasıdır.

Eğer karmaşık düzlemdeki her noktayı bir $z$‍ karmaşık sayısı ile çarparsak ne olur? Eğer $z$‍ sayısı $r(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$‍ kutupsal formunda ise, yukarıda özetlenen kural bize düzlemdeki her noktanın $r$‍ çarpanıyla ölçekleneceğini ve $\theta$‍ açısıyla döndürüleceğini söyler.

$z=\sqrt{3}+i=2(\cos ({30}^{\circ })+i\sin ({30}^{\circ }))$‍ ise, $z$‍ ile çarpmak her şeyi $2$‍ çarpanıyla ölçeklendirecek (2 kat genişletecek) ve ${30}^{\circ }$‍ döndürecektir. Aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi:

$z={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍ için, $z$‍'nin mutlak değeri

$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$‍'tür

ve açısı $-{45}^{\circ }$‍'dir. Buna göre $z$‍ ile çarpmak, her şeyi ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\approx 0,471$‍ çarpanıyla ölçeklendirmek (yani küçültmek) ve başlangıç noktası etrafında $-{45}^{\circ }$‍ döndürmek demektir (açı negatif olduğu için döndürme saat yönünde olacaktır).

Mutlak değeri $2$‍ ve açısı ${180}^{\circ }$‍ olan $z=-2$‍ değeri ile yapılan çarpma işlemi, $2$‍ çarpanıyla büyütürken başlangıç noktası etrafında yarım tur döndürür.

Bu dönüşümleri ve genel olarak karmaşık çarpmayı anlamanın bir diğer yolu $1$‍ sayısına ve $z$‍ sayısına bir işaret koyup, $z$‍ ile çarptıktan sonra noktanın $z$‍'nin başladığı yerden $1$‍ birim sürüklendiğini fark etmektir, zira $z\cdot 1=z$‍'dir. $z\cdot 0=0$‍ olduğundan, bunu başlangıç noktasını sabitleyecek şekilde yapmalıdır.

$z\cdot 1=z$‍ ve $z\cdot 0=0$‍ kadar basit gerçeklerin, karmaşık çarpmayı görselleştirmede bu kadar yararlı olması çok ilginç değil mi?

Düzlemi bir $z$‍ karmaşık sayısıyla çarptığımızda ve sonra sonucu bunun eşleniği $\overline{z}$‍ ile çarptığımızda neler olduğuna bakalım:

Eğer $z$‍’nin açısı $\theta$‍ ise, $\overline{z}$‍ karmaşık eşleniğinin açısı $-\theta$‍’dır, bu nedenle ardışık çarpma işlemlerinin toplam bir dönüşü yoktur. Bunu, $1$‍'de başlayan noktanın sonuç olarak reel pozitif sayı doğrusunun üzerinde sonlanmasıyla görebiliriz.

Büyüklük hakkında ne söyleyebiliriz? İki sayının mutlak değeri aynıdır, $|z|=|\overline{z}|$‍, buna göre $z$‍ ile ve sonra $\overline{z}$‍ ile çarpmanın toplam etkisi, her şeyi $|z|\cdot |\overline{z}|=|z{|}^2$‍ çarpanıyla germektir.

Tabii, bu gerçek formüllerle görülecek kadar kolaydır, zira $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|a+bi{|}^2$‍'dir, ancak bunu yapılırken görmek aydınlatıcıdır!

Karmaşık düzlem üzerinde yer alan her sayıyı $z$‍'ye bölersek ne olur? Eğer $z$‍’nin açısı $\theta$‍ ve mutlak değeri $r$‍ ise, o zaman bölme işlemi çarpmanın tersini yapar: Her şeyi $-\theta$‍ ile döndürür ve ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ çarpanıyla çarpar (yani $r$‍ çarpanıyla azaltır).

$\sqrt{3}+i$‍'nin açısı ${30}^{\circ }$‍ ve mutlak değeri $2$‍'dir. Bu yüzden her şey saat yönünde $-{30}^{\circ }$‍ döner ve ${\displaystyle \frac{1}{2}}$‍ çarpanıyla çarpılır (yani $2$‍ çarpanıyla azalır).

${\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{i}{3}}$‍'ün açısı $-{45}^{\circ }$‍ ve mutlak değeri;

$\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$‍'tür.

Buna göre, şimdi her şey $+{45}^{\circ }$‍ döner ve ${\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\approx 2,121$‍ çarpanıyla çarpılır.

Bu bölme işlemlerinin aynı zamanda $z$‍ nin üstünde duran noktayı alma ve $1$‍'in üzerine koyma olarak görülebileceğini fark etmiş olabilirsiniz.

${\displaystyle \frac{z}{w}}$‍'yi hesaplamak için $z=a+bi$‍ ve $w=c+di$‍ olduğunu varsayalım, $w$‍, $\bar{w}=c-di$‍ karmaşık eşleniğiyle hem payı hem de payı çarpmayı öğrendik.

Başka şekilde ifade edecek olursak, $w$‍'ye bölmek ${\displaystyle \frac{\bar{w}}{|w{|}^2}}$‍ ile çarpmakla aynıdır. Bunu anlamanın görsel bir yolu var mı?

$w$‍'nun açısının $\theta$‍ ve mutlak değerinin $r$‍ olduğunu varsayalım, bu durumda $w$‍ ile bölmek için $-\theta$‍ ile döndürmeli ve ${\displaystyle \frac{1}{r}}$‍ ile ölçeklendirmeliyiz. $\bar{w}$‍ olduğundan eşleniği $w$‍'nun tersi açıya sahiptir, $\bar{w}$‍ ile çarpmak bunu istediğimiz gibi $-\theta$‍ ile döndürecektir. Bununla birlikte, $\bar{w}$‍ ile çarpmak her şeyi $r$‍ çarpanıyla ölçeklendirir, bizim ise diğer yöne gitmemiz gerekiyor, dolayısıyla düzeltmek için $r^2=|w{|}^2$‍ ile böleriz.

Örneğin, doğrudan $1+2i$‍ ile bölmek böyle gözükür:

İlk olarak eşleniğiyle çarpmak şöyle olur; $1-2i$‍ ve sonra büyüklüğünün karesine bölmek ise şöyle olur; $|1+2i{|}^2=5$‍.

Her ikisinin de sonucu aynıdır.