Ana içerik

Konu: Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY) > Ünite 3

Ders 14: Topic C: Lesson 19: Restricting the domain

Bileşke Fonksiyonlarla Ters Fonksiyonu Doğrulayalım

İki fonksiyonun bileşkesini alarak, bu fonksiyonların birbirinin tersi olup olmadığını nasıl doğrulayabileceğimizi öğrenelim. Örneğin, f(x)=5x-7 ve g(x)=x/5+7 birbirinin tersi midir?

Bu makalede fonksiyon bileşkesi konusu ele alınmaktadır. Eğer bu konuyu bir daha gözden geçirmeniz gerekiyorsa, bu makaleyi okumadan önce buraya göz atmanızı öneririz.

Ters fonksiyonlar, en genel anlamıyla, birbirini ''tersine çeviren'' fonksiyonlardır. Örneğin, eğer bir fonksiyon

a

'yı

b

'ye götürüyor ise, bu durumda tersi,

b

'yi

a

'ya götürüyor olmalıdır.

f

ile

g

fonksiyonlarına örnek olarak şunları alalım:

f (x) = \frac{x + 1}{3}

g (x) = 3 x - 1

Dikkat ederseniz,

f (5) = 2

g (2) = 5

Burada

f

'yi ve sonra

g

'yi uyguladığımızda, orijinal girdiyi tekrar elde ettiğimizi görüyoruz. Bileşke olarak yazarsak, bu

g (f (5)) = 5

'tir.

Ancak iki fonksiyonun birbirinin tersi olabilmesi için, bunun

f

g

'nin uygulandığı sıradan bağımsız olarak, tüm olası girdiler için geçerli olduğunu göstermeliyiz. Bu, ters bileşke kuralını gündeme getirir.

Ters bileşke kuralı

f

g

fonksiyonlarının birbirinin tersi olmasının koşulları bunlardır:

$f (g (x)) = x$ ‍ $g$ ‍'nin tanım kümesindeki tüm $x$ ‍ değerleri için
$g (f (x)) = x$ ‍ $f$ ‍'nin tanım kümesindeki tüm $x$ ‍ değerleri için

Bunun nedeni, eğer

f

g

birbirinin tersiyse,

f

g

'yi (herhangi bir sırayla) birleştirmenin, her girdi için o girdiyi veren bir fonksiyon yaratmasıdır. Bu fonksiyonu ''birim fonksiyon'' olarak adlandırırız.

Örnek 1: $f$ ‍ ve $g$ ‍ fonksiyonları birbirinin tersidir

Ters bileşke kuralını kullanarak, üstteki

f

g

'nin gerçekten ters fonksiyon olduğunu doğrulama.

f (x) = \frac{x + 1}{3}

g (x) = 3 x - 1

olduğunu hatırlayın.

f (g (x))

ile

g (f (x))

'i bulalım.

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = \frac{g (x) + 1}{3} \\ = \frac{3 x - 1 + 1}{3} \\ = \frac{3 x}{3} \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = 3 (f (x)) - 1 \\ = 3 (\frac{x + 1}{3}) - 1 \\ = x + 1 - 1 \\ = x \end{aligned}$ ‍

f

g

fonksiyonları birbirinin tersi olduğunu görürüz, çünkü

f (g (x)) = g (f (x)) = x

Örnek 2: $f$ ‍ ve $g$ ‍ fonksiyonları birbirinin tersi değildir

Eğer

f (g (x))

veya

g (f (x))

x

'e eşit değilse, bu durumda

f

g

birbirinin tersi olamaz.

Bunu

f (x) = 5 x - 7

g (x) = \frac{x}{5} + 7

için deneyelim.

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = 5 (g (x)) - 7 \\ = 5 (\frac{x}{5} + 7) - 7 \\ = x + 35 - 7 \\ = x + 28 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = \frac{f (x)}{5} + 7 \\ = \frac{5 x - 7}{5} + 7 \\ = x - \frac{7}{5} + 7 \\ = x + \frac{28}{5} \end{aligned}$ ‍

Buna göre

f

g

fonksiyonları birbirinin tersi değildir, çünkü

f (g (x)) \neq x

g (f (x)) \neq x

(Burada,

f (g (x)) = x + 28

olduğunu gösterdikten sonra

f

g

'nin birbirinin tersi olmadığı sonucuna vardığımıza dikkat edin.)

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

Genel olarak,

f

g

'nin ters fonksiyonlar olup olmadığını kontrol etmek için, bunları birleştiririz. Eğer sonuç

x

ise, fonksiyonlar birbirinin tersidir. Değilse, tersi değildir.

1) $f (x) = 2 x + 7$ ‍ ve $h (x) = \frac{x - 7}{2}$ ‍

$f (h (x))$ ‍ ve $h (f (x))$ ‍ için $x$ ‍ cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.

f (h (x)) =

h (f (x)) =

$f$ ‍ ve $h$ ‍ fonksiyonları birbirinin tersi midir?

$f (h (x))$ ‍	$h (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (h (x)) & = 2 (h (x)) + 7 \\ = 2 (\frac{x - 7}{2}) + 7 \\ = x - 7 + 7 \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} h (f (x)) & = \frac{(f (x)) - 7}{2} \\ = \frac{2 x + 7 - 7}{2} \\ = \frac{2 x}{2} \\ = x \end{aligned}$ ‍

2) $f (x) = 4 x + 10$ ‍ ve $g (x) = \frac{1}{4} x - 10$ ‍

$f (g (x))$ ‍ ve $g (f (x))$ ‍ için $x$ ‍ cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.

f (g (x)) =

g (f (x)) =

$f$ ‍ ve $g$ ‍ fonksiyonları birbirinin tersi midir?

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = 4 (g (x)) + 10 \\ = 4 (\frac{1}{4} x - 10) + 10 \\ = x - 40 + 10 \\ = x - 30 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = \frac{1}{4} (f (x)) - 10 \\ = \frac{1}{4} (4 x + 10) - 10 \\ = x + 2, 5 - 10 \\ = x - 7, 5 \end{aligned}$ ‍

3) $f (x) = \frac{2}{3} x - 8$ ‍ ve $h (x) = \frac{3}{2} (x + 8)$ ‍

$f (h (x))$ ‍ ve $h (f (x))$ ‍ için $x$ ‍ cinsinden sadeleştirilmiş ifadeler yazın.

f (h (x)) =

h (f (x)) =

$f$ ‍ ve $h$ ‍ fonksiyonları birbirinin tersi midir?

$f (h (x))$ ‍	$h (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (h (x)) & = \frac{2}{3} (h (x)) - 8 \\ = \frac{2}{3} (\frac{3}{2} (x + 8)) - 8 \\ = x + 8 - 8 \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} h (f (x)) & = \frac{3}{2} (f (x) + 8) \\ = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x - 8 + 8) \\ = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x) \\ = x \end{aligned}$ ‍

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY)

Konu: Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY) > Ünite 3

Ters bileşke kuralı

Örnek 1: f‍ ve g‍ fonksiyonları birbirinin tersidir

Örnek 2: f‍ ve g‍ fonksiyonları birbirinin tersi değildir